中考数学——函数新定义题目

这是一份中考数学——函数新定义题目，共54页。试卷主要包含了定义新运算，我们规定，我们不妨约定等内容，欢迎下载使用。

比如：⊕
（1）求方程⊕的解；
（2）验证点是否在函数⊕的图象上；
（3）用配方法求出函数的对称轴和顶点坐标．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且，
（1）若，
①点到轴的距离为 ；
②已知点，，若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围；
（2）已知点到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，，，其中，若点，在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，对于图形和点，若图形上存在点，使得，其中点为点关于直线的对称点，点为点关于轴的对称点，则称点为图形的“近对点”．已知点，．
（1）当时，
①在点，，中，是点的“近对点”的是 ；
②若是线段的“近对点”，求的取值范围；
（2）若线段上存在线段的“近对点”，直接写出的取值范围．
4．如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如表：
（1）①补全表格；
②在图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．
问题探究
（2）①若抛物线与它的“共点抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；
②若直线与抛物线、“共线抛物线” ，“共点抛物线” 有且只有四个交点，求的值．
③已知抛物线的“共线抛物线” 的解析式为．
请写出抛物线的“共点抛物线” 的解析式．
5．如果有点、、、，使得四边形是边长为定值的菱形，那么和点相对的顶点称为的“对点”， 、两个和相邻的点称为的“邻点”．
（1）若点为原点的“1对点”：
①在、、这三个坐标中，的坐标不可能是 ；
②若原点的两个“1邻点”的坐标为和，在图中画出此时的点，并证明此时；
③若直线上存在点，直接写出的取值范围；
（2）若点坐标为，点坐标为，点为点的“2对点”，并且其两个“2邻点”到点的距离都为3，直接写出此时点纵坐标的取值范围．
6．我们规定：若，就称为“倍理想坐标”，例如因为，所以称为“倍理想坐标”，因为，所以称为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）， “2倍理想坐标”（填“是”或“不是” ；是 倍理想坐标．
（2）当在坐标轴上时，若为“倍理想坐标”，求的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若是象限角平分线上的点（原点除外），求是几倍理想点？
7．在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的负等积点已知点．
（1）在，，，中，点的负等积点是 ．
（2）如果点的负等积点在双曲线上，求点的坐标；
（3）已知点，，的半径为1，连接，点在线段上．如果在上存在点的负等积点，直接写出的取值范围．
8．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”．
（1）若点是“倒数点”，则 ；
（2）若一次函数图象上有两个“倒数点” 、，若的面积为，求的值；
（3）如图，已知顶点为的二次函数与轴交于，、，两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；
①求的值；
②若点是“倒数点“，且当时，的最小值为0，求二次函数的解析式．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如、、都是“不动点”．已知双曲线．
（1）下列说法不正确的是 ．
．直线的图像上有无数个“不动点”
．函数的图像上没有“不动点”
．直线的图像上有无数个“不动点”
．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图像上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
10．在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，，，，我们把称为、两点的“横向距离”，记作．例如：，，则．
（1）①若点，，，，当、都在函数的函数图象上时， ．
②若点，，，，当、都在函数的函数图象上时， ．
（2）已知直线交轴于点，交轴于点，在第一象限内交双曲线于，两点，且满足．若恒成立，求的最大值．
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围．
11．平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即．
（1）已知点，，则 ， ；
（2）若点在一次函数的图象上，且，求点的坐标；
（3）若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，试求的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，对于线段和点，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点为线段的“从属点”．已知点的坐标为．
（1）如图1，若点为，在点，．，中，线段的“从属点”是 ；
（2）如图2，若点为，点在直线上，且点为线段的“从属点”，求点的坐标；
（3）点为轴上的动点，直线与轴，轴分别交于，两点，若存在某个点，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出的取值范围．
13．定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点、在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．
解决问题：（1）已知，矩形中，点、的坐标分别为：①，；②，；③，，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
（2）如图1，点是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形” 的顶点，求直线的函数解析式；
