高中数学高考课后限时集训70 n次独立重复试验与二项分布 作业

　　　　　　　n次独立重复试验与二项分布

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一、选择题

1．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

B　[因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.]

2．(2019·咸阳二模)已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

B　[甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1＝(1－)×(1－)×(1－)＝，所以三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－P1＝，故选B.]

3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

D　[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C＝.]

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A．0.8  　　 B．0.75

C．0.6  　　 D．0.45

A　[已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.]

5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×，以上说法正确的是(　　)

A．②③  B．①②③  C．②④  D．①③

C　[对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为×＋×＝，所以①错误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为×＋×＋×，所以③错误，排除A.故选C.]

二、填空题

6．(2019·眉山模拟)三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．

　[三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为：

p＝×(×＋×＋×)＝.

]

7．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________．

　[设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C× ＋C＝3× ＋＝.]

8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________．

　[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．

由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，

所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．

所以P(B)＝，P(AB)＝.

所以P(A|B)＝＝＝.]

三、解答题

9．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．

(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；

(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．

[解]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P()＝.

(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为

P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.

法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.

(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( )＝×＋×＝，

P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝，

P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

综上，X的分布列为

10.空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．

一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为：45，50，75，74，93，90，117，118，199，215.

(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；

(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．

[解]　(1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，

∴该样本中空气质量为优良的频率为＝，

从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.

(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，

ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B.

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝C＝，

P(ξ＝2)＝C＝，

P(ξ＝3)＝＝，

ξ的分布列为

1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)

A．   B．×

C．×   D．C××

B　[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为×.]

2．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

D　[甲不跑第一棒共有A·A＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：

(1)乙跑第一棒，共有A＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝，故选D.]

3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．

0．18　　[记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]

4．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．

[解]　(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.

(2)X的所有可能值为0，1，2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．

由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.

所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，

P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)

＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，

P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.

所以X的分布列为

故X的数学期望

E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.

(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，

则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.

答案示例1：可以认为有变化．

理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，

但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

1．经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

B　[根据题意得，P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，5，则P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C×＝，P(ξ＝2)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，P(ξ＝4)＝C×＝，P(ξ＝5)＝C×＝，故当k＝4时，P(ξ＝k)最大．]

2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3为两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

②④　[P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为，即P(B|A1)＝，故②正确；由于P(B)≠P(B|A1)，故B与A1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]