专题8.1 幂的运算-七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc22279" 【题型1 幂的基本运算】  PAGEREF _Toc22279 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc15989" 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】  PAGEREF _Toc15989 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25941" 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】  PAGEREF _Toc25941 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc21033" 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】  PAGEREF _Toc21033 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc15490" 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】  PAGEREF _Toc15490 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc11111" 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】  PAGEREF _Toc11111 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc21401" 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】  PAGEREF _Toc21401 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc16467" 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】  PAGEREF _Toc16467 \h 4  【知识点1 幂的运算】 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（　　） A．m2n﹣n＝n2 B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6 C．（﹣m）2m4＝m8 D．x6yx2=x3y 【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(512)2005×(225)2004=（　　） A．1 B．512 C．225 D．(512)2003 【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（　　） A．﹣x7m+n+1 B．x7m+n+1 C．x7m﹣n+1 D．x3m+n+1 【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题． （1）比较大小：520　　420，961　　2741；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程] 【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c 【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程） 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝　　　． 【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为 　　　　． 【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若xm＝5，xn=14，则x2m﹣n＝（　　） A．52 B．40 C．254 D．100 【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求： （1）34m的值； （2）33n的值； （3）34m﹣6n的值． 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝　　　　． 【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝　8　． 【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是　　　． 【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝　　　． 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝　　　　，若3×9m×27m＝311，则m的值为 　　　． 【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为 　　． 【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝　　　　． 【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有____组． 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a2m+3y=am+1x=1． （1）请用含x的代数式表示y； （2）如果x＝4，求此时y的值． 【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272． 【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y． （2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y． 【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果2x•23＝32，求x的值； （2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值； （3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y． 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算： （1）（﹣a）2•a3 （2）（﹣8）2013•（18）2014 （3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数） （ 4 ）（a2•a3）4． 【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算： （1）y3•y2•y （2）（x3）4•x2 （3）（ a4•a2）3•（﹣a）5 （4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2． 【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题 （1）（45）2015×（﹣1.25）2016． （2）（318）12×（825）11×（﹣2）3． 【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算 （1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4 （2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1 （3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2； （4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]． 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】 【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2022）的结果是（　　） A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k 【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log28＝3；由于a1＝a，所以1是以a为底a的对数，记作logaa＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）loga（M•N）＝logaM+logaN；（2）logaMN=logaM﹣logaN；（3）logaMn＝nlogaM．根据上面的运算性质，计算log2（23×8）﹣log2165−log210的结果是 　　　． 【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2 （1）根据上述规定，填空：2※16＝　　，　　※136=−2， （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明： 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：6※7+6※9＝6※63； ②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　 　※　 　（结果化成最简形式）． 【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5． ∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15． ∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　　　； （5，25）＝　 　　　； （3，27）＝　 　　　． （2）计算：（5，2）+（5，7）＝　 　　　，并说明理由． （3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c