第9章 复数（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第二册）

第9章 复数（A卷·知识通关练）

核心知识1：复数的相关概念  

1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）设复数=（        ）

A． B．  C．1 D．-1

【答案】D

【分析】利用虚数单位i的幂具有的周期性进行运算.

【详解】.

故选：D

2．（2022春·辽宁营口·高一统考期末）已知,为虚数单位，若，则 （    ）

A．0 B．1 C．2 D．-2

【答案】B

【分析】根据虚数单位性质结合复数相等的概念，可得a,b的值，即得答案.

【详解】由虚数单位的性质可知=1，

故由可得：，

故，

故选：B

3．（2022秋·上海宝山·高二校考期中）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.

【详解】当时，复数，为纯虚数；

当复数为纯虚数时，有

，得或.

所以“”是“复数为纯虚数”的充分非必要条件.

故选:A.

4．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知是虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】化简，然后利用虚部的定义进行求解.

【详解】因为，所以的虚部为.

故选：A

5．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知（），则a+b的值为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据得到，从而求出的值，得到答案.

【详解】，故，所以，.

故选：C

6．（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（       ）

A． B．z的虚部是-4

C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限

【答案】ABD

【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.

【详解】A：复数，则，故A正确；

B：的虚部是，故B正确；

C：，是实数，故C错误；

D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.

故选：ABD.

7．（2022秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设为复数，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则的实部和虚部分别为和

B．设为的共轭复数，则

C．

D．若，，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限

【答案】AB

【分析】结合复数的定义和复数的相关性质即可得出答案

【详解】由复数的概念可知，复数的实部为，虚部为，所以A正确，

和可知，所以B正确，

对于C，是一个实数，而不一定为实数，所以C错误，

当取偶数时，为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D错误

故选：AB

8．（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）设复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则z是纯虚数

C．若，则 D．若，则

【答案】AD

【分析】求得与的关系判断选项A；举反例否定选项B；求得否定选项C；求得a的范围判断选项D.

【详解】选项A：若，则,，则.判断正确；

选项B：若，，则，z是实数.判断错误；

选项C：若，则.判断错误；

选项D：若，即

则，解之得.判断正确.

故选：AD

核心知识2：复数的几何意义 

9．（2023·安徽淮南·统考一模）在复平面内，对应的点分别为，则对应的点为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义，先得到，然后根据复数的除法运算得到一个结果后，再根据复数的几何意义确定所对应的点的坐标

【详解】根据复数的几何意义，，于是，对应的点为：.

故选：B

10．（2023·高一课时练习）在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，，0，则第四个顶点对应的复数不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行四边形的对角线互相平分即得．

【详解】设第四个点对应复数为，

则或或，

所以或或．

故选：A．

11．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知可推出，然后根据复数的除法即可求出.

【详解】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为，

所以，

所以 .

故选：C.

12．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：因为，所以，

所以在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.

故选：C

13．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出a值，即可求出复数对应点的坐标作答.

【详解】依题意，，即，又，因此，解得，

则有，所以在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C

14．（2023·高一课时练习）复平面上，点对应的复数______．

【答案】

【分析】根据复数的坐标表示写出答案.

【详解】由复数的几何意义知

故答案为：

15．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数，i是虚数单位），是实数.

(1)求b的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；

（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.

【详解】（1）∵，∴

∵是实数，∴，解得.

（2）由（1）知,

∴，

∵复数在复平面内对应的点在第二象限，

∴，解得，

故实数m的取值范围是.

核心知识3：复数代数式的四则运算 

16．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出复数，代入方程由复数相等列式可得结果.

【详解】设，则，

∵，

∴，即：，

∴，

∴

∴.

故选：D.

17．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）

A． B．5 C．3 D．

【答案】B

【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.

【详解】由题知，

，

故选：B

18．（辽宁省2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：，

所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D

19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

20．（2022秋·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）复数的虚部为（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】计算出复数的代数形式即可得答案.

【详解】

则复数的虚部为

故选：A.

21．（2022春·广西百色·高一校考期中）若复数，且满足，则的值可为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得，分析选项即可得答案.

【详解】解：，

，

，

的值符合条件的只有选项A，D.

故选：AD.

22．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）

【答案】

【分析】根据复数的减法运算，实部与实部相减，虚部与虚部相减.

【详解】

故答案为：

23．（2023·高一课时练习）计算．

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据复数四则运算法则计算即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式.

（3），，，

原式.

核心知识4：实系数一元二次方程 

24．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.

【详解】设复数的平方根为，则，

化简，所以，，解得

，或，，即复数的平方根为或，

故选：C

25．（2023·高一课时练习）在复数范围内因式分解：______．

【答案】或

【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.

【详解】因为，

所以

①，

②，

故答案为：或.

26．（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．

【答案】4

【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.

【详解】设，则，

∵,

∴,

∴,∴,

∴或或 或

∴共有4组解.

故答案为：4.

27．（2023·高一课时练习）（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；

（2）求纯虚数的平方根．

【答案】（1）（2）当时，纯虚数的平方根为或；当时，纯虚数的平方根为或

【分析】（1）根据复数的四则运算和纯虚数的概念解出复数，即可写出要求的一元二次方程；（2）设复数是的平方根，根据复数相等的概念即可求得结果.

【详解】（1）由题可知，

因为是纯虚数，所以，得，

所以，，

一个以z为其中一根的实系数一元二次方程是.

（2）设复数满足

即，所以，

当时，解得 即或，

当时，解得即或

所以， 当时，纯虚数的平方根为或；

当时，纯虚数的平方根为或

28．（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．

(1)求；

(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；

（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以或；

（2）由，可得，

当时，，

所以，解得，

当时，，

当时，.

29．（2023·高一课时练习）求同时满足下列两个条件的所有复数．

①；

②的实部和虚部都是整数．

【答案】或．

【分析】设，利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得，进而求得复数

【详解】设，

则．

∵，∴，故有：

由①得或，

将代入②，得，

则，则，则无解；

∴，将代入②得，解之得

又x，y为整数，∴，或，

故或．

30．（2023·高一课时练习）已知是关于的方程的一个根，求实数的值．

【答案】，

【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得结果.

【详解】是方程的一个根，是该方程的另一根，

，解得：，.