2022-2023年人教版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题01 平行线与相交线

专题01  平行线与相交线

【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】

考点一：对顶角与邻补角

对顶角：如图，∠1与∠3是对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。即∠1＝∠3

邻补角：如图，∠1与∠2或∠3与∠2是邻补角。

邻补角的性质：邻补角互补

注意：对邻角与邻补角不仅存在位置关系，还存在数量关系。

【考试题型1】判断对顶角与邻补角

【解题方法】根据这两种角的位置关系进行判断。

例题讲解：1．（2022春•尧都区期中）下列示意图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

A．             B． 

C．        D．

2．（2022春•横县期中）下列各图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）

A． B． 

C． D．

【考试题型2】计算

【解题方法】利用对顶角与邻补角的性质进行角度计算。

例题讲解：3．（2022春•虞城县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝35°，则∠DOE等于（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

考点二：垂直

垂直的定义：两条直线相交形成的四个角中，若有一个角是直角时，则说着两条直线相互垂直，其中一条是另一条的垂直，交点为垂足。

由邻补角与对顶角的性质可知，两直线垂直时形成的四个角都是直角。

垂直的画法：（尺规作图）过一点作已知直线的垂线具体步骤：

①将直尺的一条边与已知直线重合。

②将直角三角尺的一条直角边紧靠直尺平移，直到另一直角边与已知点重合。

③过点沿另一直角边画直线。该直线即为所作垂线。

④在交点的位置标上直角符号。

垂线的性质：

过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

有且只有：即存在且唯一

【考试题型1】与垂直有关的计算

【解题方法】由垂直形成的角是直角（90°）结合对顶角与邻补角的性质即可解题。

例题讲解：4．（2022春•禹州市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OB，OF平分∠AOD，若∠BOD＝∠COE，则∠AOF＝（　　）

       第4题                                                    第5题

A．38° B．45° C．63° D．68°

【考试题型2】对性质的理解

【解题方法】根据垂直的性质直接判定。

例题讲解：5．（2022春•沂水县期中）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（　　）

A．两点确定一条直线 

B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 

C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 

D．两点之间，线段最短

考点三：垂线段

垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的线段叫做垂线段。

垂线段的性质：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。简称垂线段最短。

注意：正确理解性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言

点到直线的距离：垂线段的长度表示点到直线的距离。

注意：点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形。

【考试题型1】垂线段最短的应用。

【解题方法】根据实际场景确定实际问题应用的是垂线段最短还是两点之间线段最短。

例题讲解：5．（2022秋•连云港期末）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　）

A．两点确定一条直线 

B．两点之间，线段最短 

C．过一点可以作无数条直线 

D．垂线段最短

【考试题型2】点到直线的距离的理解

【解题方法】由垂线段的长度表示点到直线的距离可知需找点到直线的垂线段。

例题讲解：7．（2017春•乐亭县期中）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（　　）

A．线段AC的长 B．线段AD的长 C．线段DB的长 D．线段CD的长

【考试题型3】求点到直线的距离

【解题方法】结合垂线段最短，垂线段的长度表示距离进行判断。

例题讲解：8．（2022春•石嘴山校级期中）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离为（　　）

A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm

考点四：三线八角

1. 同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一组角叫做同位角。如图中的∠1与∠5。

2. 内错角：

  两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且

在第三条直线（截线）的两旁，则这样一组角叫做内错角。如图中的∠4与∠6。

3. 同旁内角：

  两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）

的同旁，则这样一组角叫做同旁内角。如图中的∠4与∠5。

同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形。在复杂的图中判断两个角存在怎么样位置关系吧这两个角单独抽出来看他们形成什么字母形即可判断。

【考试题型1】判断两个角之间的位置关系

【解题方法】把需要判断的两个角抽离出复杂的图形中单独判断所形成的字母形状。

例题讲解：9．（2022春•永善县期中）如图：下列四个判断中，正确的个数是

①∠1的内错角只有∠4

②∠1的同位角是∠B

③∠1的同旁内角是∠3、∠E、∠ACD

④图中∠B的同位角共有4个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点五：平行线的定义与性质

平行线的定义：在同一平面内。两条永不相交的直线的位置关系叫做平行。这两条直线叫做平行线。用“∥”符号表示。

注意：一定要在同一平面内，且一定是两条直线。

平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

【考试题型1】根据平行线的性质进行计算

【解题方法】通过图形找到所求角与已知角的位置关系，在利用平行线的性质求解。注意图中的隐含条件，邻补角、对顶角、直角、平角以及两个特殊角的三角板。

例题讲解：10．（2022春•新城区校级期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝65°，则∠2的大小是（　　）

