数学七年级上册1.2.4 绝对值课后测评

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第2讲 绝对值

知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：

互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a（a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a＜0＜b，则a的相反数与b的和为________．
【解析】解：因为|a|=3，|b|=2，
所以a=±3，b=±2，
因为a＜0＜b，
所以a=﹣3，b=2，
所以a的相反数与b的和=3+2=5．
故答案为：5．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a，b的值是解题的关键.
2.已知|x-2017|+|y﹣2016|=0，则x+y=____
【解析】解：由|x-2017|+|y﹣2016|=0，得
x-2017=0，y﹣2016=0，
解得x=2017，y=2016．
x+y=4033，
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y﹣2016=0，计算出x、y的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（2017秋•河西区校级月考）若|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|=0，求（x+1）（y﹣2）（z﹣3）的值．
【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|=0，
∴x=1，y=﹣2，z=3，
则（x+1）（y﹣2）（z﹣3）
=2×（﹣4）×0
=0．

2．（2017秋•顺义区期末）当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
【解答】解：（1）当a＞0时，=1；
当a＜0时，=﹣1；
（2）∵，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0时，=﹣1；
当a＜0，b＞0时，=﹣1；
3．（2017秋•汉阳区校级期中）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=1+1+1+1
=4；
②a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=1+1﹣1﹣1
=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=1﹣1+1﹣1
=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=﹣1﹣1﹣1+1
=﹣2；
③a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=1﹣1﹣1+1
=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=﹣1﹣1+1﹣1
=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=﹣1+1﹣1﹣1
=﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=﹣1+1+1+1
=2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：A．

知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（　　）
A. ﹣2 B. 0 C. ﹣3.2 D. 4
【解析】解：利用绝对值比较两数大小的方法，将4个数两两比较后按由小到大的顺序排列，得﹣3.2＜﹣2＜0＜4，
所以最小的数是﹣3.2，故选C.
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋•宜宾期末）有理数a、b、在数轴上的位置如图所示．

（1）用“＞”或“＜”填空：a+b___0，c﹣b_____0；
（2）化简：|a+b|+|c|﹣|c﹣b|．
【解答】解：（1）∵从数轴可知：c＜﹣1＜a＜0＜1＜b，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0，
故答案为：＞，＜；

（2））∵从数轴可知：c＜﹣1＜a＜0＜1＜b，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0，
∴|a+b|+|c|﹣|c﹣b|=a+b+（﹣c）﹣（﹣c+b）
=a．
　
2．（2017秋•黔南州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点到原点的距离相等．
（1）用“＞”“=”“＜”填空：b____0，a+b____0，a﹣c____0，b﹣c____0；
（2）化简|a+b|+|c﹣a|﹣|b|．

【解答】解：（1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：
b＜0，a+b=0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；

（2）|a+b|+|c﹣a|﹣|b|
=0+（a﹣c）﹣（﹣b）
=a﹣c+b
故答案为：＜、=、＞、＜．

知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．

【解析】解：∵|a|=2，|b|=2，|c|=4，
∴a=±2，b=±2，c=±4，
由数轴可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴a=﹣2，b=2，c=4．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.　
【随堂练习】
1．（2017秋•宜宾县校级月考）如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．

【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，c＜0，
故原式=a﹣（﹣b）﹣（﹣c）
=a+b+c．

　
2．（2016秋•南安市校级期中）如图：

（1）数轴上点A表示的数是____；点B表示的数是_____．
（2）若点C与点O（原点记为点O）的距离记为|OC|，有|OC|=5，则|CD|=____．
（3）若数轴上M、N两点所表示的数分别为x、y，则|MN|=_____．
【解答】解：（1）由图可知，（1）数轴上点A表示的数是﹣3；点B表示的数是2.5；
（2）由图可得，点C表示的点为5，所以，|OC|=5﹣0=5，
又点D表示的点为﹣6，所以|CD|=5﹣（﹣6）=11；
（3）由图可得，数轴上M、N两点所表示的数分别为x、y，则|MN|=y﹣x．
故答案为：﹣3，2.5；11；y﹣x．

知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______

【解析】解：∵|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，即表示a的点与表示c的点之间的距离为4，表示b的点与表示d的点之间的距离为4，表示a的点与表示d的点之间的距离为5，
∴表示a的点与表示b的点之间的距离为5﹣4=1，
表示c的点与表示d的点之间的距离为5﹣4=1，
∴表示b的点与表示c的点之间的距离为4﹣1=3．
即|b﹣c|=3.
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．