（3）若反比例函数“伴随矩形” 如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
14．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）探究函数图象发现：
①函数图象与轴有 个交点，所以对应的方程有 个实数根；
②方程有 个实数根；
③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 ．
15．九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数的“旋转函数”是 ；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．
16．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形是矩形的“对半矩形”
（1）填空：
当已知矩形的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形的一边是，则另一边为，由题意得方程：，化简得：，
， ， ．
矩形存在对半矩形．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是和，由题意得方程组：消去化简后也得到：，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形的两边长．
（2）如果已知矩形的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形是否存在对边矩形．
（3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的对半矩形的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为 ；周长为 ．
②对半矩形的两边长为 和 ．
参考答案与试题解析
1．定义新运算：对于任意实数，，都有⊕等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方运算．
比如：⊕
（1）求方程⊕的解；
（2）验证点是否在函数⊕的图象上；
（3）用配方法求出函数的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据新定义运算可将方程化为一元二次方程求解．
（2）将函数⊕化为二次函数求解．
（3）将函数的解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）由题意得⊕，
解得，．
（2）⊕，
将代入得，
点不在函数⊕的图象上．
（3），
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，将新定义函数转化为二次函数求解．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且，
（1）若，
①点到轴的距离为 8 ；
②已知点，，若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围；
（2）已知点到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，，，其中，若点，在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
【分析】（1）①由可得抛物线顶点坐标，进而求解．
②由抛物线解析式可得抛物线对称轴及顶点坐标，从而可得抛物线的运动规律，将，坐标代入解析式求解．
（2）由点到轴的距离为4可得，分类讨论抛物线开口方向，由时，总满足，可得点，在抛物线对称轴的一侧，进而求解．
【解答】解：（1）①，
，
抛物线的顶点坐标为，
点到的距离为8，
故答案为：8．
②将代入得，
解得或，
当时，点关于对称轴的对称点为在对称轴左侧，
时，抛物线与有两个交点，
将代入得，
解得或，
时，抛物线与线段有两个交点，
当时，抛物线与线段只有一个交点．
（2），
顶点坐标为，
点到轴的距离为4，
，
解得或，
当时，总满足，
当抛物线开口向下时，点，在对称轴左侧，当抛物线开口向上时，点，在对称轴右侧，
当时，，
令，
整理得，
抛物线与直线有两个交点，
△，
解得，
当抛物线顶点在直线上时，，
解得，
，
不符合题意，
当时，抛物线开口向下，，
令，
整理得，
△，
解得，
当顶点在直线上时，
解得，
，
又，
满足题意．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
3．在平面直角坐标系中，对于图形和点，若图形上存在点，使得，其中点为点关于直线的对称点，点为点关于轴的对称点，则称点为图形的“近对点”．已知点，．
（1）当时，
①在点，，中，是点的“近对点”的是 ， ；
②若是线段的“近对点”，求的取值范围；
（2）若线段上存在线段的“近对点”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①根据对称作图，找到对应点，结合定义判断即可；
②利用对称作图，表示出与线段上的点之间的距离，根据定义求解即可；
（2）作线段与关于直线的对称，求出，的坐标，作线段与线段关于轴对称，找到满足的点的区域，在结合，的坐标，分类进行找临界点，求出临界值即可（具体分析见解析）．
【解答】解：（1）当时，在坐标系中画出直线，
作出线段关于轴对称的线段，则，，点在线段上，
①在坐标系中描出点，，，并作出它们关于直线对称的点，
则，，，
根据坐标可得，，，，
点，是点的“近对点”，
故答案为：，；
②设直线与轴交于，当时，，
即：，
，，
，，
故△为等腰直角三角形，
，，
则
则为点关于直线的对称点应在直线上，
当在下方时，在轴左侧，此时在线段显然不存在点能使；
当在上方时，
，
则，
则，
若在左侧，则，
由于，
则与线段上的点最短的长度为与线段的垂线段的长度：，
当，存在能使；
此时是线段的“近对点”，
即：，
若在右侧，则，
此时为钝角，
则到线段最短的长度为，
当，存在（即点能使；此时是线段的“近对点”，
即：，
综上：当是线段的“近对点”时，的取值范围为；
（2）作线段与线段关于轴对称，可知，
将线段绕点逆时针旋转得，
则，
则直线解析式为，且与垂直，
作线段与关于直线的对称，
作轴，交于点，连接，结合（1）可知，与的夹角为，
则与的夹角为，
故，且，
当时，，得，
即：，
点的纵坐标为：，
即：，
同理可得：，
设的解析式为，代入，可得：，
解得：，
