专题15 圆中常作的辅助线-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题15 圆中常作的辅助线-2023年中考数学二轮专题提升训练，共30页。试卷主要包含了连半径，圆周角为直角，连接直径，有直径，做直径所对的圆周角，见切线作半径，连切点，构造弦或圆等内容，欢迎下载使用。

专题15 圆中常作的辅助线
第一部分 典例剖析
类型一 连半径
（2021秋•温州期中）
1．如图，在中，，，则的度数为________．

（2022•双柏县模拟）
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
类型二作弦心距
（2020秋•雁塔区校级期中）
3．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．

（2022秋•慈溪市期中）
4．如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为________

（2020秋•肇源县期末）
5．已知：如图，在中，，，以点C为圆心、AC为半径作，交AB于点D，求的度数．

（2021•浦东新区模拟）
6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．

类型三 圆周角为直角，连接直径
7．如图，是的两条弦，且，若，求的半径．

类型四 有直径，做直径所对的圆周角
（2021•济宁一模）
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．

（2021秋•南宁期末）
9．如图1，已知为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ，于点D，并与⊙O交于点E．

(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求⊙O的半径；
(3)如图2，F为中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长．
类型五 见切线作半径
（2020•八步区一模）
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．

（2020秋•临邑县期末）
11．如图，为外接圆的直径，且．

(1)求证：与相切于点A；
(2)若，，，求的直径．
类型六 连切点
（2020•湘西州）
12．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）

A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
（2020•青海）
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．

类型七 构造弦或圆
（2021•鄂州）
14．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ）

A．3 B． C． D．
（2021•江宁）
15．如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．

专题提优训练
（2020秋•宝应县期末）
16．如图，点、、在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
（2021秋•逊克县期末）
17．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，4AC= AB，则OC的长____.

（2021•吉林三模）
18．如图，四边形内接于，连接．若，，则的大小是____度．

（2021秋•郧阳区期中）
19．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．

（2021秋•思明区校级期中）
20．已知△ABC内接于⊙O，AB=AC， 点D是⊙O上一点．
（1）如图①，若∠BAC=40°BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（2）如图②，若CD∥BA，连接AD，延长OC到E，连接DE．使得3∠BAC-∠E=90°，判断DE与⊙O关系并证明．

（2022•东明县二模）
21．如图，AB是的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），，且，连接CB，与交于点F，在CD上取一点E，使．

(1)求证：EF是的切线：
(2)连接AF，若D是OA的中点，，求CF的长．

参考答案：
1．##55度
【分析】连接，，根据同弧所对圆周角与圆心角的关系求出，进而求解．
【详解】解：连接，，

则，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题关键是通过添加辅助线求解．
2．C
【分析】连接OC、OB，根据圆周角定理以及OC=OB可以证得△OBC是等边三角形，即可求出BC，再在Rt△CDB中利用45°角即可求出CD．
【详解】连接OC、OB，如图，

∵∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OC=2，
∵∠CBA=45°，CD⊥AB，
∴在Rt△CDB中，BC=CD，
∴CD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解含特殊角的直角三角形等知识，构造圆心角，利用圆周角定理是解答本题的关键．
3．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：

∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：

∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．
【分析】连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，根据勾股定理得到的长，于是得到结论．
【详解】解：连接，，，过点作于，于，

，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．50°．
【分析】过点C作于点E，交于点F，则有，由题意易得，进而可得的度数为，然后问题可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点E，交于点F，

，
又，，
，
的度数为，
的度数为．
【点睛】本题主要考查垂径定理及圆心角与弧的关系，熟练掌握垂径定理及圆心角与弧的关系是解题的关键．
6．弦CD的长为6，⊙O的半径长为
【分析】过点作于，连接解，得到,根据求得的长，根据垂径定理即可求出弦的长，根据勾股定理即可求出圆的半径．
【详解】解：过点作于，连接

∵
∴.
在中，
  
∴，．
∵，
∴．
∵过圆心，
∴，
∴，
∵
∴在中，，
∴ 弦CD的长为，⊙O的半径长为．
【点睛】属于圆的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，垂径定理等，题目比较基础，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
7．
【分析】连接，由圆周角定理得是的直径，由勾股定理求出，则．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴是的直径，，
∴，
即的半径为．

