第23讲 锐角三角函数与解直角三角形（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮
第二十三讲 锐角三角函数与解直角三角形
必备知识点 2
考点一 特殊角的三角函数 4
考点二 解直角三角形 5
考点三 解直角三角形的应用 14















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必备知识点
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
四、解直角三角形的应用
1）．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3)．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：









考点一 特殊角的三角函数

1．cos30°的值是（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：cos30°＝，
故选：C．
2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC＝1，则AC＝（　　）

A． B． C．0.3 D．
【解答】解：过A作AD交BC于D，使∠BAD＝15°，
∵△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，
∴∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣15°＝60°，
∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AD，
又∵∠ABC＝∠BAD＝15°
∴BD＝AD，
∵BC＝1，
∴AD+DC＝1，
设CD＝x，则AD＝1﹣x，AC＝（1﹣x），
∴AD2＝AC2+CD2，即（1﹣x）2＝（1﹣x）2+x2，
解得：x＝﹣3+2，
∴AC＝（4﹣2）
＝2﹣
故选：B．

3．计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（　　）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：原式＝+﹣＝．
故选：C．
4．当x＝cot60°时，代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
当x＝时，原式＝＝．
故选：A．

考点二 解直角三角形

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；

（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
6．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2
（1）求∠ABD的值；
（2）求AD的长．

【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝2，
∴CE＝，DE＝3，
∵BC＝3+，
∴BE＝BC﹣CE＝3+﹣＝3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF＝，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣＝，
∴在Rt△AFD 中，AD＝＝＝．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）为第一象限内一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，点C，作△OAB关于直线OA的对称图形△OAB′．
（1）当n＝4时，
①若点B′落在y轴上，则m＝　4　；
②若点B′落在第一象限内，且tan∠CAB′＝，求m的值；
（2）设△OAB′与四边形OBAC重合部分的面积为S，若S为四边形OBAC面积的，求的值．

【解答】解：（1）①∵AB⊥OB，AC⊥OC，CO⊥BO，
∴四边形OBAC为矩形．
∴OC＝AB，AC＝OB．
由折叠可知，△OAB≌△OAB′．
∴∠BOA＝∠AOB′，AB＝AB′．
∴OC＝AB′．
∵点A（m，n）为第一象限内一点，
∴AC＝OB＝m，AB＝OC＝AB′＝n．
∵点B′落在y轴上，
∴∠BOA＝∠AOB′＝45°．
∴矩形OBAC为正方形．
∴OB＝AB．
∴m＝n＝4．
故答案为：4．
②设OB′与AC交于点D，如图，

由①知：OB＝OB′，AB＝AB′，∠AOB＝∠AOB′．
∵AC∥OB，
∴∠AOB＝∠CAO．
∴∠CAO＝∠AOB′．
∴DA＝DO．
∵tan∠CAB′＝，
∴设DB′＝5k，则AB′＝12k．
由勾股定理可得DO＝DA＝＝13k．
∴OB＝OB′＝DO+DB′＝5k+13k＝18k．
∵AB＝AB′＝n＝4，
∴12k＝4．
∴k＝．
∴m＝OB＝18k＝6．
（2）∵四边形OBAC为矩形，
∴．
∵S为四边形OBAC面积的，
∴S＝．
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
∴．
∴AD＝2CD，即OD＝2CD．
设CD＝a，则OD＝AD＝2a．
由勾股定理得OC＝＝a．
∴n＝AB＝OC＝a．
m＝AC＝CD+AD＝3a．
∴．
当m＜n时，B′在第二象限，如图，

设AB′与OC交于点D，
∵四边形OBAC为矩形，
∴．
∵S为四边形OBAC面积的，
∴S＝．
∵高相同的三角形的面积比等于底的比，
∴．
∴OD＝2CD．
设CD＝a，则OC＝AB＝3a．
∵B′D＝CD＝a，
由勾股定理得OB′＝＝a．
∴m＝OB＝AC＝OB′＝a．
n＝AB＝3a．
∴．
综上，的值为或．
8．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．
（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．
（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．
（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为　　．

【解答】（1）证明：如图1，

过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝BC，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
在△ABN和△BAH中，
，
∴△ABN≌△BAH（AAS），
∴BN＝AH，
∴BC＝AH，
∴BC＝2AH；