即线段是直线上的一部分，
，
则，
点在线段上，则，
当存在在以和为圆心，半径为1的圆，和距离直线距离为1的直线之间时，（即如下图，点在矩形和以和为圆心的两个半圆围成的封闭区域内，且
，且与重合，
则线段，
若要使得线段上存在线段的“近对点”，
则只需要满足线段有点在封闭区域内即可，找到临界点即可，
当时，此时在的左侧，
当在半圆上时为临界点，
即：，
解得：或，
结合图形，当时，不为临界位置，故舍去；
当时，此时在的右侧，
当在线段上为临界点，
由，可知与轴夹角的余弦值为，正弦值为，
由互余可知，与轴的夹角也为，
故，
即：，
可得的解析式为：，
在上，
，
解得：，
综上，线段上存在线段的“近对点”，则的取值范围．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，掌握轴对称相关知识，一次函数的性质，锐角三角函数是解题的关键．
4．如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如表：
（1）①补全表格；
②在图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．
问题探究
（2）①若抛物线与它的“共点抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；
②若直线与抛物线、“共线抛物线” ，“共点抛物线” 有且只有四个交点，求的值．
③已知抛物线的“共线抛物线” 的解析式为．
请写出抛物线的“共点抛物线” 的解析式．
【分析】（1）①由题意得，和点关于点对称，由中点坐标公式即可求解；
②通过描点连线得到、的图象即可；
（2）①观察函数图象即可求解；
②观察函数图象即可求解；
③由题意知，抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点对称，则抛物线的顶点坐标为：，其的值和中的的值相同，即可求解．
【解答】解：（1）①由题意得，和点关于点对称，
由中点坐标公式得，点的坐标为：，
故答案为：，3；
②通过描点连线得到、的图象如下：
（2）①从图象看，时，抛物线随增大而减小，时，抛物线随增大而减小，
故若抛物线与它的“共点抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围为：；
②从图象看，当时，直线与抛物线、“共线抛物线” ，“共点抛物线” 有且只有四个交点，
即；
③由题意得：抛物线中保持不变，
故抛物线的中的，
将值代入抛物线的表达式得：，
即抛物线的顶点坐标为：，
由题意知，抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点对称，
则抛物线的顶点坐标为：，其的值和中的的值相同，
则的表达式为：．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
5．如果有点、、、，使得四边形是边长为定值的菱形，那么和点相对的顶点称为的“对点”， 、两个和相邻的点称为的“邻点”．
（1）若点为原点的“1对点”：
①在、、这三个坐标中，的坐标不可能是 ；
②若原点的两个“1邻点”的坐标为和，在图中画出此时的点，并证明此时；
③若直线上存在点，直接写出的取值范围；
（2）若点坐标为，点坐标为，点为点的“2对点”，并且其两个“2邻点”到点的距离都为3，直接写出此时点纵坐标的取值范围．
【分析】（1）①根据三角形三边关系，菱形的性质，新定义，得出到原点的距离小于2，即可求解； ②根据新定义画出图形，进而根据菱形的性质得出，得出的坐标，勾股定理即可求解； ③由①可得，到原点的距离小于2，求得当距离为2时，，即可求解；
（2）分别求得点的纵坐标的最大值和最小值，分别画出图形即可求解．
【解答】解：（1）①如图所示，
、、这三个坐标到原点的距离分别为，
又点为原点的“1对点”，
到原点的距离小于2，
的坐标不可能是，
故答案为：．
②原点的两个“1邻点”的坐标为和，如图所示；
；，
，
四边形是菱形，
，且，
，
，
③若，则直线与圆心在原点，2为半径的圆相切，由等腰三角形的性质可得点，
如图所示，点存在于两直线之间的圆的内部，
直线上存在点，则；
（2）点为点的“2对点”，
，
若，，
在上，则，
其两个“2邻点”到点的距离都为3，则这两个“2邻点”在以3为半径的上，
设为，，如图所示，依题意，
设，交于点，取的中点，过点作于点，过点作于点，连接，
，
，，，
，
，
由图可知，只有当点在下方时，符合题意，
当点在上时，，
，，
，
设，则，
解得：，
，则，
，则，
，
，则点在上运动，且半径为，
如图所示，当轴时，点取的最小值，
如图所示，延长交轴于点，连接，
垂直平分，则，
又，
垂直平分，
四边形是菱形，
，
的纵坐标为，
如图所示，当轴时，此时，此时取得最大值，此时点，重合于两圆的切点，
综上所述，．
【点评】本题考查了新定义，菱形的性质，坐标与图形，圆与圆的位置关系，正确的画出图形是解题的关键．
6．我们规定：若，就称为“倍理想坐标”，例如因为，所以称为“倍理想坐标”，因为，所以称为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）， 是 “2倍理想坐标”（填“是”或“不是” ；是 倍理想坐标．
（2）当在坐标轴上时，若为“倍理想坐标”，求的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若是象限角平分线上的点（原点除外），求是几倍理想点？
【分析】（1）根据“倍理想坐标”的定义判断即可；
（2）根据坐标轴上的点的特征得到或，那么，根据“倍理想坐标”的定义得出，根据非负数的性质求出且，进而求解即可；
（3）根据四个象限角平分线上的点的特征得出．再分①当是第一、三象限角平分线上的点；②是第二、四象限角平分线上的点两种情况进行讨论，利用“倍理想坐标”的定义求解即可．
【解答】解：（1）因为，所以，是“2倍理想坐标”；
因为，所以是“倍理想坐标”．
故答案为：是，；
（2）当在坐标轴上时，或，
，
为“倍理想坐标”，
，
且，
的坐标为，它是平面直角坐标系中的原点；
（3）若是象限角平分线上的点（原点除外），则．
分两种情况：
①当是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则，
，
是2倍理想点；
②当是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则，
，
是倍理想点．
综上所述，是2倍或倍理想点．
