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新高考数学一轮复习讲义 第9章 §9.2 用样本估计总体
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这是一份新高考数学一轮复习讲义 第9章 §9.2 用样本估计总体，共19页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§9.2 用样本估计总体
考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
教材改编题
1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是( )
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的平均数为3
C．这组数据的中位数为4
D．这组数据的众数为3和5
答案 AC
解析 这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为eq \f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq \f(11,3)，B错误；中位数为eq \f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D错误．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．众数可以准确地反映出总体的情况
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
答案 CD
解析 对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；
对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；
对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；
对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．
3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．
答案 14.5
解析 ∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.
延伸探究 本题中，第70百分位数是多少？
解 10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为eq \f(92＋96,2)＝94.
(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝4，s2<2 B.eq \x\t(x)＝4，s2＝2
C.eq \x\t(x)>4，s2<2 D.eq \x\t(x)>4，s2>2
答案 A
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，
则eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，
eq \f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，
所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，
(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，
则这8个数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq \f(1,8)×(28＋4)＝4，
方差为s2＝eq \f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]
＝eq \f(1,8)×(14＋0)＝eq \f(7,4)<2.
教师备选
某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为
甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；
丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.
则一定符合推荐要求的同学有( )
A．甲和乙 B．乙和丁
C．丙和丁 D．甲和丁
答案 D
解析 对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；
对于乙同学，中位数为3，众数为3，
可举反例：3,3,6，不满足要求；
对于丙同学，众数为3，方差小于3，
可举特例：3,3,6，则平均数为4，
方差s2＝eq \f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不满足要求；
对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，
若x1，x2，x3中至少有一个大于等于6，
则方差s2＝eq \f(1,3)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，
与已知条件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，满足要求．
思维升华 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练1 (1)(多选)已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
答案 ABD
解析 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不正确，故选ABD.
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确．
题型二 总体集中趋势的估计
例2 棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：
(1)在图中作出样本的频率分布直方图；
(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．
解 (1)样本的频率分布直方图如图所示．
(2)由样本的频率分布直方图，
得众数为eq \f(250＋300,2)＝275(mm)；
设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，
解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm；
设平均数为eq \x\t(x)，则
eq \x\t(x)＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12
＝222(mm)，
故平均数为222 mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275 mm、252.5 mm和222 mm.
教师备选
(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中第三组的频数为10
B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
答案 ABC
解析 分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；
样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10× 0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．
思维升华 频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
跟踪训练2 首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
解 (1)由频率分布直方图的性质，
可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130分以下的学生所占比例为
0．66＋0.014×20＝0.94，
所以第80百分位数位于[110,130)内，
由110＋20×eq \f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估计第80百分位数为120分．
(3)由图可得，众数估计值为100分．
平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．
题型三 总体离散程度的估计
例3 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \x\t(x)和eq \x\t(y)，样本方差分别记为seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \x\t(y)－eq \x\t(x)≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表格中的数据易得eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝eq \r(\f(2,5)s\\al(2,1)＋s\\al(2,2))＝eq \r(0.030 4)，显然有eq \x\t(y)－eq \x\t(x)>2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
教师备选
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解 (1)补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\t(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
跟踪训练3 (2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，方差分别记作seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.
(2)答案一：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)答案二：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)课时精练
1．给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据( )
A．众数为2 B．平均数为2.5
C．方差为1.6 D．标准差为4
答案 C
解析 由题中数据可得，众数为2和3，
故A错误；
平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B错误；
方差s2＝eq \f(5－32＋5－32＋…＋2－32＋1－32,10)＝1.6，
标准差为eq \r(1.6)≠4，故C正确，D错误．
2．某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是( )
A．138,160.5 B．138,146
C．138,175 D．135,160.5
答案 A
解析 将10个数按从小到大排列，因为10×25%＝2.5，所以第25百分位数为第3项138；中位数为eq \f(146＋175,2)＝160.5.
3．若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均数和标准差分别为( )
A.eq \x\t(x)，sB．4eq \x\t(x)－3，s
C．4eq \x\t(x)－3,4sD．4eq \x\t(x)－3，eq \r(16s2－24s＋9)
答案 C
解析 因为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]，
所以4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均数为
eq \x\t(x′)＝eq \f(1,n)[(4x1－3)＋(4x2－3)＋…＋(4xn－3)]
＝eq \f(1,n)[4(x1＋x2＋…＋xn)－3n]＝4eq \x\t(x)－3，
标准差为eq \r(\f(1,n)[4x1－3－4\x\t(x)＋32＋4x2－3－4\x\t(x)＋32＋…＋4xn－3－4\x\t(x)＋32])
＝4eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])
＝4eq \r(s2)＝4s.
