中考数学三轮冲刺考前过关练习卷07（教师版）

考前必刷07

一、选择题：

1、在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的(    )

A．平均数  B．中位数  C．众数  D．方差

{答案}B

{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，

要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，

只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．

因此本题选B

2、观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（　　）

A．0 B．1 C．7 D．8

【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，

∴个位数4个数一循环，

∴（2019+1）÷4＝505，

∴1+7+9+3＝20，

∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．

故选：A．

3、用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）[来源:Zxxk.Com]

A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7

【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，

配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，

故选：D．

4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　）

A．5 B．﹣ C． D．

【解答】解：∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝，

故选：D．

二、填空题：

5、如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=        米.

{答案}20-20

{解析}本题考查了解直角三角形的应用，

因为PD=20米，∠CPD=45°，∠BPD=460°，

所以CD=20米，BD=20米，

所以BC=20-20=20（-1）米．

6、如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=        .

{答案}2

{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，

由正方形ABCD和点E，F分别为BC，CD边的中点，

易证△ABE≌△BCF,

证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,

可证△BCF≌△GDF,

∴DG=CB=AD,

根据直角三角形的性质AD=DP=AG,

∴∠APD=∠DAE=∠AEB，

∴tan∠APD=tan∠AEB=2

.因此本题填2．

7、如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4,⊙O的半径为2, 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为______________.

{答案}2

{解析}本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．连接OQ．

∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，

∴AB＝OA＝8，

∴OP＝＝4，

∴PQ＝2．因此本题填2

三、解答题：

8、某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？

{解析}本题考查了在实际问题中建立分段函数关系．（1）分购买数量不超过5千克和超过5千克两段建立函数关系；（2）购买的重量超过5千克，用第二段函数解析式求出函数值.

{答案}解：（1）当x≤5, y=20x;  当x>5时，y=100+16(x-5)=16x+20

             ∴

         (2)当x=30时，y=16 500(元)

            即：某农户一次购买玉米种子30千克，需付款500元.

9、如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E。

（1）求证：直线CD是⊙O的切线。

（2）求证：CD ∙ BE= AD ∙ DE。

       [来源:Z。xx。k.Com]

{解析}本题涉及切线的判定及相似三角形的有关知识。（1）连接OD，利用OA=OD，推出∠2=∠3，由AD是角的平分线，可得∠1=∠2，从而得∠1=∠3，推出AC∥OD，由DC⊥AC的条件，根据平行线的性质推出OD⊥ DC，从而证出CD是⊙O的切线。（2）要证CD ∙ BE= AD ∙ DE，只需要证出，从而证△ADC∽△BED即可。

{答案}：（1）证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠2=∠3

∵AD平分∠BAC

∴∠2=∠1

∴∠1=∠3

∴AC∥OD

∵DC⊥AC

∴OD⊥DC，

又∵D在⊙O上

∴ CD是⊙O的切线

（2）证明：连接BD

∵BE是⊙O的切线，点B是切线

∴∠ABE=90°，∠ABD+∠DBE=90°

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°，∠ABD+∠DAB=90°

∴∠DBE=∠DAB=∠CAD

∴Rt△ADC∽Rt△BED

∴

∴CD ∙ BE= AD ∙ DE

10、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（−1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，−3）。点P、Q是抛物线上y=ax2+bx+c的动点。

（1）求抛物线的解析式：

（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值。

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标。

    第10题图1            第10题图2                  

{答案}（1）y=x2−2x+3；（2）S△POD的最大值为；（3）Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）。

{解析}（1）把A（−1，0），B（3，0），D（2，−3）三点代入y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得抛物线的解析式，最好是用交点式求解析式更快；

（2）利用待定系数法求得直线OD的解析式为y=−x．设P点坐标为（t，t2−2t+3），则过点P作PM∥y轴交直线OD于点M，过点D作DN⊥OB，则△POD的面积=.由M坐标为（t，），那么PM=，所以得S△POD=，再利用配方法化为顶点式，即可求出S△POD的最大值；

（3）由∠OBE=∠ABC，可得△OBE与△ABC相似包含两种情况：①当△BOE∽△BAC时，OQ∥AC ，先求出AC的解析式为y=−3x−3，再求出OQ的解析式为y=−3x，与抛物线联立方程组求出Q点的坐标为Q1（，），Q2（，）；②当△BOE∽△BCA时，由求出BE=，再由OB=OC推出∠OBC=45°，从而求出E点坐标为（1，−2），由此求出直线OQ的解析式为y=−2x，与抛物线联立方程组求出Q点的坐标为Q3（，），Q4（，）

答图1                       答图2                      答图3

（1）解答：设所求解析式为：y=a（x+1）（x−3），代入（2，−3），解得a=1，

即：y=（x+1）（x−3）

∴抛物线的解析式为： y=x2−2x+3；

（2）由O（0，0），D（2，−3），可得直线OD的解析式为：y=−x

由可得：，

∵P点在直线OD下方，P在抛物线上，

∴

如答图1，过点P作y轴的平行线交直线OD于点M，

设P点坐标为（t，t2−2t+3），由M坐标为（t，）过点D作DN⊥OB，

则PM==，

∵S△POD ==∙（）⋅2==

∴当t=时，S△POD有最大值为。[来源:Z,xx,k.Com]

（3）由∠OBE=∠ABC，可得△OBE与△ABC相似包含两种情况：

①当△BOE∽△BAC时，如答题2，得∠BOE=∠BAC[来源:学。科。网Z。X。X。K]

∴OQ∥AC ，

由抛物线解析式可得C（0，−3）

又∵A（−1，0）

∴AC的解析式为y=−3x−3，

∴OQ的解析式为y=−3x，

由方程组得：，

∴Q点的坐标为Q1（，），Q2（，）；

②当△BOE∽△BCA时，

得

∵BO=3，BA=4，BC=

∴BE=，

∵OB=OC

∴∠OBC=45°，

过E作EF⊥OB，如答图3

∴△BEF为等腰直角三角形

∴BF=EF=2

∴E点坐标为（1，−2），

∴直线OQ的解析式为y=−2x，

由方程组得：，[来源:学_科_网]

∴Q点的坐标为Q3（，），Q4（，）

综上所述：Q点坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，）。