         第10题                                               第11题

A．45° B．55° C．65° D．75°

【考试题型2】平行性质结合翻折计算

【解题方法】在翻折中要注意翻折前后的两部分是一样的，线段长度相等，角度大小相等，再结合平行线的性质以及图中的隐含条件解题。

例题讲解：11．（2022春•黄石期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°

考点六：平行公理及其推论

平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（存在且唯一）

平行公理的推论：平行于同一直线的两直线相互平行。（可以作为判定平行的一种方法）

拓展：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。（也可作判定平行的一种方法）

【考试题型1】平行公理及其推论的理解

【解题方法】根据平行公理及其推论的内容进行判断。

例题讲解：12．（2022春•海淀区校级期中）下列说法正确的是（　　）

A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c 

B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c 

C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c 

D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c

考点七：命题与定理

命题的定义：判断一件事情的话语叫做命题。若判断的事情是正确的则命题是真命题，若判断的事情是错误的则命题是假命题。

命题的构成与改写：命题都是由题设与结论构成。可以改写成如果...，那么...的形式。如果后面跟题设，那么后面跟结论。

定理：有些命题的正确性需要推理论证，这样的真命题叫做定理。

命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。

【考试题型1】对命题的判断

【解题方法】结合命题，真命题，假命题的定义判断。

例题讲解：13．（2021秋•鹿城区校级期中）下列句子是命题的是（　　）

A．画∠AOB＝45° 

B．小于直角的角是锐角吗？ 

C．连结CD 

D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

14．（2022春•海淀区校级期中）下列命题中，真命题的个数是（　　）

①相等的角是对顶角；

②同位角相等；

③等角的余角相等；

④如果x2＝y2，那么x＝y．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考试题型2】对命题改写

【解题方法】找到命题的题设与结论，然后把命题改写成如果...，那么...的形式。

例题讲解：15．（2022春•天河区校级期中）把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 　                                　．

考点八：平行线的判定

平行线的判定方法：

①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

④平行于同一直线的两直线平行。

⑤垂直于同一直线的两直线平行。

注意：在平行的判定题目中，若用同位角 ，内错角，同旁内角判定，则一定是这几种角中不共边的两条边的平行关系。

【考试题型1】判定条件的熟悉

【解题方法】根据平行线的判定方法判断。

例题讲解：16．（2022秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 

C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°

【考试题型2】平行线的证明

【解题方法】由平行线的判定方法结合图中的隐含条件进行判定证明。

例题讲解：17．（2022春•双流区校级期中）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．

解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　     　），

∠AGC+∠AGD＝180°（ 　              　），

所以∠BAG＝∠AGC（ 　                  　）．

因为EA平分∠BAG，

所以∠1＝　     　（ 　                   　）．

因为FG平分∠AGC，

所以∠2＝　     　，

得∠1＝∠2（ 　          　），

所以AE∥GF（ 　                    　）．

考点九：平移

平移的定义

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移。平移前后的点叫做对应点，平移前后的角叫做对应角，平移前后的边叫做对应边。

平移要素：

平移方向与平移距离是平移要素。

平移作图：具体步骤：

①确定平移条件。即平移方向与平移距离。

②找出图中的关键点按照平移条件进行平移，得到平移前后的对应点。

③将平移后的对应点按照原图形进行连接。

平移的性质：

①平移前后图形的形状大小不变。

②对应角相等，对应边平行且相等。

③连接各组对应点的线段平行且相等。

同一个图形进行平移时，所有点的平移方向和平移距离都是一样的。

【考试题型1】判段平移

【解题方法】根据概念，平移前后方向不变，大小不变。

例题讲解：18．（2022春•禹州市期中）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京举行，如图是冬奥会的吉祥姓名物“冰墩墩”，通过平移“冰墩墩”可以得到的图形是（　　）

A． B． 

C． D．

【考试题型2】利用平移性质计算

【解题方法】根据平移的性质，平行线的性质进行求解。

例题讲解：19．（2022春•互助县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考试题型3】平移作图以及计算

