专题2-1 函数性质1：值域12类归纳-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题2-1 函数性质1：值域12类归纳

目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】值域基础1：幂函数求值域 1
【题型二】值域基础2：指数函数求值域 3
【题型三】值域基础3：对数函数求值域 3
【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域 7
【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域 9
【题型六】值域基础6：分段函数与值域 11
【题型七】值域基础7：绝对值函数求值域 13
【题型八】值域基础8：“无理函数”求值域 16
【题型九】“高斯函数”与值域 18
【题型十】“保值函数”与值域 20
【题型十一】“放大镜”函数与值域 22
【题型十二】抽象函数、复合函数与值域 24
【题型十三】值域综合 26
二、真题再现 28
三、模拟检测 31





【题型一】值域基础1：幂函数求值域
【典例分析】
若函数（）的定义域和值域分别为集合，且集合表示的平面区域是边长为1的正方形，则的最大值为__________．
【答案】5
【详解】由题可知， ，则 ，， 因为 表示的平面区域是边长为1的正方形，所以，可得， ，，所以，当时有最大值5．

【提分秘籍】
基本规律
幂函数主要考察一元二次函数
二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.

【变式演练】
1.设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
【答案】[1,13]
【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].故答案为：[1,13].
2.已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________.
【答案】
由函数知存在极大、小值，而的值域为，则必包含极值点，列不等式组求的取值范围.
【详解】由解析式知：，
∴、上，即单调递增；上，即单调递减；
∴有极大值，极小值，
由题意知：，即有：，解得，故答案为：
3.已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
【答案】3
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.
【详解】
画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,
∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,
∴的最大值为；
故答案为：3.
【题型二】值域基础2：指数函数求值域
【典例分析】
函数是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为______
【答案】
【分析】由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可.
【详解】函数是奇函数，则:①,
结合函数所过的点可得:②,①②联立可得:， 则函数的解析式为:，结合指数函数的性质可得:，，.
故答案为：.

【提分秘籍】
基本规律
1、 底数讨论单增单减讨论。
2、 “一点一线”伴随。


【变式演练】
1.函数的值域为_________．
【答案】．
【详解】试题分析：设，因为所以又函数为增函数，有所以函数的值域为．
2.关于函数的性质，有如下四个命题：
①函数的定义域为；
②函数的值域为；
③方程有且只有一个实根；
④函数的图象是中心对称图形．
其中正确命题的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】①可以利用指数函数的值域得到，从而求出定义域；②利用得到值域；③构造函数，求导，求出单调性，结合零点存在性定理求出答案；④求出，从而得到函数关于点对称，故的图象是中心对称图形.
【详解】①因为，所以函数的定义域为，①正确；
②因为，所以函数的值域为，②错误；
③令，则恒成立，故单调递减，又，，故由零点存在性定理及函数单调性可知：方程只有一个实根，③正确；
④，所以函数关于点对称，④正确．
故答案为：①③④
3.已知函数，，则函数的值域为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B


【题型三】值域基础3：对数函数求值域
【典例分析】
设函数的定义域为，值域为，若的最小值为，则实数的值是_____________．
【答案】或
【分析】根据题意，利用函数图像的变换，作出的图像，根据图像特点，结合题意，分和进行讨论，列出关于的等式关系，即可求解出结果．
【详解】如图所示，做出的图像，

若，当时，时，．
若时， 当时，，．综上所述，或

【提分秘籍】
基本规律
1.对数函数中要注意f（b）=f（c）时。bc=1这个特征，。
2.对数函数源于指数函数，所以和指数函数互为反函数。

【变式演练】
1.若函数的值域为R，则实数k的取值范围为_____．
【答案】
【分析】将问题转化为能取尽所有的正数，然后再分和两种情况，并结合函数的性质求解即可．
【详解】∵函数的值域为R，
∴能取尽所有的正数．
①当时，，能取尽所有的正数，符合题意；
②当时，要使能取尽所有的正数，
则需满足，解得或，
综上可得或,
∴实数的取值范围为.
2.已知函数的值域为，则与的和为_______．
【答案】4或0
【详解】试题分析：本题是已知函数值域，求参数值问题，可根据题意知函数定义域为，由值域反过来求，即由已知得的值域是，从而有即，注意两个不等式中等号一定成立，因此两式的判别式为0，由此可求得值．
试题解析：因为的值域为，
即，所以即
当且仅当时，取等号．
解方程组可得或
3.已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.
若命题为真，则在上恒成立，，；
若命题为真，则的值域包含，
则或， ；
为真，为假，一真一假，
若真假，则；若假真，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.

