专题15 锐角三角函数——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题15 锐角三角函数

一、单选题

1．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是(　　)

A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=

【答案】C

【知识点】解直角三角形

【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。

2．（2022九上·霍邱月考）已知<cosA< sin80° ，则锐角A的取值范围是(　　)

A．60°<A<80° B．30°<A<80°

C．10°<A<60° D．10°<A<30°

【答案】C

【知识点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵<cosA< sin80° ，
∴cos60°＜cosA＜cos10°，
∴10°＜A＜60°，

故答案为：C.

【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求出cos60°＜cosA＜cos10°，再计算求解即可。

3．（2022九上·霍邱月考）若∠A为锐角，且sinA=，则cosA等于(　　)

A．1 B． C． D．

【答案】D

【知识点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴∠A=60°，
∴cosA =，

故答案为：D.

【分析】根据题意先求出∠A=60°，再根据特殊的锐角三角函数的值计算求解即可。

4．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，

在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴.
故答案为：C
【分析】利用在Rt△ABC中，∠C=90°，，代入计算可求出结果.

5．（2022九上·舟山月考）如图①，在钝角三角形ABC中，AB＝AC，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连结BE，设BD＝，SΔBDE＝.若关于的函数图象如图②所示，则sin∠ABC的值为（　　）

①②

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BD于点H，过点C作CG⊥BA于点G，

∴∠DHE=∠DGC=90°，
由图②可知，当BD的最大值为5时（点D和点A重合），y的值为7.5；
∴S△BDE=y=BD·EH=×5EH=7.5
解之：EH=3；
∵正方形CDEF，
∴CD=DE，∠EDC=90°
∵AB=AC，
∴BD=ED=CD=5，
在Rt△EDH中
，
∵∠DEH+∠EDH=90°，∠EDH+∠CDG=90°，
∴∠DEH=∠CDG，
在△DEH和△CDG中
∴△DEH≌△CDG（AAS），
∴EH=DG=3，CG=DH=4
∴BG=BD+DG=5+3=8，
在Rt△BCG中，
∴.
故答案为：A
【分析】过点E作EH⊥BD于点H，过点C作CG⊥BA于点G，利用垂直的定义可证得∠DHE=∠DGC=90°，由图②可知，当BD的最大值为5时（点D和点A重合），y的值为7.5，利用三角形的面积公式求出EH的长；利用正方形的性质可证得CD=DE，∠EDC=90° ，即可得到BD=ED=CD=5；利用勾股定理求出DH的长，利用余角的性质可证得∠DEH=∠CDG，再利用AAS证明△DEH≌△CDG，利用全等三角形的对应边相等，可求出DG，CG的长，从而可求出BG的长；在Rt△BCG中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值.

6．（2022九上·蚌埠月考）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以点B为圆心，长为半径画弧，若两弧交于点C，画射线，则 的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：连接，

由题意可得：，

则是等边三角形，

故．

故答案为：D．

【分析】连接BC，先证明是等边三角形，再利用正切的定义可得。

7．（2022九上·潞城月考）如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：在中，，D是的中点，

是斜边上的中线，

，

，

，

．

故答案为：A．

【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得。

8．（2022九上·蚌埠月考）已知在中，，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵在中，，，

∴，

∴，

故答案为：A．

【分析】根据特殊角的三角函数值可得，再利用三角形的内角和求出即可。

9．（2022·镇江）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图：

作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆

∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ

∴AO平分∠PAQ

∵∠CAB=120°

∴∠PAO=30°

∵OP=3

∴AO= =6

∵∠BAC=120°，AB=AC 

∴∠ACB=30°，CD= BC=

∴AD= =3

∴⊙A的半径为3，

∴⊙O与⊙A的半径和为6

∵AO=6

∴⊙O与⊙A相切

∵AD⊥BC

∴BC所在的直线是⊙A的切线

∴BC所在的直线与⊙O相切

∴当 =360°时，BC所在的直线与⊙O相切

同理可证明当 =180°时， 所在的直线与⊙O相切．

当 ⊥AO时，即 =90°时， 所在的直线与⊙O相切．

∴当 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切

故答案为：C.

【分析】作AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径画圆，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ，则∠PAO=30°，根据三角函数的概念可得AO、AD，推出BC所在的直线与⊙O相切，据此解答.

10．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③

【答案】A

【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

∵AP=CQ，

∴CP=BQ，

∵PC=2AP，

∴BQ=2CQ，

如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，

∴，，

∴CQ=3PD，

∴BQ=6PD，

∴BO=6OP；故①正确；

过B作BE⊥AC于E，

则CE=AC=4，

∵∠C=60°，

∴BE=4，

∴PE==1，

∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；

在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABP与△CAQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

∵∠APO=∠BPA，

∴△APO∽△BPA，

∴，

∴AP2=OP•PB，

∴AP2=OP•AQ.故③正确；

以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，

∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，

设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，

∴CN垂直平分AB，

∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=AC•tan∠ACM=，CM=2AM=2，

∴MO′=MA=，   

即CO的最小值为，故④正确.

综上：正确的有①③④.

故答案为：A.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，由已知条件可知AP=CQ，则CP=BQ，结合PC=2AP可得BQ=2CQ，过P作PD∥BC交AQ于D，易证△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD，则BQ=6PD，据此判断①；过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，进而判断②；利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，证明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性质可判断③；以AB为边作等边△NAB，连接CN，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边△NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.