4．某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1 000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)( )
A．中位数为6
B．众数为10
C．平均数为6.88
D．该校读书不低于8本的人数约为3 600
答案 C
解析 由图知，中位数x在[4,8)内，
所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，
解得x＝6.6，A错误；
由图知，众数在[4,8)内，故众数为6，B错误；
平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；
由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12 000＝4 320，D错误．
5．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是( )
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
答案 AC
解析 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．
6．(多选)(2022·深圳模拟)若甲组样本数据x1，x2，…，xn(数据各不相同)的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为4，则下列说法正确的是( )
A．a的值为－2
B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
答案 ABD
解析 由题意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，
故A正确；
乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；
设甲组样本数据的中位数为xi，则乙组样本数据的中位数为3xi－2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为xmax－xmin，
则乙组数据的极差为(3xmax－2)－(3xmin－2)＝3(xmax－xmin)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确．
7．2021年高考某题的第(1)问的得分情况如下：
其中得分的众数是________．
答案 0
解析 众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格知，百分率最高的是0.
8．已知数据x1，x2，…，x9的方差为5，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差为________．
答案 45
解析 原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为32×5＝45.
9．自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高．将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分．为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1 000人的文化水平数据X，将样本分成小学[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，专科[55,65)，本科[65,75)，硕士[75,85)，博士[85,95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)；
(2)请估计该市居民的平均文化水平．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
解 (1)样本数据的众数为eq \f(65＋75,2)＝70.0.
X∈[25,65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，
X∈[25,75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.
所以中位数在区间[65,75)上，中位数为
65＋10×eq \f(0.50－0.45,0.30)＝65＋eq \f(5,3)≈66.7.
(2)平均文化水平
eq \x\t(X)＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.
10．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图．
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求)．请问每天应该进多少千克苹果？
解 (1)由题图可知，区间[80,90)的频率最大，
所以众数为85，
中位数设为x，则0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
平均数为eq \x\t(x)＝(65×0.002 5＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.002 5) ×10＝89.75.
(2)日销售量[60,100)的频率为0.875<0.9，
日销售量[60,110)的频率为0.975>0.9，
故所求的量位于[100,110)．
由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，
得100＋eq \f(0.025,0.01)＝102.5，
故每天应该进102.5千克苹果．
11．已知一组数据1,2，a，b,5,8的平均数和中位数均为4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．标准差
答案 B
解析 由题意知，eq \f(16＋a＋b,6)＝4，
可得a＋b＝8，又中位数为4，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，
众数为5，标准差为eq \f(4\r(3),3)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，众数为4，标准差为eq \r(5).
∴去掉其中的一个最大数后，数据为1,2，a，b,5，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为5，中位数为3，标准差为eq \f(8,5)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为4，中位数为4，标准差为eq \f(3\r(6),5).
综上，数据变化前后一定不变的是众数．
12．(2022·东三省四市联考)某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是( )
A．1 B．2 C．5 D．6
答案 D
解析 因为eq \f(6－22,5)＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，
因为eq \f(5－22,5)＝1.8<2.4，eq \f(2－22,5)＝0<2.4，
eq \f(1－22,5)＝0.2<2.4，
则其余的点数1,2,5都有可能出现．
13．小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若超出记为“＋”，不足记为“－”，则上周一至周五，他的完成情况分别为－2，－1，x，＋4，y，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是( )
A．13,14 B．－2，－1
C．13,13 D．－2，－2
答案 A
解析 因为－2，－1，x，＋4，y这五个数据的平均数是0，方差是5.2，所以有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－2－1＋x＋4＋y,5)＝0，,\f(－2－02＋－1－02＋x－02＋4－02＋y－02,5)＝5.2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))
不管取哪一组解，这5天的单词量均是以下几个数，13,14,13,19,16，
所以众数和中位数分别是13,14.
14．已知一组数据a，b,3,5的中位数为7，平均数为8，则ab＝________.
答案 135
解析 因为一组数据a，b,3,5的平均数为8，
所以eq \f(1,4)(a＋b＋3＋5)＝8，解得a＋b＝24，
若a＝b，则a＝b＝12，此时4个数为3,5,12,12，显然中位数不是7，
不妨设a若3若a>5，则4个数排列为3,5，a，b，则中位数为eq \f(5＋a,2)＝7，解得a＝9，则b＝15，
所以ab＝9×15＝135.