【题型四】值域基础4：分式（类反比例）型函数求值域
【典例分析】
已知为非零实数，，且.若当时，对于任意实数，均有，则值域中取不到的唯一的实数是_________．
【答案】
【详解】试题分析：因为当时，对于任意实数，均有，所以，即，因为对恒成立，所以且，所以，因为，，所以和是方程的两个根，即和是方程的两个根，所以，，由得：，所以，即取不到这个数，所以值域中取不到的唯一的实数是，所以答案应填：．

【提分秘籍】
基本规律
1.分离常数，通过“左加右减上加下减”可求得分式函数的对称中心。
2.特殊的，形如
3.注意“水平渐近线和竖直渐近线”

【变式演练】
1.设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】可得，分、、、根据定义可得答案.
，因为，所以，
所以，当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以函数的值域为，
故选：C.
2.定义区间长度为，已知函数 的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为__________.
【答案】
【分析】先分析函数单调性，根据单调性结合值域列方程，转化为对应一元二次方程根的情况，再根据求根公式求长度，根据二次函数性质求其最大值，即得的值.
【详解】因为，所以在和上都是单调递增函数，所以或
因为值域是，所以
即为方程两个不同的实根,
所以或
长度为
所以当时，长度取最大值，
故答案为：3
3.关于函数（R）的如下结论：
①是奇函数； 　　②函数的值域为（－2,2）；
③若，则一定有； ④函数在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①②③
【分析】根据函数的解析式，逐一判断以下结论是否正确．
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，，，
所以，是奇函数，①正确；当时，，
因为是奇函数，当时，，又，所以函数的值域为
（－2,2），②正确；当时，，函数在上递增，因为是奇函数，所以函数在上单调递增，故若，则一定有，
③正确；由方程，得或，显然方程无实解，故函数在R上有一个零点，④不正确；综上，正确结论的序号有①②③．

【题型五】值域基础5：“对钩”与“双曲”函数求值域
【典例分析】
已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为_________ .
【答案】7
将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.
【详解】因为，令，
所以，因为，所以，
所以在上递减，在递增，所以①，
又，所以②，
所以，由①②得或，因为，所以
所以a+b=7。故答案为：7


【提分秘籍】
基本规律
1.对勾函数图像的特征：(1)渐近线；（2）拐点。
2.双刀函数，可用或者简单判断，要注意“渐近线”。


【变式演练】
1.已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若函数的值域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.
【详解】1、当时，在上递增，故，满足题设；
2、当，即，
若，即时，函数在上递减，在上递增，故，可得；
若，即时，函数在上递增，故，满足题设；
综上，.
故答案为：.
2.已知函数，则该函数的值域为________________________.
【答案】
【分析】当时，，当时，，当时，将化为，再换元，令，，，利用导数求出的值域后，可得的值域.
【详解】当时，，当时，，当时，
，令，因为在上为减函数，所以，设，，则，
当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以，所以，所以当时，，
综上所述：当时，.故答案为：
3.函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把作为一个整体，求出其范围，再利用基本不等式求解．
由已知，
当且仅当，即时等号成立，
所以的值域是．
故选：B．

【题型六】值域基础6：分段函数与值域
【典例分析】
已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.
【详解】函数，所以当时，，
所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.
因为，，
当时，不成立；
当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；
当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且
，综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
分段函数，要注意两段交接处，函数的变化

