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第01讲 探索直线平行的条件和性质（学生版）——2023年苏科版七年级下册寒假预习课讲义
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这是一份第01讲 探索直线平行的条件和性质（学生版）——2023年苏科版七年级下册寒假预习课讲义，共12页。教案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念
1、“三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成了 个角，简称为 ，如图1．
图1
细节剖析
（1）两条直线AB、CD与同一条直线EF相交．
（2） 中的每个角是由 与一条 相交而成．
2、同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如图1：
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做 ．
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做 ．
（3） ：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做 ．
细节剖析
（1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角．
（2）“三线八角”中共有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角．
知识点2：同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
细节剖析
巧妙识别三线八角的两种方法：
（1）巧记口诀来识别：一看 ，二找 ，三查 来分辨．
（2）借助方位来识别：根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依 来识别，如图2．
图2
知识点3：平行线的定义及画法
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ，如果直线a与b平行，记作 ．
细节剖析
（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个 ；二是 直线；三是 相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条 平行或 平行，实际是指它们所在的 平行，两条线段 并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有 和 两种．特别地， 的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2、平行线的画法（直尺和三角板）：
探索：如何用直尺和圆规作平行线？
①落：用三角板的一条边与已知直线 ．
②靠：用直尺紧靠三角板另一条 ．
③推：沿着直尺 三角板，使与已知直线 的边通过 ．
④画：沿着这条边画一条直线，所画直线与已知直线 ．
知识点4：平行公理及推论
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 ．
2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ．
细节剖析
（1）平行公理特别强调 ，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在； 说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的 ．
知识点5：直线平行的判定
已知：∠1＝∠2＝∠3，∠4＋∠2＝180°
求证：AB∥CD
判定方法1： ．如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2（已知）
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2： ．如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2（已知）
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： ．如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°（已知）
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
细节剖析
（1）平行线的性质由形到数，用于推导角的关系并计算；
（2）平行线的判定由数到形，用于判定两直线平行．
题型一：三线八角
方法技巧
1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
2．同位角形如字母“F”；内错角形如字母“Z”；同旁内角形如字母“U”．
3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．
【例1】如图，点C是直线AB上一点，过点C作CD⊥CE，那么图中∠1和∠2的关系是（ ）
A．对顶角B．同位角C．互补D．互余
【变式1-1】如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角是 ，∠5的内错角是 ．
【变式1-2】如图，直线EF交AB于G，交CD于M．
（1）图中有多少对对顶角；
（2）图中有多少对邻补角；
（3）图中有多少对同位角；
（4）图中有多少对同旁内角；
（5）写出图中的内错角．
【变式1-3】如图，直线DE经过点A．
（1）∠B的内错角是 ，同旁内角是 ．
（2）若∠EAC＝∠C，AC平分∠BAE，∠B＝44°，求∠C的度数．
题型二：平行线的判定——两步导角证平行
方法技巧
1．已知角相等导角证平行．
2．通过角的数量关系证平行．
3．通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行．
【例2】如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
【变式2-1】如图，将一副三角板的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD为 度时，DE∥AB．
【变式2-2】将一副直角三角板如图放置，∠B＝60°，∠E＝45°，AC与DE交于点F，∠AFD＝75°．证明：AE∥BC．
【变式2-3】如图，BE平分∠ABC，D是BE上一点，∠CDE＝150°，∠C＝120°，求证：AB∥CD．
题型三：利用平行线性质导角
方法技巧
1．在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质．
2．利用平行线的性质构建等角链．
【例3】已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝ eq \f(1,3) ∠ABF，∠CDM＝ eq \f(1,3) ∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝ eq \f(1,n) ∠CDF，则∠M＝（ eq \f(m,2n) ）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【变式3-1】乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．23°B．26°C．28°D．32°
【变式3-2】如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．
（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．
【变式3-3】已知：AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，AH平分∠BAE，DH交AH于点H，交AE于点K，且∠EDH：∠CDH＝2：1，∠AED＝20°，∠H＝30°，求∠EKD的度数．
题型四：平行线的判定与性质
【例4】如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
【变式4-1】将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠2+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
其中正确的结论有 ．
【变式4-2】如图，直线AC分别与直线MN、直线GH相交于点 A、C，AB平分∠NAC，CD平分∠ACG，且AB∥CD．求证：MN∥GH．
【变式4-3】如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点G、E，EF平分∠GED，交直线AB于点F，且GE平分∠BGI，GH平分∠AGE．
（1）求证：GH∥FE；
（2）若∠FED＝68°，求∠HGI的度数．
一．选择题
1．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠D＝∠DCEB．∠D+∠DCB＝180°
C．∠2＝∠3D．∠1＝∠4
2．如图，直线a，b被直线c所截，则∠5的同位角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
3．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
二．填空题
4．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠AGC交FC的延长线于点E，则∠E与∠A的数量关系为 ．
5．如图，已知直线AB∥CD，点E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β；②α﹣β；③β﹣α；④360°﹣α﹣β．则∠AEC的度数可能是 （填序号）．
6．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是 ．
7．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
8．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
三．解答题
9．如图，在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠D＝∠A＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，AC与DF相交于点G，若∠FGC＝105°，请判断EF与BC是否平行？并说明理由．
10．（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
11．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点C，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
角的名称
位置特征
基本图形
（去掉多余的线）
图形结构特征
同位角
在两条被截线同方
在截线同侧
形如字母“F”
（或倒形或反置）
内错角
在两条被截线之间
在截线两侧（交错）
形如字母“Z”
（或反置）
同旁内角
在两条被截线之间
在截线两侧
