专题20 作平行线和作垂线构造相似三角形的技巧-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题20 作平行线和作垂线构造相似三角形的技巧-2023年中考数学二轮专题提升训练，共21页。试卷主要包含了做平行线构造“A”型相似，做平行线构造“X”型相似，作垂线构造直角三角形相似等内容，欢迎下载使用。

典例1
（邵阳中考）
1．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值．
变式训练
（2022•郫都区模拟）
2．如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF=BF；
（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．
（2018•黄石）
3．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
技巧二 做平行线构造“X”型相似
典例2
（2021春•招远市期末）
4．某数学社团遇到这样一个题目如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO∶CO=1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，如图②，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题．
(1)请写出求AB长的过程．
(2)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3．若AO=，求AB的长．
针对训练
（2019•乐山）
5．在中，已知D是边的中点，G是的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当和不平行，且点E、F分别在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在的延长线上或点F在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（2021秋•简阳市 期中）
6．如图1，在中，，D为边上一点，，E为线段上一点，．
(1)求证：；
(2)过点C作交的延长线于点F，试探索与的数量关系；
(3)如图2，若，求的长．
技巧三 作垂线构造直角三角形相似
典例3
（2017•台江区校级自主招生）
7．如图，四边形中，，，，，于E，交于F．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
变式训练
8．如图，中，，、、分别是、、上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
技巧四 作垂线构造“三垂直”型相似
典例4
（2020•浙江自主招生）
9．如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且，，分别经过点A，B，C，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
变式训练
（2022秋•通川区期末）
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD的长．
参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析；（3） .
【分析】(1)作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得,
即,同理可证△ACG∽△OCN得,结合AO=CO,得NG=CN,从而由进行求解,
(2)由,可知:,
(3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有,
从而,因此可得:.
【详解】(1)过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
∴∠G=∠BNM，
又∠B=∠B，
∴△ABG∽△MBN，
∴，
∴，
∴，
即，
同理，△ACG∽△OCN，∴，
∴，
又∵AO=CO，
∴NG=CN，
∴；
(2)证明：由(1)可知，，∴＝1；
(3)在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得，
在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B.
由(2)可得，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）AG=；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；
（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴，
∵AB∥CD，
，
∵AD=CD，
∴GF=BF；
（2）∵EB=1，BC=4，
∴=4，AE=，
∴=4，
∴AG=；
（3）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴，
∴，
∵BM=BE，
∴GF=FH，
∵GF∥AD，
∴，，
∴，
∴，
∴FO•ED=OD•EF．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．
3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】分析：（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得，根据即可得证；
（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得，根据=即可得证；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得==+a，结合==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
详解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴==；
（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，
分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，
∵FN⊥AB、CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴，
∴==；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，
则MN分别是BC、AC的中点，
∴MN∥AB，且MN=AB，
∴=，且S△ABM=S△ACM，
∴=，
设=a，
由（2）知：==×=，==a，
则===+a，
而==a，
∴+a =a，
解得：a=，
∴=×=．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．
4．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）先根据BDAC，得到∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，进而推出∠ABD=∠D，，则；
（2）如图所示，过点B作交AC于E，先证明△BOE∽△DOA，推出，再利用三角形内角和定理求出∠BAC=30°，然后解直角三角形ABE即可．
【详解】（1）解：∵BDAC，
∴∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，
∴∠ABD=180°-∠D-∠BAD=75°，，
∴∠ABD=∠D，，
∴AB=AD，，
∴；
（2）解：如图所示，过点B作交AC于E，
∴，△BOE∽△DOA，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC=30°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；
（2）过点A作交的延长线于点N，的延长线相交于点M，得出，，得出比例式解答即可；
（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为中点，；点F在的延长线上时，，得出，则，同理：当点E在的延长线上时，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵G是重心，
∴，
又∵，
∴，，
则；
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图2，过点A作交的延长线于点N，的延长线相交于点M，
则，，
∴，，
∴，
又∵，
而D是的中点，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故结论成立；
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当F点与C点重合时，E为中点，，
点F在的延长线上时，，
∴，则，
同理：当点E在AB的延长线上时，，
∴结论不成立．
【点睛】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可．
（2）如图1中，在上截取AJ，使得．证明，推出，再证明即可解决问题．
（3）如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q．首先证明， ，再证明，，，，，利用参数构建方程解决问题即可．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：结论：．
理由：如图1中，在上截取，使得．
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴可以假设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．(1)18
(2)
【分析】（1）过点B作于H，如图1，易证四边形是矩形，从而可求出的值，易证，根据相似三角形的性质即可求出的值；
（2）延长交于点G，如图2，由（1）得：，四边形是矩形，则有，根据勾股定理可求出，根据可求出，进而可求出．由可得，根据相似三角形的性质可求出，由此可求出．由可得，根据相似三角形的性质即可求出的值．
【详解】（1）解：过点B作于H，如图1，
则有．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
∵即，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长、交于点G，如图2．
由（1）得：，四边形是矩形，
则有，AB5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，通常可以运用相似三角形的性质求线段长、线段比，应熟练掌握．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由三角形的内角和得到，等量代换得到，于是得到，即可得到结论；
（2）作于，于，推出，根据相似三角形的性质得到，通过，即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：作于，于，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．D
【分析】过点B作，交于E，交于F，在中运用三角函数可得，易证，运用相似三角形的性质可求出，然后在中运用勾股定理可求出，再在中运用三角函数就可求出的值．
【详解】解：如图，过点B作，交于E，交于F，如图．
∵，
∴．
∵直线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，
．
在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，特殊角的三角函数值等知识，构造相似三角形是解决本题的关键．
10．BD＝2.
【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．
【详解】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝ ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，
∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD＝＝＝，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．