【变式演练】
1.设函数是单调函数．若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据函数的值域为可求得，利用导数求出当直线与函数的图象相切时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，，所以，函数在上为增函数，此时，，
所以，函数在上的值域应包含，则.
由于函数在上为单调函数，则该函数在上为增函数，
所以，解得，即实数的取值范围是；
当时，，由题意可得，可得.
又，.
设，则.
设直线与曲线的图象相切于点，如图，
所以，，解得.
由图象可知，当，直线与函数的图象没有公共点.
故答案为：.
2.若函数的值域为，给出下列命题：①；②；③；④.其中所有正确命题的编号是___________.
【答案】①②④
【分析】①用导数法判断在上的单调性即可；②判断在上的单调性求值域即可；③令，判断的大小，再利用函数的单调性判断；④利用基本不等式结合等式运算判断.
【详解】当时，，则，所以在上递增，所以，故①正确；
当时，，在上递减，所以，则的值域是，
又因为的值域是，所以，故②正确；
令，则，当时，，所以在上递增，
则，即，由②知在上递减，所以，故③错误；
当时， ，所以，
即故④正确，
故答案为：①②④
3.．已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据第一段函数的单调性求出函数值的取值范围，再根据第二段函数的单调性结合函数的值域进而确定m的取值范围．
【详解】当时，函数为增函数，此时
因为，当时，
当时，关于对称，且在单调递增，在单调递减，
当时，
当时，
由得，则或，
由得，则（舍）或，
因为的值域为，所以m的取值范围是
故答案为：
【题型七】值域基础7：绝对值函数求值域
【典例分析】
设函数的定义域和值域都是，则________.
【答案】1或
【分析】易得，然后再分别讨论，，三种情况即可求解．
【详解】因为是偶函数且，易得，
（1）当时， 即，解得，即；
（2）当时，此时值域，所以此时，此时，且，即，解得，所以；
（3）当时，即 解得，此时不符合题意舍去；
综上所述：或者．故答案为：1或．

【提分秘籍】
基本规律
绝对值函数，主要是分类讨论。
1.一元一次函数加绝对值，是 折线
2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点
3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置


【变式演练】
1.设，，已知函数的定义域是，值域是，若关于的方程有唯一的实数解，则______________．
【答案】1
【分析】根据函数值域求出，根据方程唯一实数解求出，即可求解.
【详解】的值域是，
，，①
关于的方程有唯一的实数解，
即关于的方程有唯一的实数解，
作出函数图象，与有唯一实数解，
即

则
又由函数在递增，在递减，
当定义域是，值域是，得即：.故答案：
2.已知函数，若存在实数t，使的值域为，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据，解得，，讨论和两种情况，计算最值得到答案.
【详解】根据题意知，解得，，解得；
当时，在上的最大值为，
在上的最大值为，不成立；
当时，取，故在上的值域为，
在上的满足，，
，故满足条件；
综上所述：.故答案为：.
3.．若函数，的值域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】分别讨论对称轴与给定的区间的关系，得出函数在给定的区间上的单调性，从而得出最值求解不等式组.
【详解】(1)当时，在单调递增，
当时，的值域为，不满足题意；
(2) 当时，在单调递增，
当时，的值域为，不满足题意；
(3) 当时，在单调递减，在单调递增，
要使当时，的值域为，则需；
即，解得；
(4) 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
要使当时，的值域为，则需；
即，解得；
综上得知实数的取值范围是.
故得解.

【题型八】值域基础8：“无理函数”求值域
【典例分析】
函数的值域为______．
【答案】
【分析】构造一个与原函数定义域一致，在定义域上单调，且与原函数平方和为定常数的函数，即可利用所构造函数的值域求出的值域.
【详解】由己知得，，，
构造函数，则在上单调递增，
即可得因为，所以，所以
故答案为：

【提分秘籍】
基本规律
1.对于根式函数求值域时,若 可用换元法（代数换元或者三角换元）进行求解;
2.若 可用几何意义法求解.

【变式演练】
1.函数的值域为_______________.
【答案】.
令,两边平方,用 将 表示出来,结合 可求出的取值范围.
【详解】解:设,则
所以 ,即 整理得.解得或
故答案为: .
2.函数的值域为_____.
【答案】[，]
【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=cosθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.令x﹣2=cosθ     且θ∈[0，π]
∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.故答案为：

3.对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________.
【答案】-4
【分析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可.
【详解】函数，其中
若，由于，即，
∴对于正数b，的定义域为:，
但的值域，故，不合要求.
若，对于正数b，的定义域为.
由于此时，故函数的值域.
由题意，有，由于，所以.
故答案为：﹣4

【题型九】“高斯函数”与值域
【典例分析】
定义函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当时，的值域为An，记集合An中元素的个数为，则的值为_________.
【答案】
【分析】根据函数的定义判断在上值域中元素的个数，进而可得通项公式，应用裂项相消法求目标式的值.
【详解】由题设，，
所以在各区间上值域中元素个数为1、1、2、…、，
所以，则，
所以.
故答案为：.