二、填空题

11．（2022九上·潞城月考）在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为　     　．

【答案】4

【知识点】勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：如图，过点F作于点H，得矩形．

∵M为的中点，

∴，，

∴，

∴．

∵四边形是矩形，

∴．

设，则，．

在中，，

即，

解得，

∴．

【分析】过点F作于点H，得矩形，设，则，，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。

12．（2022九上·舟山月考）如图，ΔABC内接于0，AB为0的直径，将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，点E在☉上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　     　。

【答案】

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质

【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵将ΔABC绕点C旋转到ΔEDC，
∴∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，
∴∠ACE=∠BCD=ABE，
∴∠ABE+∠ABC+∠CBD=∠BCD+∠D+∠CBD=180°，
∴点E，B，D在同一直线上，
在Rt△ECD中
tanD=，
设CD=x，则EC=3x，
∴；
∵
∴∠ACE=∠BCD，∠D=∠ABC=∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴，∠CBD=∠CAE，
∴
解之：；
∴BE=DE-BD=
在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2
∴
解之：
∴.
故答案为：
【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用旋转的性质可知∠ABC=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，ED=AB，BC=CD，AC=CE，可推出∠ACE=∠BCD=ABE，利用三角形的内角和定理去证明点E，B，D在同一直线上，利用锐角三角函数的定义可得到EC与CD的比值，设CD=x，则EC=3x，利用勾股定理表示出ED的长，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠D=∠ABC=∠AEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACE∽△BCD，从而可求出BD的长，可表示出BE的长；在Rt△AEB中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AB的长.

13．（2022九上·蚌埠月考）在中，若，则　     　

【答案】

【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用正切的定义可得。

14．（2022九上·镇海区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是　        　度

【答案】45或135

【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D.

则由垂径定理知，点D是AB的中点，

AD=AB=，

∴sin∠AOD= ，

∴∠AOD=45°，∠AOB=90°，

∴∠ACB=∠AOB=45°，

∵A、C、B、E四点共圆，

∴∠ACB+∠AEB=180°，

∴∠AEB=135°，

故答案为：45或135.

【分析】作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理得AD的长，由正弦三角函数的定义及特殊角的三角函数值可得∠AOD=90°，据此可得∠AOB的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠C的度数，根据圆内接四边形的对角互补可求∠AEB的度数，从而即可得出答案.

15．（2022九上·镇海区期中）如图， 等边的边长为2 ，点分别是、、边上的中点，以D为圆心，长为半径作，连接.假设可以在内部随机取点， 那么这个点取在阴影部分的概率是　     　.

【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；几何概率

【解析】【解答】解：如图，连接AD，

在等边中，，

∵点分别是、边上的中点

∴，

则是等边三角形，，

同理：是等边三角形，

∴

扇形的面积为：

∵

∴的面积为：

则这个点取在阴影部分的概率为：

故答案为：

【分析】连接AD，根据等边三角形的性质及线段中点的定义得BE=BD=1，AD⊥BC，则可推出△BDE是等边三角形，根据等边三角形性质得∠BDE=60°，DE=BE=1，同理△CDF是等边三角形，∠CDF=60°，根据平角定义得∠EDF=60°，根据扇形面积计算公式算出扇形DEF的面积，由AD=AB×sin60°算出AD，进而三角形面积计算公式算出△ABC的面积，根据几何概率的意义，用扇形DEF的面积除以△ABC的面积即可得出答案.

三、解答题

16．（2021九上·福山期中）先化简，再求值：，其中，．

【答案】解：

，

∵，，

∴原式．

【知识点】利用分式运算化简求值；特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先化简分式，再求出x和y的值，最后代入求解即可。

17．先化简，再求值：，其中．

【答案】解：，

=，

=，

=，

=，

当时，

原式=．

【知识点】利用分式运算化简求值；负整数指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值

【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据负整数指数幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得a的值，最后将a的值代入化简后的式子中进行计算即可.

四、综合题

18．（2022九上·舟山月考）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交00于点F，连接AE、DE、DF.

（1）证明：∠E＝∠C；

（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若AB＝10，E是的中点，求EG●ED的值

【答案】（1）证明：∵∠ADB是⊙O的圆周角，则∠ADB=90°

又∵CD=BD

∴AD为 垂直平分线

所以 是以∠C，∠ABC为底角的等腰三角形

∴∠C=∠ABC

又∵∠E，∠ABD均为 对应圆周角

∴∠ABD=∠E

∵∠ABD=∠ABC(同角相等)

∴∠E＝∠C

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形

∴∠AFD=180°-∠E

∵∠CFD=180°-∠AFD

∴∠CFD=∠E=55°

由（1）得：∠E=∠C=55°

∴∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°

（3）解：∵E是 中点，则AE=BE

∴∠EAB=∠EBA=45°

又∵∠EAB，∠EDB为 所对应圆周角，则∠EAB=∠EDB=45°

∴∠EDB=∠EBA=45°

又∵∠DEB=∠BEG

∴ ~

∴

即在RT BE=ABCOS45°= 即

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用CD=BD，可知AD垂直平分BC，可证得AC=BA，利用等边对等角及圆周角定理可证得∠E=∠C.
（2）利用圆内接四边形的对角互补及补角的性质，可证得∠CFD=∠E，可求出∠CFD的度数，由（1）可得到∠C的度数，再利用三角形的外角的性质可求出∠BDF的度数.

（3）利用圆周角定理可证得∠EAB=∠EBA=45°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DEB∽△BEG，利用相似三角形的对应边成比例，可证得BE2=EG●ED，再利用解直角三角形可求出BE的长，从而可求出EG●ED的值.