新高考数学一轮复习讲义 第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念，共17页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、, 零角.,按终边位置不同分为象限角, 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × )
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是eq \f(π,6).( × )
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．( × )
教材改编题
1．若sin α<0，且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案 12π
解析 ∵α＝30°＝eq \f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq \f(2π,\f(π,6))＝12，
∴扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×12＝12π.
3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cs α＝________.
答案 －eq \f(3\r(10),10) eq \f(\r(10),10)
题型一 角及其表示
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案 AD
解析 B项，终边落在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度与弧度不能混用，故错误；
C项，第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故错误；
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－eq \f(17,8)≤k≤－eq \f(1,8)(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确．
(2)已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．
答案 二、四 第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析 ∵α是第三象限角，
即2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,2)4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
当k为偶数时，eq \f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，eq \f(α,2)为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
教师备选
1．角－2 023°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 ∵－2 023°＝－6×360°＋137°，
∴它是第二象限角．
2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
答案 D
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
答案 C
解析 与eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．
(2)集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
题型二 弧度制及其应用
例2 一扇形的圆心角α＝eq \f(π,3)，半径R＝10 cm，求该扇形的面积．
解 由已知得α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，
∴S扇形＝eq \f(1,2)α·R2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,3)·102＝eq \f(50π,3)(cm2)．
延伸探究
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形＝eq \f(50π,3)－eq \f(1,2)·R2·sin eq \f(π,3)
＝eq \f(50π,3)－eq \f(1,2)×102×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(50π－75\r(3),3)(cm2)．
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，
则l＝20－2R(0所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
教师备选
1．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.eq \f(4\r(3),3)π cm B.eq \f(8\r(3),3)π cm
C．4eq \r(3) cm D．8eq \r(3) cm
答案 B
解析 设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(3)＝eq \f(8\r(3),3)π(cm)．
2．已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．
答案 2
解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝4，
所以l＝eq \f(8,r)，设扇形的周长为L，
则L＝2r＋l＝2r＋eq \f(8,r)，r∈(0，＋∞)．
方法一 由基本不等式得2r＋eq \f(8,r)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当2r＝eq \f(8,r)，即r＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l＝eq \f(8,r)＝4，
故α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2.
方法二 由L′＝2－eq \f(8,r2)＝eq \f(2r2－8,r2)＝0，得r＝2，
所以当r∈(0,2)时，L′<0，L＝2r＋eq \f(8,r)单调递减；
当r∈(2，＋∞)时，L′>0，L＝2r＋eq \f(8,r)单调递增，所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l＝eq \f(8,r)＝4，故扇形的圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练2 (1)(2022·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq \f(π,4)米，整个肩宽约为eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.73)( )
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
答案 B
解析 由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，R＝1.25＝eq \f(5,4)，
∴其所对的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，
∴两手之间的距离d＝eq \r(R2＋R2)＝eq \r(2)×1.25≈1.768.
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
答案 2 2
解析 设扇形的圆心角为α，半径为r.
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2，,r＝1，))
所以弧长l＝αr＝2，
所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
题型三 三角函数的概念
例3 (1)若sin θ·cs θ<0，eq \f(tan θ,sin θ)>0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 由eq \f(tan θ,sin θ)>0，得eq \f(1,cs θ)>0，
所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.
答案 ±eq \f(2\r(5),5)
解析 由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，
∴sin α＝eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝eq \f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq \f(2\r(5),5).
(3)已知α的终边过点(x,4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝________.
答案 －eq \f(4,3)
解析 ∵α的终边过点(x,4)，且cs α＝－eq \f(3,5)，
∴x<0.
∵cs α＝eq \f(x,\r(x2＋16))＝－eq \f(3,5)，
∴x＝－3，
∴tan α＝－eq \f(4,3).
(4)(2021·北京)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
答案 eq \f(5π,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))
解析 ∵P(cs θ，sin θ)与
Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))
关于y轴对称，
即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，
θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12).
教师备选
已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(3,2) D．±eq \f(3,2)
答案 C
解析 设O为坐标原点，
由|OP|2＝eq \f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f(3,4)，y＝±eq \f(\r(3),2).
方法一 当y＝eq \f(\r(3),2)时，sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
当y＝－eq \f(\r(3),2)时，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \r(3)，
此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
所以sin α·tan α＝－eq \f(3,2).
方法二 由三角函数定义知，
cs α＝－eq \f(1,2)，sin α＝y，
所以sin α·tan α＝sin α·eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(sin2α,cs α)
＝eq \f(y2,－\f(1,2))＝eq \f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq \f(3,2).
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3 (1)已知θ是第三象限角，满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 ∵θ是第三象限角，
∴π＋2kπ<θ则eq \f(π,2)＋kπ即eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，
∴eq \f(θ,2)为第四象限角．
(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
答案 －eq \f(\r(6),4) ±eq \f(\r(15),3)
解析 由sin α＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)，
解得m＝±eq \r(5)，
∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
当m＝eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，
tan α＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，
tan α＝eq \f(\r(15),3).