【提分秘籍】
基本规律
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
因为它具有“类周期性”，所以考查函数值域多与数列关联。.
【变式演练】
1.定义函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_____________．
【答案】
【分析】根据的定义，依次求出数列的前5项，再归纳出，利用累加法求出即可
【详解】解：由题意得，当时，由于，所以，所以，
则，
当时，由于，所以，所以，
则，
当时，由于，所以，所以，
则，
当时，由于，所以，所以，
则，以此类推，得，利用累加法得，，
故答案为：
2.定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为________.
【答案】
先由题意求出，再求，接着求出，即可得到的通项公式，表示出，用裂项相消法求出即可.
【详解】表示不超过的最大整数，当时，，，
在各区间内的元素个数为，，，，，，
，，
.故答案为：.
3.函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数
【答案】
【分析】为周期函数，故只要考虑函数在上的函数值的取值集合，分四种情形分类讨论即可．
【详解】，，
故，所以为周期函数．故考虑上的的取值集合．
当时，，故，所以；
当时，，所以，所以；
当时，，所以，所以；
当时，，综上，的值域为．

【题型十】“保值函数”与值域
【典例分析】
设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等的实根，且两根都大于0
则，解得所以实数的取值范围是.故答案为：


【提分秘籍】
基本规律
“保值函数”，如【典例分析】可以建立得到方程，从而将问题转化为图像有两个交点的问题.


【变式演练】
1.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据导数判断f(x)在上的单调性，从而判断在上的单调性，根据值域求出k的关系式，参变分离出k，构造新函数，将问题转化为求新函数的值域问题.
【详解】∵，
∴在单调递增，
∵，∴在单调递增，
∵在的值域为，∴，
即方程在上有两根，
即在上有两根，
令，则，
∵且在(0，＋∞)单调递增，
∴时，，单调递减；时，，单调递增.
又，
∴要使在上有两根，则.故答案为：.
2.设函数，若存在实数､，使在上的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构造，研究其在上有两个零点的情况下的取值范围即可.
【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，
∴，易知：，
∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，
∴对于，有，可得，
∴综上，.故答案为：
3.函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据复合函数单调性关系先判断函数为单调增函数，再根据值域关系建立方程，然后转化为一元二次方程根的个数问题求解．
【详解】依题意，函数，
（1）设，
当时，为增函数，也是增函数，则为增函数；
当时，为减函数，也是减函数，则为增函数；
综上，函数为单调增函数，即在内是单调函数；
（2）在内是单调增函数，若为 “梦想函数”
设存在，使得在上的值域为，
则有，即
是方程的两个不等的实根，
设，则，所以方程等价为的有两个不等的正实根，
则有，即，解得：0，故答案为：.
【题型十一】“放大镜”函数与值域
【典例分析】
定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有；
②函数的值域为；
③存在，使得；
【答案】①②
【分析】根据定义求值、求的值域、解方程
【详解】因为,所以①对;
因为当时，，当时，，
当时，，
当时，，
因此当时， ，
从而函数的值域为；所以②对;
因为，所以由上可得,
即，无解.所以③错；
综上正确结论的序号是①②

【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。

【变式演练】
1.定义在上的函数，当时，，且对任意，满足，则在区间上的值域是________.
【答案】
由得，当时，，代入可得的解析式，从而得值域.
【详解】当时，
对称轴为，开口向上
当时，当时，
在区间上的值域是故答案为：.
2.．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
3.已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A． B．函数有5个零点
C．函数在上单调递增 D．函数的值域为
【答案】C
【分析】由函数解析式，画出函数图象，数形结合即可求解；
解：因为，
所以，，故A错误；
当时，，当时，，所以画出函数图象如下所示，由图可得函数有4个零点，故B错误，函数在上单调递增，故C正确；，，故函数的值域为，故D错误；
故选：C


【题型十二】抽象函数、复合函数与值域
【典例分析】
已知定义在R上的单调函数，其值域也是R，并且对任意，都有，则等于___________.
【答案】2021
【分析】根据给定的抽象函数关系，利用赋值法进行推理计算作答.
【详解】因对任意，都有，则取，有，取，有，
于是得：，又函数在R上的单调，则，
因函数的值域也是R，令，则有，
因此，，即，则有，
所以.故答案为：2021

