专题01 几何探究型压轴题——2022-2023学年苏科版数学七年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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专练01 几何探究型压轴题
题型概述

开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
例题分析

例1：已知，，，点P在与之间．

(1)如图1，直接写出的度数．
(2)Q是平面上的点，设，和的角平分线交于点E．
解答下列问题，答案可用含的代数式表示．
①如图2，若点Q在射线上且在直线的下方，求的度数．
②若，，求的度数．
【分析】（1）过点作，得到，推出，即可得解；
（2）①利用角平分线，得到，，利用外角的性质，得到以及，进行求解即可；
②分在直线上方和在直线下方，两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作，则：，

∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图：

由（1）知：，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
②当在直线上方时，如图，交于点，

∵，
∴，
同法（1）可得：，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
当在直线下方时，如图，交于点，交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
同①可得：
∴；
综上：的度数为或．
例2：【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．

(1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点　　；
②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，，则　　；
②请写出与，之间的数量关系　　，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积　　．（用含的代数式表示）
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，，
的三条高所在直线交于点，
故答案为：；
②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；

（2）解：①，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②与，之间的数量关系为：，理由如下：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：连接，如图5所示：

是的中点，
，
，
同理：，
设，
的面积是，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
例3：阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 　 　；
(2)如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若．判定　 　“梦想三角形”（填是或者不是）

(3)如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，求的度数．

【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．
（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：都是“梦想三角形”．
（3）根据“梦想三角形”的定义，分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）解：当是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为，第三个内角也是，故最小的内角是，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：，，最小的内角是
故答案为：或．
（2）结论：是“梦想三角形”．
理由：，，，
，
，
是“梦想三角形”．
（3），，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
是“梦想三角形”，
，或，
，
或．
难点突破

1．先阅读再解答：

(1)如图1，，试说明：；
(2)已知：如图2，，求证：；
(3)已知：如图3，，．求证：．
【分析】（1）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（2）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（3）延长和反向延长相交于点G，由平行线的性质可得，进而可得，利用平行线的判定条件可证明，再根据平行线性质可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．

(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．
(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．
【分析】（1）如图，过E作，根据平行公理得，根据平行线的性质得
，，对角进行加减运算即可求；
（2）根据垂直和周角的概念可得，根据平行线的性质得
，根据邻补角得，然后等量代换即可求得结果；
（3）结合已知求得由（1）可知，，结合已知和邻
补角得，由（2）的结论得求出
，最后根据三角形内角和求出依据，利
用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过E作，
，
，
，
，
，
即；

（2）证明：、，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
由（1）可知，，
，
，，
，
由（2）可知，
，
解得：，
，
，
，
，
．
3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）．

(1)若，则________；
(2)如图1，________；若点E在的上方，设，则________（用含β的式子表示）；
(3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．
①当（如图2）时，直接写出________﹔
②当时，直接写出________；
(4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两角互余，可得与的关系，根据角的和差，可得答案；
（2）根据同角的余角相等可得与，可得与的关系，根据互余的两角的关系，可得与的关系；
（3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；
②根据两直线平行，内错角相等得，根据角的和差可得答案；
（4）分情况进行解答．
【详解】（1）∵，
∴

（2）∵，，
∴
∴
∴，
（3）①当时，
∵，
∴，
②当时，如图，

∵，
∴，
∴，
（4）①当时，
∵，
∴，
；

②当时，
∴；

③当时，过点C作，

∵，
∴，
∴，，
∴；
综上所述：为或或．
4．已知射线，连接．

(1)如图1，若、分别平分、，、交于点，求的度数，并说明理由．
(2)如图2，在（1）的条件下，延长到、若点满足，，试探求与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长到，若，交延长线于点．求与的度数之和．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，最后求出结果；
（2）首先得到，再根据外角的性质推出即可；
（3）由（2）得到，求出，从而计算可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴；
（3）由（2）可得：，
∵，
∴，
在中，
．
5．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．

(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【详解】（1）解： 过P作，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
6．（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．

【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，

∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，

过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
7．已知，．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段，连接，且，，过点B作交于点G，若，，，且的面积为36时，求线段的长．
【分析】（1）根据同角的补角相等，得出，再根据平行线的判定即可得出答案；
（2）过点E作，根据得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）先根据三角形内角和定理及已知角度之间的关系，得出，再根据平行线的性质得出，从而得出，，根据三角形的面积公式得出，结合已知条件，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：过点E作，如图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴


，
∵的面积为36，
∴，
∴①，
∵②，
得：，
∴．
8．如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数；
（2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点作

∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）过点作

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
9．课题学习：平行线的“等角转化”功能．

(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．

10．[问题背景]

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
(2)如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[问题探究]
(3)如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，
①若，，则的度数为___________；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[拓展延伸]
(4)在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示）
(5)在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；
（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②由①的结论即可得到数量关系；
（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②与（3）中①相同；
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，

∵，，，
∴；
（2）解：①如图2中，

设，，
则有，
∴，
∴，
∴；
②由①得：；
（3）解：①如图3中，设，，

则有，
∴，
∴；
故答案为： ；
②设，
则有，
∴；
（4）解：如图4中，设，，则，，

则有，
∴ ，
∴，
故答案为；
（5）解：如图5中，延长交于J，设，

则有，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．