【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
8．4．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，

，，
，
，
，
是直径，
，
∴∠CAD=30°，
又∵AD=8，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)13
(3)

【分析】（1）连接，利用角平分线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解得即可．
（2）连接 ，过点 作 与点 ，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可；
（3）连接 ， ， ，过 作 与点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图

平方





与点D

为的⊙O半径
是⊙O切线
（2）解：连接 ，过点O作于点F，如图，

则
由（1）知，是⊙O的切线

，




由（1）知，

四边形是矩形


（3）解：连接，，，过 作 与点H，如图，

由（2）知：⊙O的半径为13，

为的⊙O直径


为 中点





为等腰直角三角形




【点睛】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，圆的切线定理以及平行线的判定，熟练掌握这些定理和性质并且画对辅助线是解题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）8
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，根据切线的性质可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根据角平分线的性质可得DE=DF，从而证得结论；
（2）根据已知DE=DC和（1）的结论可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半径DB=DF，得证Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），进而得证EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8．
【详解】解：（1）过点D作DF⊥AC于F；

∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°，
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD=DF，
∴AC与圆D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=5+3=8．
【点睛】本题考查切线的性质与判定，直角三角形全等的判定与性质．
11．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）连接半径，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出．即可证出结论；
（2）连接，连接交于点H，证出，，分别在，中通过勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，即，
∴，
又∵为的半径，
∴与相切于点A；
（2）解：连接，连接交于点H，

∵，，
∴，
∴，，
在中，
，
在中，设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即的直径为4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
12．B
【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，

∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
13．1
【详解】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，

则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为 1，
故答案为1．
14．D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解：

取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短




点P是BO的中点
在中，
是等边三角形

在中，
．

【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】（1）证明：连接DE、BH，
      ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．  
∵AE＝AH．  

（2）连接DE，DF．
      ∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．

∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，  
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
16．B
【分析】连接OA，OB，并作OC⊥AB于C点，根据垂径定理，设圆的半径为，则，，由此可得，从而得出，以及，最终根据圆周角定理即可得出的度数．
【详解】连接OA，OB，并作OC⊥AB于C点，
根据垂径定理，可得，，
设圆的半径为，则，，
∴，则，
∴，
根据圆周角定理，，
故选：B．

【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理以及已知正弦值求角度，熟练运用垂径定理进行辅助线构造以及特殊角的三角函数进行求解是解题关键．
17．##
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得，结合勾股定理即可求解.
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，

∵


∵⊙O的半径为2，
即OB=2，
∴在中,  
在中,
故答案为
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键.
18．130
【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：130．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
19．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
【详解】（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，

根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，

由勾股定理得：

则OP的长为
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
20．（1）50°，20°；（2）DE为⊙O的切线，证明见解析．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=70°，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，∠D=40°，利用互余计算出∠DBC的度数，利用圆周角定理计算∠ABD的度数，从而得到∠ACD的度数；
（2）连接AO，并延长AO交BC于点F，证明∠OCA=∠OAC=∠BAC，连接OD，证明3∠BAC+∠COD=180︒减去3∠BAC-∠E=90°即可进一步证明结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=×（180°-40°）=70°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠BAC=40°，
∴∠DBC=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-50°=20°；
（2）DE为⊙O的切线．
证明：如图，连接AO，并延长AO交BC于点F，

∵AB=AC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC=∠BAC
连接OD，
∵OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=∠OCA+∠ACD
∵AB//CD
∴∠ACD=∠BAC
∴∠OCD=∠ODC=
∴∠OCD+∠ODC+∠COD=3∠BAC+∠COD=180︒①
∵3∠BAC-∠E=90°
∴①-②得：∠COD+∠E=90︒
∴,即
∴DE为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解答本题的关键．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；
（2）先由AB=CD=8，BD=6，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．
【详解】（1）解：连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：

∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°，
又∵EC=EF，
∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE，
又∵∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADG=90°，
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圆O的切线；
（2）解：∵D是OA的中点，且AB=8，
∴DO=2，BD=BO+DO=6，
又∵AB=CD=8，
∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=10²，
∴BC=10，
∵∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入数据后得：，
∴，
∴，
∴CF的长为．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．