【变式演练】
1.已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是__________.（参考数据：，，）
【答案】
【分析】求出的单调区间和值域，从而得出的最大值与单调区间端点的关系，从而可求出的范围
【详解】解：由（），得，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，即的值域为，
所以的值域为，所以，所以，
设，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
，，
所以的最小值为5，故答案为：5
2.已知且，函数．记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是_____．
【答案】2
【分析】通过两次求导，得到在上单调递减，在上单调递增，从而求得，求值域的本质是求在上的值域，结合题意，按和分类讨论即可求得的最大值.
【详解】由，得，
令，则恒成立，
所以函数单调递增，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
于是的值域为，即.
若，则的值域，此时成立；
若，则的值域，
因为，所以不满足.
因此且，所以的最大值是2.
故答案为：2.
3.已知，则函数的值域为________.
【答案】
【分析】先求出的值域，并以此为定义域求函数的值域.
【详解】由题：，
，，所以的值域，
令，
函数的值域即，的值域，
，
当时，，当时，，
所以其值域为.
综上所述：函数的值域为.
故答案为：
【题型十三】值域综合
【典例分析】
．函数的值域是   
A． B． C． D．
【答案】A
由，知，解得
令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：

由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.
当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.
当直线过点A(4,0)时，，解得.
所以，即.
故选A.

【变式演练】
1.函数f(x)＝的值域为(　　)
A．[－,] B．[－,0]
C．[0,1] D．[0,]
【答案】C
令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.

点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
2.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为___________________ ．
【答案】
【分析】可根据是定义在上，以1为周期的函数，研究函数的性质，得，由此关系求出函数在在区间，上的值域即可．
由题意 在上成立，
故，
因为为上周期为1的函数，
所以
由此知自变量增大1，函数值也增大1
由在上的值域为，
可得在上的值域为，
在上的值域为，
……
在上的值域为，
在上的值域为，
……
在上的值域为，
故在，上的值域为，
故答案为：，
3.已知函数的定义域为实数集，满足（是的非空真子集），若在上有两个非空真子集，且，则的值域为__________．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，所以，；当时，；当时，；故，即值域为，故答案为.




二
1.已知函数＋的最大值为M，最小值为m，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设可得，，即，也即，所以，则，应选C.
点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题转化为求二次函数的最大值和最小值的问题，最后再解不等式，求得，从而使得问题获解.
2.已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
【答案】
【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
3.若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式______．
【答案】
【详解】试题分析：因为f(x)=，由f(x)是偶函数知，，解得或，若，则f(x)=，其值域不为(－∞，4]，故不适合；若，则f(x)= ，由f(x)的值域为(－∞，4]知，，所以f(x)=.
4.已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
【答案】9．
【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
5.函数的值域为_________.
【答案】
【分析】当时，；当时，，可得值域
【详解】当时，；当时，，故函数的值域为.
6.函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果.
【详解】，，，
∴函数的值域为.故选：A
7.已知函数则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．是增函数
C．是周期函数 D．的值域为
【答案】D
【详解】
试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不正确.由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.
8.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【详解】
试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．
9.设,，，，记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取特殊值，如,作图，分别求得的值，用排除法选择．
【详解】
在坐标作出四点，
时，如下图，平行四边形内部有9个整点，排除D，

时，如下图，平行四边形内部有12个整点，排除A，

时，如下图，平行四边形内部有11个整点，排除B，

故选：C．
10.设,是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
在坐标系中作出函数的图象,的值域是,
的值域是.故选C.