2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【解析】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，故答案为：7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；
（3）通过数轴可知，到点2距离为5的数是7和-3，
故答案为：7或﹣3；
（4）∵|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x-（-3）|+|x﹣1|=4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，由数轴可知，x应为数轴上3到6当中的任一点，且最短距离为3，故有最小值，最小值是3．
【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.
【随堂练习】
1．（2016秋•西城区校级期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+（b﹣1）2=0．现将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a﹣b|．
（1）|AB|=_____；
（2）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|=2时，求x的值．
【解答】解：（1）∵|a+4|+（b﹣1）2=0，
∴a=﹣4，b=1，
∴|AB|=|a﹣b|=5；

（2）当P在点A左侧时，
|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．
当P在点B右侧时，
|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2．
∴上述两种情况的点P不存在．
当P在A、B之间时，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x，
∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2．
∴x=﹣，即x的值为﹣；
故答案为：5．

　
2．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|=_____．
（2）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是　___________．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）原式=|5+2|
=7
故答案为：7；

（2）令x+5=0或x﹣2=0时，则x=﹣5或x=2
当x＜﹣5时，
∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）=7，
﹣x﹣5﹣x+2=7，
x=5（范围内不成立）
当﹣5＜x＜2时，
∴（x+5）﹣（x﹣2）=7，
x+5﹣x+2=7，
7=7，
∴x=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x＞2时，
∴（x+5）+（x﹣2）=7，
x+5+x﹣2=7，
2x=4，
x=2，
x=2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；

（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．

综合集训
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣23|中，负数有_______________.
【解析】解：因为﹣（﹣2）=2，﹣|﹣7|=-7，﹣|+1|=-1，|﹣23|=23，负数有﹣|﹣7|，﹣|+1|．
故答案为﹣|﹣7|，﹣|+1|.
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
【解析】解：∵|﹣7|=7，
∴|m|=|﹣7|=7，
∴m=±7，
故答案为：±7．
3.在数﹣5，﹣13 ，-25，-16中，大于﹣15的数有___________.
【解析】解：∵|﹣5|=5，|﹣15|=15，5＞15，∴﹣5＜﹣15；
∵|﹣13|=13，|﹣15|=15，13＞15，∴﹣13＜﹣15；
∵|﹣25|=25，|﹣15|=15，25＞15，∴﹣25＜﹣15；
∵|﹣16|=16，|﹣15|=15，16＜15，∴﹣16＞﹣15．
故答案为-16.
4.填空：
（1）﹣34的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
【解析】解：（1）﹣34的绝对值的相反数是﹣34，﹣0.3的相反数的绝对值是 0.3；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是±2；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为 3和﹣3；
（4）相反数等于它本身的数是 0，相反数等于它的绝对值的数是非正数，
故答案为：﹣34，0.3；±2；3，﹣3；0，非正数．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．
【解析】解：∵|x﹣2|+|y-3|=0，
∴x=2，y=3，
∴x+y=2+3=5．
故答案为：5．
6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
【解析】解：∵|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，
∴x+1=0，y﹣2=0，z+3=0，
解得：x=﹣1，y=2，z=﹣3，
∴|x|+|y|+|z|=|﹣1|+|2|+|﹣3|=6．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.

【解析】解：∵|p﹣r|=10，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，
∴| r﹣s|=12-10=2，
∴|q﹣r|=9-2=7．
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
【解析】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，
∴a=2，b=3，c=4，
∴a+2b+3c=2+6+12=20．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
【解析】本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以-1≤x≤3。
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；
（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．
【解析】解：理解：
（1）画出数轴，由数轴可知，表示2和﹣4的两点之间的距离是6；
故答案为6.
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是|x-（-6）|；
故答案为|x-（-6）|.
应用：
（1）代数式|x﹣1|+|x-（-2）|表示点x到表示1的点与表示-2的点的距离和，由数轴可知，当x在1和-2之间时，距离和有最小值3，
所以当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣2≤x≤1，最小值为3；
故答案为﹣2≤x≤1， 3.
（2）∵代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|表示点x到表示点1的点的距离与表示-2的点的距离差，
当x≤﹣2时，由数轴可知该距离差为3，
∴|x﹣1|﹣|x-（-2）|=3．
故答案为：=．