北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（标准困难）（含答案解析） 试卷
展开北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（标准困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，于点，若，则等于( )
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，为的角平分线．若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，，下列四个选项，正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，，且为锐角，的值是( )
A. B. C. D.
8. 如图，已知菱形的边长为，是的中点，平分交于点，交于点若，则的长是( )
A. B. C. D.
9. 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东方向，继续向北走后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北偏东方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
10. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡度，根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为参考数据：( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11. 如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处，某测量员从山脚点出发沿水平方向前行米到点点，，在同一直线上，再沿斜坡方向前行米到点点，，，，在同一平面内，在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度或坡比：，则信号塔的高度约为( )
参考数据：，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12. 如图，小明利用一个锐角是的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在菱形中，对角线交于，且对角线，，点是边的中点，则______．
14. 如图，在矩形中，点是边上一点，于点若，，则的长为 ．
15. 一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度________米．
16. 一艘货轮以的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至处时，发现它的东南方向有一灯塔，货轮继续向东航行分钟后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，则此时货轮与灯塔的距离是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，是的平分线，是上一点．
利用直尺不含刻度和圆规，作交于点；不写作法，保留作图痕迹
若，，求的长．
18. 本小题分
如图，矩形中，为上一点，交的延长线于点．
求证：∽；
若，，求的值．
19. 本小题分
计算：．
若，求的值．
解方程：．
20. 本小题分
在中，，是锐角，且判断的形状．．
21. 本小题分
如图，在中，是边上的高，，，．
求线段的长度；
求的值．
22. 本小题分
如图，在东西方向的海岸上有两个相距海里的码头，，某海岛上的观测塔距离海岸海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向．求此时观测塔与渔船之间的距离结果精确到海里．
参考数据：，，，，，
23. 本小题分
如图，一座钢结构桥梁的框架是，水平横梁长米，中柱高米，其中是的中点，且．
求的值；
现需要加装支架、，其中点在上，，且，垂足为点，求支架的长．
24. 本小题分
如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距为米，在乙楼顶部点测得甲楼顶部点的仰角为，在乙楼底部点测得甲楼顶部点的仰角为，则乙楼的高度为多少米？结果精确到米，，，
25. 本小题分
在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点处测得楼顶的仰角为，他正对着城楼前进米到达处，再登上米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为．
求城门大楼的高度；
每逢重大节日，城门大楼管理处都要在，之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出，之间所挂彩旗的长度结果保留整数参考数据：，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长，先根据题意得出∽，然后根据：：，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而可得出结论．
【解答】
解：中，，
．
于点，
，，
，，
∽，
，即，
：：，
设，则，
，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的关系，利用了，根据同角三角函数的关系，可得余弦，根据正弦、余弦、正切的关系，可得答案．
【解答】
解：由为锐角，且，得
，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等有关知识，过点作，交的延长线于点，过点作于点，先证，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求出，再利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，
为的角平分线，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，即得，在中，求出，证明，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
6.【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：如图，，，，
，
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】
解：过点作，垂足为，
，
在中，，，
，
在中，，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
过点作于点，过点作于点，根据，可得，所以，然后证明是的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题．
【解答】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
菱形的边长为，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
则的长是．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于设，构建方程组求出，即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于设，．
在中，，即，
在中，，即，
解得，，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，
斜坡的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，
，即，
解得，
米，米，
米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
米．
故选：．
过点作交的延长线于点，过点作于点，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，四边形是矩形，，，
，，
在中，，，
，
．
故选：．
先根据题意得出的长，在中利用锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论．
本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出是解题的关键．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，利用锐角三角函数的定义求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据是斜边上的中线求出．
【解答】
解：菱形的对角线、相交于点，
，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
又点为中点，
是斜边上的中线，
．
14.【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
【解答】
解：在矩形中，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要利用了直角三角形中的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．如图，由于倒下部分与地面成夹角，所以，由此得到，而离地面米处折断倒下，即米，所以得到米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
解：如图，，，
，
而米，
米，
这棵大树在折断前的高度为米．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：作于，
，
，
，
，
灯塔在它的南偏东方向，
，，
，
，
故答案为：．
作于，根据题意求出的长，根据正弦的定义求出，根据三角形的外角的性质求出的度数，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】解：如图
解：，平分，
，
，
，
，
，
过点作于，则，
在中，，
，
即的长为．
【解析】本题主要考查的是角平分线的定义，平行线的性质，特殊角的三角函数值，作一个角等于已知角，解直角三角形的有关知识，
根据内错角相等，两直线平行，作图；
过点作于，利用角平分线的定义和平行线的性质进行求解即可．
18.【答案】证明：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，，
∽；
解：∽，
，
在中，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义有关知识．
根据矩形的性质得到，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
利用∽得到，再利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义得到，从而得到的值，然后再求出．
19.【答案】解：原式
；
，
，
；
，，，
，
，．
【解析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及分式的值，利用公式法解一元二次方程，正确记忆相关数据、化简二次根式是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简二次根式进而得出答案；
利用已知变形，进而代入原式化简得出答案；
利用公式法先将，，所代表的数表示出来，再代入公式即可．
20.【答案】解：；
，；
，，
，，
，
为直角三角形．
【解析】见答案．
21.【答案】解：是上的高，
．
，，
，
，
由知，，，
，
．
【解析】见答案
22.【答案】解：如图，过点作于点，过点作于点，
得矩形，
．
根据题意可知：
海里，，
海里，
海里，
海里，
在中，，
海里．
答：观测塔与渔船之间的距离约为海里．
【解析】过点作于点，过点作于点，得矩形，再根据锐角三角函数即可求出观测塔与渔船之间的距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
23.【答案】解：在中，，，
，
．
，，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
在中，．
【解析】在中，利用勾股定理求出，再根据计算即可；
由，，可得，求出、即可利用勾股定理解决问题；
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：作于，则米，
由题意得，，
所以四边形是矩形，所以，
在中，米，
在中，米，
米，
答：乙楼的高度约为米．
【解析】作于则四边形是矩形．解直角三角形分别求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：作交于点，交于点，如右图所示，
由题意可得，米，，，米，，
，
，
，
，
设米，则米，
，
，
即，
解得，，
答：城门大楼的高度是米；
，米，，
，
，
即，之间所挂彩旗的长度是米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；
根据中的结果和锐角三角函数可以求得，之间所挂彩旗的长度．