15．(多选)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是( )
A．68 B．65 C．296 D．306
答案 AC
解析 由题意可知eq \x\t(x)甲＝60，
甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \x\t(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为
eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68，
甲、乙两队全部队员的体重方差为
s2＝eq \f(1,5)×[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)×[300＋(70－68)2]＝296.
16．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：
在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的利润为8元，废品的利润为－20元．
(1)试估计该公司的年利润；
(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量．据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
其中eq \x\t(x)为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
解 (1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40(张)，有副牌100×0.05×4×2＝40(张)，有废品100×0.025×4×2＝20(张)，
∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15＋40×8－20×20＝520(元)，
∴估计该公司的年利润为520万元．
(2)由频率分布直方图得，eq \x\t(x)＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.
这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
∴一刀宣纸中正牌的张数估计为
100×0.682 7＝68.27，
废品的张数估计为100×(1－0.954 5)＝4.55，
副牌的张数为100×(0.954 5－0.682 7)＝27.18，
∴一刀宣纸的利润为
68．27×12＋27.18×5－4.55×20＝864.14(元)，
∴公司改进后该公司的利润为
864．14－100＝764.14(万元)，
∵764.14>520，∴建议该公司购买这种机器．纤维长度
频数
频率
[0,50)
4
0.04
[50,100)
8
0.08
[100,150)
10
0.10
[150,200)
10
0.10
[200,250)
16
0.16
[250,300)
40
0.40
[300,350]
12
0.12
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
94
97
97
95
93
93
95
93
95
乙
92
94
93
94
95
94
96
97
97
98
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
x的范围
(44,48]∪(52,56]
(48,52]
[0,44]∪(56,60]
质量等级
副牌
正牌
废品
x的范围
(eq \x\t(x)－2，eq \x\t(x)＋2)
(eq \x\t(x)－6，eq \x\t(x)＋6)
频率
0.682 7
0.954 5
x的范围
(48,52)
(44,56)
频率
0.682 7
0.954 5
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§9.2 用样本估计总体
考试要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
教材改编题
1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是( )
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的平均数为3
C．这组数据的中位数为4
D．这组数据的众数为3和5
答案 AC
解析 这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为eq \f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq \f(11,3)，B错误；中位数为eq \f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D错误．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．众数可以准确地反映出总体的情况
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
答案 CD
解析 对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；
对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；
对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；
对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．
3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．
答案 14.5
解析 ∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.
延伸探究 本题中，第70百分位数是多少？
解 10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为eq \f(92＋96,2)＝94.
(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝4，s2<2 B.eq \x\t(x)＝4，s2＝2
C.eq \x\t(x)>4，s2<2 D.eq \x\t(x)>4，s2>2
答案 A
解析 设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，
则eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，
eq \f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，
所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，
(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，
则这8个数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq \f(1,8)×(28＋4)＝4，
方差为s2＝eq \f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]
＝eq \f(1,8)×(14＋0)＝eq \f(7,4)<2.
教师备选
某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为
甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；
丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.
则一定符合推荐要求的同学有( )
A．甲和乙 B．乙和丁
C．丙和丁 D．甲和丁
答案 D
解析 对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2,2,5，满足要求；
对于乙同学，中位数为3，众数为3，
可举反例：3,3,6，不满足要求；
对于丙同学，众数为3，方差小于3，
可举特例：3,3,6，则平均数为4，
方差s2＝eq \f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不满足要求；
对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，
若x1，x2，x3中至少有一个大于等于6，
则方差s2＝eq \f(1,3)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，
与已知条件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，满足要求．
思维升华 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练1 (1)(多选)已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
答案 ABD
解析 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不正确，故选ABD.
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
解析 设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确．
题型二 总体集中趋势的估计
例2 棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下：
(1)在图中作出样本的频率分布直方图；
(2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．
解 (1)样本的频率分布直方图如图所示．
(2)由样本的频率分布直方图，
得众数为eq \f(250＋300,2)＝275(mm)；
设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，
解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm；
设平均数为eq \x\t(x)，则
eq \x\t(x)＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12
＝222(mm)，
故平均数为222 mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275 mm、252.5 mm和222 mm.