课时精练
1．若α是第四象限角，则π＋α是第________象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
答案 B
解析 eq \f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，
故π＋α是第二象限角．
2．(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
答案 B
解析 终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B.eq \f(2,sin 1)
C．2sin 1 D．sin 2
答案 B
解析 如图，取AB的中点C，连接OC，
则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1 rad，
在△AOC中，sin 1＝eq \f(1,r)，
∴r＝eq \f(1,sin 1)，
∴所求弧长为αr＝eq \f(2,sin 1).
4．(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则( )
A．sin α>0，cs α>0
B．sin α>0，cs α<0
C．sin α<0，cs α>0
D．sin α<0，cs α<0
答案 A
解析 因为－2π<α＝－5<－eq \f(3,2)π，
所以α＝－5为第一象限的角，
所以sin α>0，cs α>0.
5．(多选)下列说法正确的有( )
A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B．1°＝eq \f(180,π) rad
C．若sin θ>0，cs θ<0，则θ为第二象限角
D．若θ为第二象限角，则eq \f(θ,2)为第一或第三象限角
答案 CD
解析 对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于B,1°化成弧度是eq \f(π,180) rad，故B错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；
由cs θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．
取交集可得θ是第二象限角，故C正确；
对于D，若θ是第二象限角，
则2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
则kπ＋eq \f(π,4)所以eq \f(θ,2)为第一或第三象限角，故D正确．
6．(多选)下面说法正确的有( )
A．角eq \f(π,3)与角－eq \f(5,3)π终边相同
B．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．若角α的终边在直线y＝－3x上，则cs α的取值为eq \f(\r(10),10)
D．67°30′化成弧度是eq \f(3π,8)
答案 AD
解析 角eq \f(π,3)与角－eq \f(5,3)π相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cs α的取值为±eq \f(\r(10),10)，故C错误；
67°30′化成弧度是eq \f(3π,8)，故D正确．
7．若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cs α＝________.
答案 eq \f(1,5)
解析 由题意得
r＝|OP|＝eq \r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，
则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4m,－5m)＝eq \f(4,5)，
cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3m,－5m)＝－eq \f(3,5)，
故sin α＋cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5).
8．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
答案 3π
解析 ∵120°＝eq \f(2π,3)，l＝αr，
∴r＝eq \f(l,α)＝eq \f(2π,\f(2π,3))＝3，
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×3＝3π.
9．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
10．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)的终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号为正．
11．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝∅ B．MN
C．NM D．M＝N
答案 C
解析 M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，
N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，
∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，
∴NM.
12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则α等于( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(7π,6) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(5π,3)
答案 D
解析 因为sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
故角α的终边在第四象限，
且tan α＝－eq \r(3)，又0≤α<2π，所以α＝eq \f(5π,3).
13.(2022·佛山模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由eq \(AB,\s\up9(︵))和其所对弦AB围成的图形，若弧田的eq \(AB,\s\up9(︵))长为eq \f(8π,3)，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为__________．
答案 8eq \r(3)＋2－eq \f(16π,3)
解析 设eq \(AB,\s\up9(︵))所对圆心角的弧度为α，
由题意可知α×4＝eq \f(8π,3)，
解得α＝eq \f(2π,3).
故扇形AOB的面积为eq \f(1,2)×eq \f(8π,3)×4＝eq \f(16,3)π，
△AOB的面积为eq \f(1,2)×sin eq \f(2π,3)×42＝4eq \r(3)，故弧田实际的面积为eq \f(16π,3)－4eq \r(3).
作OD⊥AB分别交AB，eq \(AB,\s\up9(︵))于点D，C，
则AB＝4eq \r(3)，OD＝2，CD＝2，
所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2，
则所求差值为(4eq \r(3)＋2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16π,3)－4\r(3)))
＝8eq \r(3)＋2－eq \f(16π,3).
14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是________．
答案 S1＝S2
解析 设点P，Q的运动速度为v，运动时间为t，圆O的半径为r，则eq \(AQ,\s\up9(︵))＝AP＝tv，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S1＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，
S2＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，
∴S1＝S2.
15．若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，且sin α·cs β<0，则cs α·sin β＝________.
答案 ±eq \f(\r(3),4)
解析 由角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，得cs β＝eq \f(1,2)，又由sin α·cs β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq \r(3)x得x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs α＝x＝－eq \f(1,2)，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(\r(3),2)，所以sin β＝±eq \f(\r(3),2)，
所以cs α·sin β＝±eq \f(\r(3),4).
16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝eq \f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)；方案二中扇形的弧长＝1×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)；
方案一中扇形的面积＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，方案二中扇形的面积＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2