【点评】本题考查了点的坐标，新定义，坐标轴上的点的特征，非负数的性质，四个象限角平分线上的点的特征．理解“倍理想坐标”的定义是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的负等积点已知点．
（1）在，，，中，点的负等积点是 ， ．
（2）如果点的负等积点在双曲线上，求点的坐标；
（3）已知点，，的半径为1，连接，点在线段上．如果在上存在点的负等积点，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据定义通过计算可知：点，是点的负等积点；
（2）设，由点是点的等积点，有，解方程即可得点的坐标；
（3）设，，点的等积点，有，即，故在上存在点的等积点即是与直线有公共点，分两种情况：当，设，可得，由一元二次方程根的判别式得，即得，当，同理可得，从而，故的范围是．
【解答】解：（1），
不是点的负等积点；
，
是点的负等积点；
，
不是点的负等积点，
，
是点的负等积点；
故答案为：；
（2）解：设，
点是点的负等积点，有，
解得或，
或，
或；
（3）点，，且点在线段上，
点的纵坐标为2，
设，，点的负等积点，
，即，
点的负等积点在直线上，
在上存在点的负等积点即是与直线有公共点，
当，即与重合时，在直线上，如图：
设，
，，
，
化简整理得：，
与直线有公共点，
关于的一元二次方程总有实数根，
，
解得，
当，即与重合时，在直线上，如图：
设，
，，
，
化简整理得：，
与直线有公共点，
关于的一元二次方程总有实数根，
，
解得，
在上存在点的负等积点，的范围是．
【点评】本题考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、圆的性质及应用等知识与方法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义，此题难度较大，属于考试压轴题．
8．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”．
（1）若点是“倒数点”，则 4 ；
（2）若一次函数图象上有两个“倒数点” 、，若的面积为，求的值；
（3）如图，已知顶点为的二次函数与轴交于，、，两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；
①求的值；
②若点是“倒数点“，且当时，的最小值为0，求二次函数的解析式．
【分析】（1）根据新定义解方程即可求解；
（2）根据倒数点的定义可知倒数点在上，联立得出，根据的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，则，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）①由题可知，，根据，，证明，得出，代入得；
②依题意，，由①知，又的最小值为0，则，解得，，，即可求解．
【解答】解：（1）是“倒数点”，
且，
解得；，
故答案为：4；
（2）联立，得．
，，
的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，
则，
，
，
解得：或；
（3）①由题可知，，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
其中，，代入得；
②设，其中，由①知，
当时，的最小值为0，
，结合三式及，
可得：，，，
故解析式为（或．
【点评】本题考查了新定义，解一元二次方程，反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如、、都是“不动点”．已知双曲线．
（1）下列说法不正确的是 ．
．直线的图像上有无数个“不动点”
．函数的图像上没有“不动点”
．直线的图像上有无数个“不动点”
．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图像上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
【分析】（1）设坐标平面内的“不动点”的坐标为，则点在直线上，可知直线上有无数个“不动点”，可判断正确；将代入，得，此方程无解，可知函数的图象上没有“不动点”，可判断正确；将代入，得，此方程无解，可判断错误；将代入，得，可求得函数的图象上有两个“不动点” 和，可判断正确，于是得到问题的答案；
（2）设双曲线上的“不动点”为，则，可求得双曲线上的“不动点”为和；
（3）①设抛物线上的“不动点”为，则，即，由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得，即可求得；
②当时，，则抛物线为，而双曲线在第一象限的不动点为，可求得抛物线的顶点为，，设直线在直线下方且到直线的距离为，直线交直线于点，交直线于点，则，，即可求得．
【解答】解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为，
直线，当时，则，
点在直线上，
直线上有无数个“不动点”，
故正确；
将代入，得，此方程无解，
函数的图象上没有“不动点”，
故正确；
将代入，得，此方程无解，
直线上没有“不动点”，
故错误；
将代入，得，解得，，
函数的图象上有两个“不动点” 和，
故正确，
故选：．
（2）设双曲线上的“不动点”为，则，
解得，，
双曲线上的“不动点”为和．
（3）①设抛物线上的“不动点”为，则，
即，
该抛物线上有且只有一个“不动点”，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
，
．
②当时，则，
，
抛物线为，
由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为，
直线即直线，
如图，，
该抛物线的顶点，，对称轴为直线，
设直线在直线下方且到直线的距离为，直线交直线于点，交直线于点，
，，，
，
设直线与直线关于直线对称，
当点在点的上方时，抛物线上有四个点到的距离为，
．
【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
10．在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，，，，我们把称为、两点的“横向距离”，记作．例如：，，则．
（1）①若点，，，，当、都在函数的函数图象上时， 4 ．
②若点，，，，当、都在函数的函数图象上时， ．
（2）已知直线交轴于点，交轴于点，在第一象限内交双曲线于，两点，且满足．若恒成立，求的最大值．
