【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）1相交线.学生版

知识点

1.相交直线的概念及性质

如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线．

相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

2.邻补角的概念：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.

如图中，和，和，和，和互为邻补角.

互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

3.对顶角的概念及性质：

（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，和，和是对顶角.

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4.垂线的概念及性质：

（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.

                 如图所示，可以记作“于”

（2）垂线的性质：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

5.同位角、内错角、同旁内角的概念：

①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.

②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角

③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.

看图识角：

（1）“”型中的同位角.如图.

（2）“”字型中的内错角，如图.

（3）“U”字型中的同旁内角.如图.

一、对顶角与邻补角

【例1】           判断正误：

（1）三条直线两两相交有三个交点（   ）

（2）两条直线相交不可能有两个交点．（   ）

（3）在同一平面内的三条直线的交点个数可能为，，，．（   ）

（4）同一平面内的条直线两两相交，其中无三线共点，则可得个交点．（   ）

（5）同一平面内的条直线经过同一点可得个角（平角除外）．（   ）

【例2】           平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？

【例3】           如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（　　）

 A、20°  B、40°

 C、50°  D、80°

【例4】           以下说法正确的是（　　）

 A、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角     B、两条直线相交，任意两个角都是对顶角

C、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角    D、两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角

【例5】           下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

 A、1个  B、2个

 C、3个  D、0个

【例6】           若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（　　）

 A、54°  B、81°

 C、99°  D、162°

【例7】           如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．

【例8】           如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=20°，求∠BOE的度数．

【例9】           当光线射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图所示，插入水中的筷子变弯了，就是一种折射现象，图中的∠1和∠2是对顶角吗？比较∠1与∠2的大小关系并说明理由．

【例10】     直线AB，CD相交于点O，∠BOC=40°．

（1）写出∠BOC的邻补角；（2）求∠AOC，∠AOD，∠BOD度数．

【例11】       小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．

二、垂直于垂线

【例12】       下列说法中正确的是（   ）

①点到直线的距离是点到直线所作的垂线;

②两个角相等，这两个角是对顶角;

③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直;

④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短.

A.①②         B. ②③        C.③④        D.②④ 

【例13】       如图，已知．，垂足为，则点到直线的距离为线段     的长；线段的长为点     到直线     的距离．

【例14】       直线与相交于，，，，求和的度数．

【例15】       如图，在直角三有形中，，于，比较线段、、的大小．

【例16】       如图，点处是一座小屋，是一条公路，一人在处，

①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？

【例17】       如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池中，问从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短?画图表示，并说明设计的理由。

【例18】       如下图所示，在一个面积为平方米的正方形货场中有一条长为米的直线铁路.现有一辆装满货物的卡车停放在点，如果卡车的速度是每分钟米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？      

三、三线八角

【例19】       如图，填空：

①与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

②与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

③与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

④与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

⑤与是两条直线     与     被第三条直线     所截构成的     角．

【例20】       如图，找出图中用数字标出的角中的同位角、内错角和同旁内角．

【例21】       用数码标出图中与是同位角的所有角．

【例22】       下列图中∠1和∠2是同位角的是（   ）

A.⑴、⑵、⑶                B.⑵、⑶、⑷  

C.⑶、⑷、⑸                D.⑴、⑵、⑸

【例23】       如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠4；⑵∠2与∠6；⑶∠5与∠8；⑷∠4与；⑸∠3与∠5.

【例24】       找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

【例25】       找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

【例26】       找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？

【例27】       如下图，图中与∠1 成同位角的个数是（   ）

A．2             B．3           C．4               D．5

【例28】       下图有         对内错角．

【例29】       若平面上有条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角        对.

1. 如图，当光线从空气射入水中，光线的传播发生了改变，这就是折射现象．∠1的对顶角是（　　）

 A、∠AOB  B、∠BOC

 C、∠AOC  D、都不是

2. 为直线外一点，点为上的三点，且，那么下列说法错误的是（   ）

A.、、三条线段中，PB最短

B.线段叫做点到直线的的距离

C.是点到的垂线段

D.线段的长是点到的距离

3. 如下图，平行直线、与相交直线、相交，图中的同旁内角共有       对.

4. 找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．