教师备选
(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中第三组的频数为10
B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
答案 ABC
解析 分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；
样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10× 0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．
思维升华 频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
跟踪训练2 首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
解 (1)由频率分布直方图的性质，
可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130分以下的学生所占比例为
0．66＋0.014×20＝0.94，
所以第80百分位数位于[110,130)内，
由110＋20×eq \f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估计第80百分位数为120分．
(3)由图可得，众数估计值为100分．
平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．
题型三 总体离散程度的估计
例3 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \x\t(x)和eq \x\t(y)，样本方差分别记为seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \x\t(y)－eq \x\t(x)≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表格中的数据易得eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝eq \r(\f(2,5)s\\al(2,1)＋s\\al(2,2))＝eq \r(0.030 4)，显然有eq \x\t(y)－eq \x\t(x)>2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
教师备选
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
解 (1)补全后的频率分布直方图如图所示．
(2)质量指标值的样本平均数为eq \x\t(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
跟踪训练3 (2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，方差分别记作seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.
(2)答案一：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)
1．给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据( )
A．众数为2 B．平均数为2.5
C．方差为1.6 D．标准差为4
答案 C
解析 由题中数据可得，众数为2和3，
故A错误；
平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B错误；
方差s2＝eq \f(5－32＋5－32＋…＋2－32＋1－32,10)＝1.6，
标准差为eq \r(1.6)≠4，故C正确，D错误．
2．某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是( )
A．138,160.5 B．138,146
C．138,175 D．135,160.5
答案 A
解析 将10个数按从小到大排列，因为10×25%＝2.5，所以第25百分位数为第3项138；中位数为eq \f(146＋175,2)＝160.5.
3．若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均数和标准差分别为( )
A.eq \x\t(x)，sB．4eq \x\t(x)－3，s
C．4eq \x\t(x)－3,4sD．4eq \x\t(x)－3，eq \r(16s2－24s＋9)
答案 C
解析 因为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]，
所以4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均数为
eq \x\t(x′)＝eq \f(1,n)[(4x1－3)＋(4x2－3)＋…＋(4xn－3)]
＝eq \f(1,n)[4(x1＋x2＋…＋xn)－3n]＝4eq \x\t(x)－3，
标准差为eq \r(\f(1,n)[4x1－3－4\x\t(x)＋32＋4x2－3－4\x\t(x)＋32＋…＋4xn－3－4\x\t(x)＋32])
＝4eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])
＝4eq \r(s2)＝4s.
4．某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1 000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)( )
A．中位数为6
B．众数为10
C．平均数为6.88
D．该校读书不低于8本的人数约为3 600
答案 C
解析 由图知，中位数x在[4,8)内，
所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，
解得x＝6.6，A错误；
由图知，众数在[4,8)内，故众数为6，B错误；
平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正确；
由图知，该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×12 000＝4 320，D错误．
5．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是( )
A．样本x1，x2，…，xn的标准差
B．样本x1，x2，…，xn的中位数
C．样本x1，x2，…，xn的极差
D．样本x1，x2，…，xn的平均数
答案 AC
解析 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．
6．(多选)(2022·深圳模拟)若甲组样本数据x1，x2，…，xn(数据各不相同)的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为4，则下列说法正确的是( )
A．a的值为－2
B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
答案 ABD
解析 由题意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，
故A正确；
乙组样本数据方差为9×4＝36，故B正确；
设甲组样本数据的中位数为xi，则乙组样本数据的中位数为3xi－2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为xmax－xmin，
则乙组数据的极差为(3xmax－2)－(3xmin－2)＝3(xmax－xmin)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确．
7．2021年高考某题的第(1)问的得分情况如下：
其中得分的众数是________．
答案 0
解析 众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格知，百分率最高的是0.
8．已知数据x1，x2，…，x9的方差为5，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差为________．
答案 45
解析 原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为32×5＝45.
9．自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高．将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分．为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1 000人的文化水平数据X，将样本分成小学[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，专科[55,65)，本科[65,75)，硕士[75,85)，博士[85,95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)；
(2)请估计该市居民的平均文化水平．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
解 (1)样本数据的众数为eq \f(65＋75,2)＝70.0.
X∈[25,65)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，
X∈[25,75)的频率为0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.
所以中位数在区间[65,75)上，中位数为
65＋10×eq \f(0.50－0.45,0.30)＝65＋eq \f(5,3)≈66.7.
(2)平均文化水平
eq \x\t(X)＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.