三
1.已知函数若f(x)的值域为(0，+∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】或
分别求出当及时的范围，结合函数的值域可得关于的不等式，利用导数可求实数a的取值范围.
【详解】当时，，
若，则当时，，这与函数的值域为矛盾，
若，则当时，，因为函数的值域为，
故，令，则且即，
令，则，
当时，，当，，
故在上为增函数，在上为减函数，
又，故即，所以，
所以 ，而，
故的解为或，故或.故答案为：或.
2.．规定，若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“绅士风度”函数.已知函数（且）为“绅士风度”函数，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由新定义可得方程有两个不相等的实根，两边取自然对数，转化为有两个不等的实根，令函数，分析其单调性得其最值，即可得到所求a的范围.
【详解】由新定义可得函数在定义域上的值域是，即方程有两个不相等的实根，
即有，即有两个不相等的实根.
令，则的导数为，
所以当时，，递减，当时，，递增，
即有取得最大值，且，，，所以，
所以有.解得.故答案为:.
3.设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【答案】
根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.
【详解】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
4.已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】对求导，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而得其值域，再设，由已知得需，解之求得的范围.
【详解】由已知得函数的定义域为，且,∵，∴，
∴在上单调递增，在上单调递减；在上的值域为；
根据题意有； 的解集为，
则设，当时，；在上的值域与函数在上的值域相同；
即在上的值域为；只需，即，得.
故答案为:.
5.二次函数满足：，又，若在上的值域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
因为二次函数满足：，所以可设，又，，，又在上的值域为，所以，即实数的取值范围是，故答案为.
6.已知，函数的值域为，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】的值域为，，
，，，
当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.
7.函数的值域为__________.
【答案】
【详解】由已知得的定义域为.
令.则.
又，故，且.
显然，在区间上单调递增，因此即的值域为.
8.若二次函数的值域为，则的最小值为__________．
【答案】.
【分析】由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．
【详解】∵二次函数（）的值域为，
∴，，∴，，，
∴
，
当且仅当时取等号，故答案为．
9.已知函数在的值域为，则实数的最小值为_____．
【答案】
【详解】因为，所以 ，令，则，，
（1）当时，在上恒成立，即函数在上单调递增，则，即；
（2）当时，函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，
①若时，则在单调递增，则，即；
②若，即时，，即；
③若，即时，，即；
综上所述，，即实数的最小值为.
10.．用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是，，则其值域中元素个数为_________．
【答案】
【详解】的定义域是，当时，，
，函数值有个；当时，，
，函数值有个；当时，，
，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；
当时，，，能取到，函数值有个，…                  当时，，，，函数值有个，值域中元素个数为：，故答案为.
11.已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用为奇函数求得，联立，化简后写出根与系数关系，根据的中点的纵坐标求得，进而求得的值域.
因为为奇函数，所以，即，解得，
经检验为奇函数，定义域为，符合题意.
联立，消去得到关于y的二次方程，
，
设，，则，
因为的中点的纵坐标为，所以，解得.
所以，所以的值域为.
故选：B
12.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是（       ）
A．y＝3 B．y＝31－x
C．y＝ D．y＝
【答案】B
【分析】根据函数解析式，逐项求出值域即可求解.
因为的值域为且；
的值域为；
y＝的值域为[0，＋∞)；
y＝的值域为[0，1)．
故选：B
13.函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简得，再利用指数函数的性质和不等式的性质逐步求出函数的值域.
，
因为
，
所以函数的值域为.
故选：C
14.下列函数中与函数的值域相同的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数，二次函数，对数函数，指数函数，正切函数的性质分别求出各函数的值域，由此作出判断.
由对数函数性质可得函数的值域为R，
由二次函数性质可得函数的值域为，
由指数函数性质可得函数的值域为，
由正切函数性质可得函数的值域为R,
由反比例函数性质可得函数的值域为，
∴ 函数与的值域相同，
故选：C.
15.若函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围
解：，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，
所以实数的取值范围为
故选：A
16.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定.其中所有正确的命题序号是________.
【答案】①②③
【分析】分段去绝对值符号，将方程化简得函数在相应区间上的解析式，分析在各段上的性质可判断①③；
由函数的图像与直线的公共点情况可判断②；求出的图像关于原点对称的图象对应方程判断④作答.
【详解】当且时，方程不成立，
当且时，在上单调递减，函数值的集合为，
当且时，在上单调递减，函数值的集合为，
当且时，在上单调递减，函数值的集合为，
函数的图像分别是双曲线在且的部分，椭圆
在且的部分和双曲线在且的部分组成，如图，

函数在上是单调递减的，①正确；函数的值域是，③正确；
由得，因双曲线和双曲线的一条渐近线均为直线，
于是得函数的图像与直线无公共点，因此，函数不存在零点，②正确；
若函数和的图像关于原点对称，则用分别替换方程中的x，y就得函数图象对应的方程，
因此有，即，于是得由方程确定，④不正确，
所以正确的命题序号是①②③.
故答案为：①②③


















结束