【解题方法】根据平移要素进行平移作图，在根据平移的性质计算。在网格中求三角形的面积时，常用把三角形补成正长方形，然后用长方形的面积减去旁边的小三角形的面积即可得所求三角形的面积。

例题讲解：20．（2022春•清城区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．

（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；

（2）求△A′B′C′的面积．

【专题过关】

一．对顶角、邻补角（共2小题）

1．（2022春•红河县校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（　　）

          第1题                            第2题                            第3题

A．30° B．36° C．45° D．72°

2．（2022春•阜平县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠2﹣∠1＝10°，∠3＝135°．则∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．55° D．62.5°

二．垂线（共2小题）

3．（2022春•聊城期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠1＝40°，则∠AOC的度数（　　）

A．50° B．120° C．130° D．140°

4．（2022春•罗源县期中）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点O，且OF平分∠COE，若∠BOC：∠BOD＝5：1．

（1）求∠AOC的度数；

（2）求∠EOF的度数．

三．垂线段最短（共2小题）

5．（2022春•通城县期中）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．两点之间，直线最短 

C．两点确定一条直线 

D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

6．（2022春•南山区校级期中）在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经测量，PB＝3.3米，PC＝3.1米，PD＝3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是 　     　米．

      第6题                                                 第8题

四．点到直线的距离（共2小题）

7．（2022春•邛崃市期中）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　）

A．线段PB的长是点P到直线a的距离 

B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 

C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 

D．线段PC的长是点C到直线PA的距离

8．（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（　　）

A．3 B．4 C．4.3 D．5

五．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）

9．（2022春•舞阳县期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（　　）

A．∠1与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 

C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角

六．平行公理及推论（共2小题）

10．（2022春•思明区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（　　）

          第10题                                         第12题

A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2

11．（2022春•陕州区期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　）

A．互相垂直 B．互相平行 

C．相交 D．没有确定关系

七．平行线的判定（共2小题）

12．（2022春•东莞市期中）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠2＝∠4 B．∠B＝∠5 

C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°

13．（2022春•忠县校级期中）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．

（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；

（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．

八．平行线的性质（共3小题）

14．（2022秋•怀宁县期中）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

        第14题                                         第15题

A．138° B．136° C．134° D．132°

15．（2022春•兰山区期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在点D′，C′处，若∠1＝56°，则∠BFC′的度数是（　　）

A．56° B．62° C．110° D．124°

16．（2022春•盱眙县期中）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　          　．

九．平行线的判定与性质（共2小题）

17．（2022春•思明区校级期中）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余．

（1）求证：ED∥AB；

（2）OF平分∠AOD交DE于点F，若∠OFD＝65°，补全图形，并求∠1的度数．

18．（2022春•孟村县期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．

十．命题与定理（共2小题）

19．（2022春•拱墅区校级期中）下列命题中，真命题是（　　）

A．相等的角是对顶角 

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 

C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 

D．同旁内角互补

20. （2022秋•西峡县期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．　　

                                    ．

十一．生活中的平移现象（共2小题）

21．（2022春•璧山区期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（　　）

A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃

22．（2022春•鹿邑县期中）如图，直角三角形ABC的周长为22，在其内部有5个小直角三角形，这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形的周长为（　　）

          第22题                                           第23题

A．11 B．22 C．33 D．44

十二．平移的性质（共2小题）

23．（2022春•景德镇期中）如图，在△ABC中，边BC在直线MN上，且BC＝9cm．将△ABC沿直线MN平移得到△DEF，点B的对应点为E．若平移的距离为3cm，则CE的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．6cm或12cm

24．（2022春•东湖区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2

A．6 B．9 C．18 D．24

十三．作图-平移变换（共2小题）

25．（2022春•广汉市期中）已知点A（﹣3，1）、B（0，1）、C（﹣4，﹣3）．

（1）请在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，并顺次连接成三角形ABC；

（2）将三角形ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位到三角形A'B'C'的位置，在平面直角坐标中画出三角形A'B'C'的图形；

（3）写出A'、B'、C'的坐标，并求出三角形A'B'C'的面积．

26．（2022春•铁西区期中）如图，△ABC中，A（﹣2，1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣3），△A'B'C'是△ABC向右平移4个单位向上平移3个单位之后得到的图象．

（1）A'，B'两点的坐标分别为A'　        　，B'　         　；

（2）作出△ABC平移之后的图形△A'B'C'；

（3）求△ABC的面积．