2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点12 几何初步及相交线与平行线

考点12 几何初步及相交线与平行线

考点总结

一、直线、射线、线段

1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；

3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．

3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．

4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．

5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．

二、角

1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．

2．角平分线

（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．

3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．   1周角=2平角=4直角=360°．

4．余角和补角

1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．

3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．

5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．

三、相交线

1．三线八角

1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．

2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：

2．垂直

1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．

2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．

3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

4．邻补角

1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．

3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．

5．对顶角

1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．

四、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

2．平行线的判定

1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．

4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．

3．平行线的性质

1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线间的距离

1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．

2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•沂水县一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠1＝72°，则∠ABC的度数为（　　）

A．36° B．54° C．72° D．75°

2．（2021•宝应县二模）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

3．（2021•莱芜区二模）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝84°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　）

A．36° B．38° C．39° D．42°

4．（2005•哈尔滨）下列命题中，正确的是（　　）

A．任何数的平方都是正数 B．相等的角是对顶角 

C．内错角相等 D．直角都相等

5．（2021•桓台县一模）若∠α＝50°，则α的补角的度数是（　　）

A．40° B．50° C．130° D．310°

6．（2021•招远市一模）如图，已知∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上画射线OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC＝56°，则∠AOB的度数为（　　）

A．118° B．34° C．90° 或34° D．118° 或6°

7．（2021•商河县校级模拟）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（　　）

A． B． 

C． D．

8．（2021•商河县校级模拟）如图，线段AB＝20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB＝3，则CD等于（　　）

A．10 B．6 C．4 D．2

9．（2021•商河县校级模拟）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（2020•大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共5小题）

11．（2021•槐荫区一模）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是　   　度．

12．（2021•诸城市三模）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1＝　   　度．

13．（2021•胶州市一模）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是 　   　平方米．

14．（2021•博山区二模）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：

取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；

将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；

再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；

…，

一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．

如图是最初几个阶段，当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为 　   　．（用含n的式子表示）

15．（2021•曹县一模）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•商河县校级模拟）如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．

（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为　   　°；

（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；

（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；

（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是　   　．

17．（2021•商河县校级模拟）已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．

（1）如图①，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．

18．（2021•商河县校级模拟）已知，如图AB∥CD，∠BEF、∠EFD的平分线相交于点G，求证：EG⊥FG．