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围．
【分析】（1）①将点代入一次函数解析式，求出，，再根据定义进行求解即可；②将点代入一次函数解析式，求出，，再根据定义进行求解即可；
（2）用含有的式子表示出点和点的坐标，利用，表示出点和点的坐标，然后得到和的关系，求出的最小值，即可得解；
（3）联立抛物线和直线的解析式，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，得到，，之间的关系，然后根据条件①和条件②列出不等式，解不等式得到的取值范围．
【解答】解：（1）①当时，，解得：；
当时，，解得：；
，，
；
故答案为：4；
②当时，，解得：；当时，，解得：；
，，
；
故答案为：6；
（2）解：直线，当时，，当时，，
，，
，
，是的三等分点，
，
点和点在反比例函数的图象上，
，
恒成立，
；
（3）解：联立得：，
抛物线与直线交点为，，，，
，
；
抛物线经过点，
，
，
；
，
，解得：；
，
，
，
对称轴为，
，随着的增大而增大，
当时，，；
当时，，；
．
【点评】本题考查函数的综合应用，主要考查了二次函数，一次函数和反比例函数图象上的点的特征，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质．理解并掌握“横向距离”的定义，是解题的关键．
11．平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即．
（1）已知点，，则 3 ， ；
（2）若点在一次函数的图象上，且，求点的坐标；
（3）若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，试求的取值范围．
【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出和即可；
（2）不妨设，此时需要进行分类讨论求解当时；当时；当时；
（3）根据二次函数图象性质直接判断．
【解答】（1）解：，，
，，
故答案为：3，3．
（2）解：设，即，
当时，，
解得：，
；
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当时，，
解得：，
；
故满足条件的有：或；
（3）解：抛物线与直线只有一个交点，
方程组只有一组解．
消去得：，
△，
，
可化为：，
，
．
，
在第一象限，
，
．
，
，
，
，
，
，抛物线开口向下，对称轴是，
随的增大而增大，
．
【点评】本题考查新定义类问题，绝对值法则、一次函数的性质、二次函数的图象和性质，解题的关键是表示点，的坐标，利用函数的性质求解．
12．在平面直角坐标系中，对于线段和点，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点为线段的“从属点”．已知点的坐标为．
（1）如图1，若点为，在点，．，中，线段的“从属点”是 ， ；
（2）如图2，若点为，点在直线上，且点为线段的“从属点”，求点的坐标；
（3）点为轴上的动点，直线与轴，轴分别交于，两点，若存在某个点，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；
（2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分和两种情况，分别求出边缘值，从而得到的取值范围．
【解答】解：（1），则，且为直角三角形，
故是线段的“从属点”；
，则，且为直角三角形，
故是线段的“从属点”；
，则不是直角边，故不是线段的“从属点”；
，，故不是线段的“从属点”；
故答案为：，．
（2）设点的坐标为，，
点为线段的“从属点”，
①当时，
由题意可知：，
为等腰直角三角形，
，
，
过点作轴，垂足为，交轴于点，
可知和为等腰直角三角形，
，，
，
则，
解得：，
点的坐标为，，
此时；
②当时，过点作轴，垂足为，交轴于点，
同理可知：，
和为等腰直角三角形，
，，
，
则，
解得：，
点的坐标为，，
此时；
综上，点的坐标为：，或，．
（3）如图，，
由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线、、上，
当时，
当点和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点在线段上，
此时点，代入，得：，
从而当时，总能找到点，满足条件，
故；
当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，
如图，当点和重合时，
，
为等腰直角三角形，
可得：，即，代入，
得：，
而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点，
当时，总能找到点，满足条件，
此时，
综上，的取值范围是：或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．
13．定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点、在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．
解决问题：（1）已知，矩形中，点、的坐标分别为：①，；②，；③，，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ①③ ；（填序号）
（2）如图1，点是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形” 的顶点，求直线的函数解析式；
（3）若反比例函数“伴随矩形” 如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案；
（2）根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特征可得，，，从而得出点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；
（3）设，，则，，利用待定系数法求出直线的解析式可得答案．
【解答】（1）解：①，，
，，
、满足同一个反比例函数，
②，，
，，
、不满足同一个反比例函数，
③，，
，，
、满足同一个反比例函数，
可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：点是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形” 的顶点，
