第22讲 相似三角形（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮
第二十二讲 相似三角形
必备知识点 2
考点一 平行线分线段成比例定理 3
考点二 相似三角形的性质与判定 7
考点三 相似三角形的应用 16
考点四 图形的位似 18















知识导航


必备知识点
一、比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
二、相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
三、相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
四、位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．.




考点一 平行线分线段成比例定理

1．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，则EF的长为（　　）

A．2.4 B．3.6 C．4 D．0.6
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，
∴＝，
解得：EF＝2.4，
故选：A．
2．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．

3．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，

∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故选：A．
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF：FD＝（　　）

A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2
【解答】解：延长BF交CD的延长线与点G，连接AG，如图，
∵AB∥CD，E是对角线AC的中点，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴GC＝AB，
又AB＝3CD，
∴GD＝2CD，
∴＝＝，
故选：D．

5．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是（　　）

A．8 B．12 C． D．15
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，
∴AD＝AB＝2，AE＝BF＝，
∴DE＝AF＝＝5，
在△ADE和△BAF中
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
而∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴AM•DE＝AE•AD，即AM×5＝×2，
∴AM＝2，
∴DM＝＝4，
∵AD∥CB，
∴AN：NF＝AD：BF＝2：1，
∴AN＝AF＝，
∴S△DMN＝S△AND﹣S△AMD＝×4×﹣×4×2＝8．
故选：A．

考点二 相似三角形的性质与判定

6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F，AB＝mAF，AC＝nAE．求：
（1）m+n的值；
（2）的取值范围．

【解答】解：（1）过点B作BG∥AC交EF于G，

∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴DC＝BD，
∵∠CDE＝∠BDG，
∴△DCE≌△DBG（ASA），
∴EC＝BG，
∵＝m，即＝m，
∴1﹣m＝，
∵＝n，即＝n，
∴n﹣1＝＝，
∵BG∥AC，
∴△FBG∽△FAE，
∴，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2．
（2）∵＝＝﹣1，
∵点F在AB的延长线上，
∴AF＞AB，
∴0＜m＜1，1＜m+1＜2，＜得，
＜﹣1＜2，
∴＜＜2．
7．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．
（2）解：如图，连接DF．

∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝AB＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝．
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．

【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；

（2）解：DE＝AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴＝，
在Rt△BDG中，＝tan30°＝，
∴DE＝AD．


9．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明．

【解答】解：（1）AE＝EF；
证明：如图1，过点E作EH∥AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE＝180°，∠BAC＝∠CHE，
∵AB＝BC＝AC，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CHE＝∠ACB＝∠B＝60°，
∴EH＝EC．
∵AD∥BC，
∴∠FCE＝180°﹣∠D＝120°，
又∵∠AHE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠AHE＝∠FCE，
∵∠AOE＝∠COF，∠AEF＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠EFC，
在△AEH和△FEC中，
∵，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE＝EF；


（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图2，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE＝180°，∠BAC＝∠CHE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB
∴∠CHE＝∠ACB，
∴EH＝EC
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB＝180°．
∵∠BAC＝∠D，
∴∠AHE＝∠DCB＝∠ECF
∵∠AOE＝∠COF，∠AEF＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE＝EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：如图3，过点E作EH∥AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC＝∠EFC，
∵AD∥BC，∠BAC＝∠D，
∴∠AHE＝∠DCB＝∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF＝EH：EC，
∵EH∥AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC＝AB：BC＝k，
∴AE：EF＝k，
∴AE＝kEF．

10．如图，M是正方形ABCD边AD上动点、以BM为对角线作正方形BGMN．
（1）当点M与A重合时，直接写出△BNC与△BMD之间的面积关系．
（2）当点M不与A重合时，猜想△BNC与△BMD之间的面积关系，并证明你的猜想．
（3）当点M在运动时，是否有一点使S正方形BGMN＝4S△BNC成立？若成立，请求出∠ABM的大小；若不成立，请说明理由．

【解答】解：（1）＝；

（2）猜想＝；
证明：∵BM，BD都是正方形的角平分线，
∴∠MBN＝∠DBC＝45°，
∴∠MBD+∠DBN＝45°，∠DBN+NBC＝45°，
∴∠MBD＝∠DBN，
∵＝，＝，
∴＝，
∴△BNC∽△BMD，
∴＝（）2＝；

（3）连接DN，
当S正方形BGMN＝4S△BNC，
∵＝；
∴可得S△BMN＝S△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD＝∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN＝∠MDB＝45°，
∵NC＝NC，BC＝DC，
即
∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN＝DN，
∴∠NBD＝∠BDN，
∴∠MBD＝∠BDN＝∠NBD＝22.5°，
∠ABM＝22.5°．







考点三 相似三角形的应用

11．如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝150°，
∴∠EDF＝30°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝2x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
即＝，
解得：x＝，
∴DE＝（28+28）米，
答：DE的长度为（28+28）米．

12．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？

【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30．
答：河的宽度AB为30米．
13．为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．

【解答】解：根据题意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
则△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，
解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度为33m．



考点四 图形的位似

14．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2）．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若DE＝1，则端点D的坐标为 　（1，1）　．

【解答】解：∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝2，
∵DE＝1，
∴＝，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，
∴线段AB与线段DE的相似比为2：1，
∵点A的坐标为（2，2），
∴点D的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（6，4），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A′B'C′，则点A的对应点A′的坐标为 　（3，2）或（﹣3，﹣2）　．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A′B'C′，点A的坐标为（6，4），
∴点A的对应点A′的坐标为（6×，4×）或（6×（﹣），4×（﹣）），即（3，2）或（﹣3，﹣2），
故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B1（10，2），若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积为 　4m　．

【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B（5，1），B1（10，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m，
故答案为：4m．
17．如图，四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，且OE＝2AE，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为 　4：9　．

【解答】解：∵OE＝2AE，
∴OE：OA＝2：3，
∵四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，
∴HE∥AD，
∴△OHE∽△ODA，
∴HE：AD＝OE：OA＝2：3，
∴四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为4：9，
故答案为：4：9．