（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，
∴∠ABD＝∠AFE＝150°，
∴△ABD∽△AFE，
∴，即，
∴＝，
设EF＝a，则AF＝a，
∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，
∴CF＝a，
∴6﹣a＝a，
∴a＝，
∴CE＝EF＝；

（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，
设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，

∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，
∴△ABD∽△GCA，
∴，即＝，
∴CG＝5m2，
∵AG∥CE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴BC＝8m＝．
故答案为：．






考点三 解直角三角形的应用

9．在新冠肺炎疫情最严重的时节，从2020年1月24日到2月2日，经过武汉火神山医院7500名建设者夜以继日地建设．这座可以容纳1000张床位的专用医院仅仅用了10天就建成了，图1所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行起吊任务，其示意图如图2所示，建筑师傅通过操纵机械臂（图2中的OA）来完成起吊，在起吊过程中始终保持集装箱与地平面平行，起吊前工人师傅测得∠PDE＝45°，∠PED＝60°，OA长20m，DE长6m，EH长3m．点O到地面的距离OQ长2m，AP长4m，AP∥OQ，当吊臂OA和水平方向的夹角为53°时，求集装箱底部距离地面的高度，（注：从起吊前到起吊结束始终保持∠PDE，∠PED的度数不变结果精确到1m；参考数据：≈1.4，≈1.7，tan53°≈，sin53°≈．cos53°≈）

【解答】解：延长AP交DE于Q，交FH于N，交地平面于S，
则AS⊥DE，
∴∠PQD＝∠PQE＝90°，
设PQ＝x米，
∵∠PDQ＝45°，∠PEQ＝60°，
∴DQ＝PQ＝x，EQ＝x，
∴x+x＝6，
∴x＝9﹣3，
∴PQ＝9﹣3，
∴AN＝4+9﹣3+3＝16﹣3，
过O作OM⊥AS于M，
则SM＝OQ＝2，
∵∠AOM＝53°，OA＝20，
∴AM＝OA•sin53°≈20×＝16，
∴MN＝AM﹣AN＝3≈5，
∴NS＝5+2＝7，
答：集装箱底部距离地面的高度约为7米．
10．如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）

【解答】解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，

∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝，
同理BE＝，
∵AB＝AE﹣BE，
∴﹣＝4，
解得：m＝4×≈4.08（m），
∴AE＝m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
11．如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC＝1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．

【解答】解：过B作BH⊥EF于点H，
∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5m，∠HBA＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，BC＝1.5m，
∴AB＝3m，
∵AD＝1m，
∴BD＝2m，
在Rt△EDB中，
∵∠EBD＝60°，
∴∠BED＝90°﹣60°＝30°，
∴EB＝2BD＝2×2＝4（m），
又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，
∴∠EBH＝∠EBD﹣∠HBD＝30°，
∴EH＝EB＝2（m），
∴EF＝EH+HF＝2+1.5＝3.5（m）．
答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．

12．随着经济水平的提升，人们越来越重视体育健康，其中篮球运动是中学生普遍最为青睐的锻炼项目之一．图1是某校购置的符合最新国际标准的篮球架，既符合大众的审美，还能最大程度保证学生们在锻炼时的安全，图2是该篮球架的侧面图，该篮球架由篮板EF、篮筐点E、平衡杆CE、支撑臂BC、辅助臂BD、主支架OA组成．其中MN为水平地面，主支架OA⊥MN于O，支撑臂BC过点A，平衡杆CE∥水平地面MN，篮板EF⊥CE于点E，辅助臂BD的另一端点D固定在地面MN上．经测量，辅助臂BD长1.5米且与水平面的倾斜角为60°，支撑臂BC长2.9米且与水平面的倾斜角为37°，请根据上述数据求出篮筐点E与地面的距离．（最后结果精确到0.01，其中sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.732）
【解答】解：如图2中，过点B作BH⊥MN于H，过点C作CT⊥MN于T，过点B作BK⊥CT于K．

在Rt△BDH中，BD＝1.5米，∠BDH＝60°，
∴BH＝BD•sin60°＝1.5×≈1.299（米），
在Rt△BCK中，BC＝2.9米．∠CBK＝37°，
∴CK＝BC•sin37°＝2.9×0.6≈1.74（米），
∵四边形BHTK是矩形，
∴KT＝BH＝1.299（米），
∴CT＝CK+KT＝1.299+1.74≈3.04（米），
∴点E与地面的距离3.04米．