形如字母“U”
知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念
1、“三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成了 个角，简称为 ，如图1．
图1
细节剖析
（1）两条直线AB、CD与同一条直线EF相交．
（2） 中的每个角是由 与一条 相交而成．
2、同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如图1：
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做 ．
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做 ．
（3） ：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做 ．
细节剖析
（1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角．
（2）“三线八角”中共有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角．
知识点2：同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
细节剖析
巧妙识别三线八角的两种方法：
（1）巧记口诀来识别：一看 ，二找 ，三查 来分辨．
（2）借助方位来识别：根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依 来识别，如图2．
图2
知识点3：平行线的定义及画法
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ，如果直线a与b平行，记作 ．
细节剖析
（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个 ；二是 直线；三是 相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条 平行或 平行，实际是指它们所在的 平行，两条线段 并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有 和 两种．特别地， 的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2、平行线的画法（直尺和三角板）：
探索：如何用直尺和圆规作平行线？
①落：用三角板的一条边与已知直线 ．
②靠：用直尺紧靠三角板另一条 ．
③推：沿着直尺 三角板，使与已知直线 的边通过 ．
④画：沿着这条边画一条直线，所画直线与已知直线 ．
知识点4：平行公理及推论
1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 ．
2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ．
细节剖析
（1）平行公理特别强调 ，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在； 说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的 ．
知识点5：直线平行的判定
已知：∠1＝∠2＝∠3，∠4＋∠2＝180°
求证：AB∥CD
判定方法1： ．如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2（已知）
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2： ．如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2（已知）
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： ．如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°（已知）
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
细节剖析
（1）平行线的性质由形到数，用于推导角的关系并计算；
（2）平行线的判定由数到形，用于判定两直线平行．
题型一：三线八角
方法技巧
1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
2．同位角形如字母“F”；内错角形如字母“Z”；同旁内角形如字母“U”．
3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．
【例1】如图，点C是直线AB上一点，过点C作CD⊥CE，那么图中∠1和∠2的关系是（ ）
A．对顶角B．同位角C．互补D．互余
【变式1-1】如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角是 ，∠5的内错角是 ．
【变式1-2】如图，直线EF交AB于G，交CD于M．
（1）图中有多少对对顶角；
（2）图中有多少对邻补角；
（3）图中有多少对同位角；
（4）图中有多少对同旁内角；
（5）写出图中的内错角．
【变式1-3】如图，直线DE经过点A．
（1）∠B的内错角是 ，同旁内角是 ．
（2）若∠EAC＝∠C，AC平分∠BAE，∠B＝44°，求∠C的度数．
题型二：平行线的判定——两步导角证平行
方法技巧
1．已知角相等导角证平行．
2．通过角的数量关系证平行．
3．通过同角(等角)的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行．
【例2】如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
【变式2-1】如图，将一副三角板的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD为 度时，DE∥AB．
【变式2-2】将一副直角三角板如图放置，∠B＝60°，∠E＝45°，AC与DE交于点F，∠AFD＝75°．证明：AE∥BC．
【变式2-3】如图，BE平分∠ABC，D是BE上一点，∠CDE＝150°，∠C＝120°，求证：AB∥CD．
题型三：利用平行线性质导角
方法技巧
1．在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质．
2．利用平行线的性质构建等角链．
【例3】已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝ eq \f(1,3) ∠ABF，∠CDM＝ eq \f(1,3) ∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝ eq \f(1,n) ∠CDF，则∠M＝（ eq \f(m,2n) ）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【变式3-1】乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．23°B．26°C．28°D．32°
【变式3-2】如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．
（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．
【变式3-3】已知：AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，写出∠A、∠AED、∠D之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，AH平分∠BAE，DH交AH于点H，交AE于点K，且∠EDH：∠CDH＝2：1，∠AED＝20°，∠H＝30°，求∠EKD的度数．
题型四：平行线的判定与性质
【例4】如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
【变式4-1】将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠2+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝60°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
其中正确的结论有 ．
【变式4-2】如图，直线AC分别与直线MN、直线GH相交于点 A、C，AB平分∠NAC，CD平分∠ACG，且AB∥CD．求证：MN∥GH．
【变式4-3】如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点G、E，EF平分∠GED，交直线AB于点F，且GE平分∠BGI，GH平分∠AGE．
（1）求证：GH∥FE；
（2）若∠FED＝68°，求∠HGI的度数．
一．选择题
1．如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠D＝∠DCEB．∠D+∠DCB＝180°
C．∠2＝∠3D．∠1＝∠4
2．如图，直线a，b被直线c所截，则∠5的同位角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
3．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
二．填空题
4．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠AGC交FC的延长线于点E，则∠E与∠A的数量关系为 ．
5．如图，已知直线AB∥CD，点E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β；②α﹣β；③β﹣α；④360°﹣α﹣β．则∠AEC的度数可能是 （填序号）．
6．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是 ．
7．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
8．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
三．解答题
9．如图，在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠D＝∠A＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，AC与DF相交于点G，若∠FGC＝105°，请判断EF与BC是否平行？并说明理由．
10．（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
11．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点C，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
角的名称
位置特征
基本图形
（去掉多余的线）
图形结构特征
同位角
在两条被截线同方
在截线同侧
形如字母“F”
（或倒形或反置）
内错角
在两条被截线之间
在截线两侧（交错）
形如字母“Z”
（或反置）
同旁内角
在两条被截线之间
在截线两侧
形如字母“U”
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