中考数学压轴题（31）——定义函数与函数动点综合题

每周两题（五）

1．（2022秋•长郡梅溪湖月考24T）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值，都满足，且在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值，都满足，且在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是0.5，下边界值是，所以这个函数是“有界函数”，边界差为1.5．

（1）在下列关于的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“有界函数”的打“”．

①　　；②　　；③　　．

（2）若函数，为常数，且，当时，求这个函数的边界差．

（3）若关于的函数为常数）经过点，当时，其边界差为0.5，求的值．

2．（2022秋•长郡梅溪湖月考25T）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，顶点为．已知点．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）已知点是轴右侧抛物线上一点，射线与轴正半轴交于点，当时，求的值；

（3）如图2，点是平面直角坐标系内的一个动点，且，另一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值，并求出此时点的坐标．

1．（2022秋•长郡梅溪湖月考24T）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值，都满足，且在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值，都满足，且在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是0.5，下边界值是，所以这个函数是“有界函数”，边界差为1.5．

（1）在下列关于的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“有界函数”的打“”．

①　　；②　　；③　　．

（2）若函数，为常数，且，当时，求这个函数的边界差．

（3）若关于的函数为常数）经过点，当时，其边界差为0.5，求的值．

【分析】（1）根据“有界函数”函数的定义判断即可；

（2）分和两种情况，分别算出上、下边界值，再相减即可求解；

（3）根据函数为常数）经过点，可求出，将和代入中，得，，由函数可知，当时，；再根据函数对称轴分四种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；以此分析出不同情况的上、下边界值，再由边界差为0.5列出方程，求解即可得到结果．

【解答】

解（1）①是“有界函数”，

，，，

该函数上边界为6066，下边界为；

故答案为：；

②不是“有界函数”，

当趋于0时，趋于，当趋于，趋于0；

故答案为：；

③不是“有界函数”

的范围为无穷大；

故答案为：；

（2）当时，

函数在有上边界值，有下边界值，

边界差为；

当时，

函数在有上边界值，有下边界值

边界差为；

综上所述，边界差为；

（3）由题意得，

解得：，

，

当时，，

当时，，

由函数可知，

当时，，

①当时，

，

舍去）；

②当，即时，

，

舍去）；

③当时，

，

，

，

．

时，

，

，

又，

．

综上所述，或．

【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的图象与性质、二次函数的最值等，解题关键是：（1）根据有界函数的定义判断一个函数是否为有界函数；（2）分情况求出二次函数的最值．

2．（2022秋•长郡梅溪湖月考25T）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，顶点为．已知点．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）已知点是轴右侧抛物线上一点，射线与轴正半轴交于点，当时，求的值；

（3）如图2，点是平面直角坐标系内的一个动点，且，另一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值，并求出此时点的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）①当点在第一象限内时，如图1，由知，又，得到，故，进而求解；②当点在第四象限内时，如图2，同理可得，进而求解；

（3）由，，，得到，且相似比为，进而求解．

【解答】

解：（1）二次函数的图象过点，

，解得，

这个二次函数的解析式为，顶点的坐标为；

（2）在二次函数中令，得，解得或3，故，

令，得，故，

①当点在第一象限内时，如图1，由知，又，

，故，又，

设直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式得：，解得：，

直线的解析式为，将上式与联立，

解得：或，

点横坐标为，纵坐标为，

；

②当点在第四象限内时，如图2，同理可得，故又，

直线的解析式为，联立，

解得：或，

点横坐标为，纵坐标为，

．

综上：或；

（3）如图3，依题点在以为圆心，2为半径的圆上，连接，

，，，

，且，

，且相似比为，

，又，

根据点的运动路径可知，

当、、三点共线时，有最小值为：；

由点的坐标得，直线的表达式为：，

设点，

由得：，

解得：，

故点的坐标为：，．

【点评】本题考查了二次函数综合运用，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、勾股定理运用、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．

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