，，，
，，
设直线的解析式为，
则，
，
；
（3）证明：、在反比例函数上，
设，，则，，
设直线的解析式为，
则，
，
即，
直线过原点．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键．
14．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， 0 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）探究函数图象发现：
①函数图象与轴有 个交点，所以对应的方程有 个实数根；
②方程有 个实数根；
③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 ．
【分析】（1）根据当或时函数值相等即可得；
（2）将坐标系中轴左侧的点按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接可得；
（3）①根据函数图象与轴的交点个数与对应方程的解的个数间的关系可得；
②由直线与的图象有4个交点可得；
③关于的方程有4个实数根时，．
【解答】解：（1）由函数解析式知，当或时函数值相等，
当时，，
故答案为：0；
（2）如图所示：
（3）①由图象可知，函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程有3个实数根；
②由函数图象知，直线与的图象有4个交点，
所以方程有4个实数根；
③由函数图象知，关于的方程有4个实数根时，，
故答案为：；
故答案为：①3、3；②4；③．
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与轴交点坐标和对应方程的解之间的关系．
15．九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数的“旋转函数”是 ；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出，，的值，结合“旋转函数”的定义可求出，，的值，此问得解；
（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出，的值，将其代入即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，，的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点，，的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出，，，，，的值，再由，，可证出经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数知，，，，
，，，
，，，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，解得，
；
（3）证明：化简得，
则、、三点的坐标分别为，，，
、、三点关于原点对称的点坐标分别为，，，
经过、、三点的函数解析式为，
与原函数是旋转函数．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出，，的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出，的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点，，的二次函数解析式．
16．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形是矩形的“对半矩形”
（1）填空：
当已知矩形的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形的一边是，则另一边为，由题意得方程：，化简得：，
， 2 ， ．
矩形存在对半矩形．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是和，由题意得方程组：消去化简后也得到：，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形的两边长．
（2）如果已知矩形的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形是否存在对边矩形．
（3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的对半矩形的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为 ；周长为 ．
②对半矩形的两边长为 和 ．
【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）设所求矩形的一条边是，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可；
（3）①用待定系数法得一次函数解析式为，反比例函数解析式为，即可得矩形的两边之和为6，面积为6，从而可得矩形的面积和周长；
②把代入，解出，的值，可求出满足条件的矩形的两边长．
【解答】解：（1），
，
，
，．
故答案为：2；；
（2）设所求矩形的一边是，则另一边为，
由题意得方程：，
化简得：，
，
原方程无解，
满足要求的矩形不存在；
（3）①设直线的关系式为，把，代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为，
设反比例函数解析式为，把代入得：
，
解得：，
反比例函数解析式为，
根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：，
矩形的两边之和为6，面积为6，
矩形的周长为12，
矩形的周长为，面积为；
故答案为：12；24．
②把代入得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
对半矩形的两边长为，．
故答案为：；．
【点评】此题主要考查反比例函数及一次函数的综合应用，涉及新定义和解一元二次方程，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式是解题关键．
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