专题2-2 函数性质2：“广义”奇偶性-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）
展开专题2-2 函数性质2：“广义”奇偶性
目录
一、热点题型归纳...........................................................1
【题型一】奇偶函数性质.....................................................1
【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称..................................3
【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴.........................................4
【题型四】奇偶性与周期性....................................................4
【题型五】奇偶性与零点.....................................................6
【题型六】奇偶性与比大小....................................................6
【题型七】奇偶性与导数.....................................................7
【题型八】奇偶性与求参.....................................................8
【题型九】抽象函数与奇偶性..................................................9
【题型十】中心对称应用：倒序求和............................................10
二、真题再现.............................................................11
三、模拟检测.............................................................13
【题型一】奇偶函数性质
【典例分析】
已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【提分秘籍】 基本规律 奇偶性 (1)奇偶函数的性质 ①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； ②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； ③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ； (2)奇偶性的判定 ①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ； ②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (2)常见奇函数 ①f(x)＝ ②f(x)＝loga ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(＋x) f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等；
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【变式演练】
1.若函数对任意的，总有恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
2.设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A． B． C． D．
3.已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（ ）
A．B．C． D．
【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称
【典例分析】
定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心. |
【变式演练】
1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴
【典例分析】
已知函数在区间的值域为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【提分秘籍】 基本规律 函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； |
【变式演练】
1.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③
2.定义域为R的函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于y轴对称.若实数s，t满足，则当时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知函数，则使得不等式成立的t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】奇偶性与周期性
【典例分析】
定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为
A．15 B．16 C．17 D．18
【提分秘籍】 基本规律 若 可知函数的周期， 关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论 1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。 2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。 3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
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【变式演练】
1.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【题型五】奇偶性与零点
【典例分析】
设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为
A．6 B．7 C．13 D．14
【提分秘籍】 基本规律 利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质,因而函数的零点也可以对称性来研究计算。
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【变式演练】
1.定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
2.已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
3.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【题型六】奇偶性与比大小
【典例分析】
已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当 成立（是函数的导数），若，则的大小关系是
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小。 2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小
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【变式演练】
1.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型七】奇偶性与导数
【典例分析】
已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 解函数不等式： （1）把不等式转化为的模型； （2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别 |
【变式演练】
1.已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3.已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型八】奇偶性与求参
【典例分析】
定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】 基本规律 利用奇偶性和单调性，解决恒成立或者存在型求参 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）；
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【变式演练】
1.设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知定义在上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知偶函数的定义域为，对，，且当时，，若函数在上恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型九】抽象函数与奇偶性
【典例分析】
已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确是（ ）
①函数可能是奇函数；
②函数可能是周期函数；
③存在，使得；
④对任意，都有.
A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③
【提分秘籍】 基本规律 涉及到抽象型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难
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【变式演练】
1已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）
2.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.
【题型十】中心对称应用：倒序求和
【典例分析】
已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则
A．45 B．15 C．10 D．0
【提分秘籍】 基本规律 倒序求和的数学思想是中心对称。 |
【变式演练】
1.已知函数，若，其中，则的最小值为
A． B． C． D．
2.设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
3.已知函数满足，与函数图象的交点为，则=
A．0 B． C． D．
二
1．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是
A． B．
C． D．
2．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
4．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
9．定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
A．0 B．1 C．3 D．5
10．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
12．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
A． B． C． D．
13．若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
三
1.已知正方形的四个顶点都在函数图象上，且函数图象上的点都满足，则这样的正方形最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
3.已知函数，其中，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形
4.已知是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5.函数的大致图象为（ ）
A．B．C． D．
6.已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.设函数是函数的导函数，已知，且，，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，f(2﹣x)=f(2+x)，且在区间[0，2]上，f(x)=+cosx﹣1，m=f()，n=f(7)，t=f(10)，则（ ）
A．m<n<t B．n<m<t C．m<t<n D．n<t<m
10.已知函数是定义在的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在内单调递增
C．函数相邻两个对称中心的距离为
D．函数的图象在区间内的零点满足
11.已知是定义在上的偶函数，当时，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，对于，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
14.已知函数，则实数的值是
A．4036 B．2018 C．1009 D．1007
15.设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,).若为上的“型增函数”,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
16.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
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