10．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图．
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求)．请问每天应该进多少千克苹果？
解 (1)由题图可知，区间[80,90)的频率最大，
所以众数为85，
中位数设为x，则0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
平均数为eq \x\t(x)＝(65×0.002 5＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.002 5) ×10＝89.75.
(2)日销售量[60,100)的频率为0.875<0.9，
日销售量[60,110)的频率为0.975>0.9，
故所求的量位于[100,110)．
由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，
得100＋eq \f(0.025,0.01)＝102.5，
故每天应该进102.5千克苹果．
11．已知一组数据1,2，a，b,5,8的平均数和中位数均为4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．标准差
答案 B
解析 由题意知，eq \f(16＋a＋b,6)＝4，
可得a＋b＝8，又中位数为4，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，
众数为5，标准差为eq \f(4\r(3),3)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，众数为4，标准差为eq \r(5).
∴去掉其中的一个最大数后，数据为1,2，a，b,5，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝5，))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为5，中位数为3，标准差为eq \f(8,5)；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝4))时，平均数为eq \f(16,5)，众数为4，中位数为4，标准差为eq \f(3\r(6),5).
综上，数据变化前后一定不变的是众数．
12．(2022·东三省四市联考)某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是( )
A．1 B．2 C．5 D．6
答案 D
解析 因为eq \f(6－22,5)＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，
因为eq \f(5－22,5)＝1.8<2.4，eq \f(2－22,5)＝0<2.4，
eq \f(1－22,5)＝0.2<2.4，
则其余的点数1,2,5都有可能出现．
13．小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若超出记为“＋”，不足记为“－”，则上周一至周五，他的完成情况分别为－2，－1，x，＋4，y，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是( )
A．13,14 B．－2，－1
C．13,13 D．－2，－2
答案 A
解析 因为－2，－1，x，＋4，y这五个数据的平均数是0，方差是5.2，所以有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－2－1＋x＋4＋y,5)＝0，,\f(－2－02＋－1－02＋x－02＋4－02＋y－02,5)＝5.2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))
不管取哪一组解，这5天的单词量均是以下几个数，13,14,13,19,16，
所以众数和中位数分别是13,14.
14．已知一组数据a，b,3,5的中位数为7，平均数为8，则ab＝________.
答案 135
解析 因为一组数据a，b,3,5的平均数为8，
所以eq \f(1,4)(a＋b＋3＋5)＝8，解得a＋b＝24，
若a＝b，则a＝b＝12，此时4个数为3,5,12,12，显然中位数不是7，
不妨设a
所以ab＝9×15＝135.
15．(多选)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是( )
A．68 B．65 C．296 D．306
答案 AC
解析 由题意可知eq \x\t(x)甲＝60，
甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \x\t(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为
eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68，
甲、乙两队全部队员的体重方差为
s2＝eq \f(1,5)×[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)×[300＋(70－68)2]＝296.
16．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：
在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的利润为8元，废品的利润为－20元．
(1)试估计该公司的年利润；
(2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量．据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
其中eq \x\t(x)为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请问该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
解 (1)由频率分布直方图得，一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40(张)，有副牌100×0.05×4×2＝40(张)，有废品100×0.025×4×2＝20(张)，
∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15＋40×8－20×20＝520(元)，
∴估计该公司的年利润为520万元．
(2)由频率分布直方图得，eq \x\t(x)＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.
这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：
∴一刀宣纸中正牌的张数估计为
100×0.682 7＝68.27，
废品的张数估计为100×(1－0.954 5)＝4.55，
副牌的张数为100×(0.954 5－0.682 7)＝27.18，
∴一刀宣纸的利润为
68．27×12＋27.18×5－4.55×20＝864.14(元)，
∴公司改进后该公司的利润为
864．14－100＝764.14(万元)，
∵764.14>520，∴建议该公司购买这种机器．纤维长度
频数
频率
[0,50)
4
0.04
[50,100)
8
0.08
[100,150)
10
0.10
[150,200)
10
0.10
[200,250)
16
0.16
[250,300)
40
0.40
[300,350]
12
0.12
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
94
97
97
95
93
93
95
93
95
乙
92
94
93
94
95
94
96
97
97
98
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
x的范围
(44,48]∪(52,56]
(48,52]
[0,44]∪(56,60]
质量等级
副牌
正牌
废品
x的范围
(eq \x\t(x)－2，eq \x\t(x)＋2)
(eq \x\t(x)－6，eq \x\t(x)＋6)
频率
0.682 7
0.954 5
x的范围
(48,52)
(44,56)
频率
0.682 7
0.954 5
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