专题17 等腰三角形与直角三角形(考点解读)(全国通用)
展开专题17 等腰三角形与直角三角形(考点解读)
纵观近几年全国各地的中考试题,三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念,以及三角形的性质与断定.今后的命题趋势仍以考察以上知识点为主,以填空题和选择题为主要考察形式,结合勾股定理等。
1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念,
2.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质,掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.
3.掌握勾股定理,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
考点1:等腰三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
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面积公式 | ,其中a是底边常,hs是底边上的高 |
考点2:等边三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
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面积公式 | 是等边三角形的边长,h是任意边上的高 |
考点3:直角三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
,那么这个三角形为直角三角形。
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面积公式 | ,其中a是底边常,hs是底边上的高 |
【典例1】(2022•桂林)如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是( )
A. B.1+ C.2 D.2+
【典例2】(2021•长沙)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE.
(1)求证:∠B=∠ACB;
(2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积.
【典例3】(2022春•丹江口市期末)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门的意思)一尺,不合二,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),求门槛AB的长.
1.(2022•梧州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF C.AD=BC D.BD=CD
2.(2022•淮安)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是( )
A.8 B.6 C.5 D.4
3.(2022•鞍山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40° C.49° D.51°
4.(2022•贺州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为( )
A.34° B.44° C.124° D.134°
5.(2022•遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为( )
A. B. C.1 D.2
6.(2022•荆门)如图,一座金字塔被发现时,顶部已经荡然无存,但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形,且每一个侧面与地面成60°角,则金字塔原来高度为( )
A.120m B.60m C.60m D.120m
7.(2022•资阳)如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.
(1)求证:△ABC≌△ECD;
(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.
专题17 等腰三角形与直角三角形(考点解读)
纵观近几年全国各地的中考试题,三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念,以及三角形的性质与断定.今后的命题趋势仍以考察以上知识点为主,以填空题和选择题为主要考察形式,结合勾股定理等。
1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念,
2.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质,掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.
3.掌握勾股定理,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
考点1:等腰三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
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面积公式 | ,其中a是底边常,hs是底边上的高 |
考点2:等边三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
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面积公式 | 是等边三角形的边长,h是任意边上的高 |
考点3:直角三角形的性质与判定
性质 |
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判定 |
,那么这个三角形为直角三角形。
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面积公式 | ,其中a是底边常,hs是底边上的高 |
【典例1】(2022•桂林)如图,在△ABC中,∠B=22.5°,∠C=45°,若AC=2,则△ABC的面积是( )
A. B.1+ C.2 D.2+
【答案】D
【解答】解:如图,过点A作AD⊥AC于A,交BC于D,过点A作AE⊥BC于E,
∵∠C=45°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴AD=AC=2,∠ADC=45°,CD=AC=2,
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠B=22.5°,
∴∠DAB=22.5°,
∴∠B=∠DAB,
∴AD=BD=2,
∵AD=AC,AE⊥CD,
∴DE=CE,
∴AE=CD=,
∴△ABC的面积=•BC•AE=××(2+2)=2+.
故选:D.
【典例2】(2021•长沙)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE.
(1)求证:∠B=∠ACB;
(2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积.
【解答】解:(1)证明:∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AD是BC的中垂线,
∴AB=AC,
∴∠B=∠ACB;
(2)在Rt△ADB中,BD===3,
∴BD=CD=3,AC=AB=CE=5,
∴BE=2BD+CE=2×3+5=11,
在Rt△ADE中,AE===4,
∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4=16+4,
S△ABE===22.
【典例3】(2022春•丹江口市期末)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门的意思)一尺,不合二,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),求门槛AB的长.
【解答】解:取AB的中点O,过D作DE⊥AB于E,如图2所示:
由题意得:OA=OB=AD=BC,
设OA=OB=AD=BC=r寸,
则AB=2r(寸),DE=10寸,OE=CD=1寸,
∴AE=(r﹣1)寸,
在Rt△ADE中,
AE2+DE2=AD2,即(r﹣1)2+102=r2,
解得:r=50.5,
∴2r=101(寸),
∴AB=101寸,
即门槛AB的长为101寸.
1.(2022•梧州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF C.AD=BC D.BD=CD
【答案】C
【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,BD=CD,∠B=∠C,
∴∠ADC=90°,
在△BDE和△CDF中,
,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
故选:C.
2.(2022•淮安)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是( )
A.8 B.6 C.5 D.4
【答案】C
【解答】解:∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵E为AC的中点,
∴DE=AC=5,
故选:C.
3.(2022•鞍山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40° C.49° D.51°
【答案】A
【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=24°,
∴∠B=∠ACB=78°.
∵CD=AC,∠ACB=78°,∠ACB=∠D+∠CAD,
∴∠D=∠CAD=∠ACB=39°.
故选:A.
4.(2022•贺州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为( )
A.34° B.44° C.124° D.134°
【答案】A
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,
则∠B+∠A=90°,
∵∠B=56°,
∴∠A=90°﹣56°=34°,
故选:A.
5.(2022•遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为( )
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【解答】解:作BH⊥OC于H,
∵∠AOB=30°,∠A=90°,
∴OB=2AB=2,
在Rt△OBC中,由勾股定理得,
OC==,
∵∠CBO=∠BHC=90°,
∴∠CBH=∠BOC,
∴cos∠BOC=cos∠CBH,
∴,
∴,
∴BH=,
故选:B.
6.(2022•荆门)如图,一座金字塔被发现时,顶部已经荡然无存,但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形,且每一个侧面与地面成60°角,则金字塔原来高度为( )
A.120m B.60m C.60m D.120m
【答案】B
【解答】解:如图,
∵底部是边长为120m的正方形,
∴BC=×120=60m,
∵AC⊥BC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=120m,
∴AC==m.
故选:B
7.(2022•资阳)如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.
(1)求证:△ABC≌△ECD;
(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.
【解答】(1)证明:∵CD∥AB,CD=CB,CE=AB,
∴∠ABC=∠ECD,
在△ABC和△ECD中,
,
∴△ABC≌△ECD(SAS).
(2)解:∵∠A=90°,
∴∠CED=∠A=90°,
∴∠BED=180°﹣∠CED=90°,
设BE=x,
∵EC=AB=3,BD=2,
∴CD=BC=3+x,
∵BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,
∴(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,
整理得x2+3x﹣10=0,
解得x1=2,x2=﹣5(不符合题意,舍去),
∴BE=2,BC=3+2=5,
∴DE===4,
∴S△BCD=BC•DE=×5×4=10,
∴△BCD的面积为10.