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北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义精品课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义精品课件ppt，文件包含§222导数的几何意义课件pptx、§222导数的几何意义教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.通过图象直观地理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，如何研究曲线的切线问题呢？
问题 (1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，你能说出它的几何意义吗？
提示 表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时，直线如何变化？
提示 直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时，直线变化到哪里？
提示 直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置.
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的____ ，函数y＝f(x)在x0处 反映了导数的几何意义.
注意点：(1)对切线的三点说明①与该点的位置有关.②曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)曲线上某点处的导数与切线的关系①函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率.②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝ 在x＝0处有切线，但不可导.
例1 (1)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于 B.3 C.4 D.5
解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，
(2)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝ ，则下列不等式正确的是A.k
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
延伸探究 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程.
∵点P(2,4)在切线上，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 求曲线f(x)＝ 在点(－2，－1)处的切线方程.
整理得x＋2y＋4＝0.
例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
对于曲线y＝1－x3，
延伸探究 1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.
2.若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程.
当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1或y＝1.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求切线的斜率f′(x0).(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).
1.知识清单：(1)导数的几何意义.(2)求曲线上一定点处的切线方程.(3)求切点坐标.2.方法归纳：数形结合，待定系数法.3.常见误区：混淆在一点处的切线和过一点的切线.
1.曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是A.－4 B.4 C.0 D.不存在
2.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.2
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
3.曲线y＝ 在点Q(2,1)处的切线方程为A.x－y－1＝0 B.x＋y－3＝0C.x－y＋1＝0 D.x＋y－1＝0
∴在点(2,1)处的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A.
4.已知函数f(x)＝ 在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝_____.
1.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于A.0 B.2 C.4 D.6
解析 Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，
2.下列说法正确的是A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
3.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于A.－4 B.3 C.－2 D.1
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，
则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
5.(多选)如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，则该切点的坐标为A.(1，－8) B.(－1，－12)C.(－1,8) D.(1,12)
∴x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－8；当x0＝－1时，y0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12).
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为 的是A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)
所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
7.抛物线y＝x2在点P处的切线垂直于直线y＝2x＋3，则点P的坐标为___________.
8.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝_____.
解析 由导数的概念和几何意义知，
9.在抛物线y＝f(x)＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
所以2x0＝4，解得x0＝2，
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
10.已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.
所以切线l1的斜率k＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11.曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
12.若曲线y＝f(x)＝x＋ 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是A.(－∞，－1) B.(－1,1)C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
∴切线方程为y＝－5x.∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
13.若抛物线f(x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为_____.
解析 设在P点处切线的斜率为k，
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为_____.
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，
16.求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
1.通过图象直观地理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞边某点的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，如何研究曲线的切线问题呢？
问题 (1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，你能说出它的几何意义吗？
提示 表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时，直线如何变化？
提示 直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时，直线变化到哪里？
提示 直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置.
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的____ ，函数y＝f(x)在x0处 反映了导数的几何意义.
注意点：(1)对切线的三点说明①与该点的位置有关.②曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)曲线上某点处的导数与切线的关系①函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率.②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝ 在x＝0处有切线，但不可导.
例1 (1)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于 B.3 C.4 D.5
解析 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，
(2)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝ ，则下列不等式正确的是A.k
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
延伸探究 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程.
∵点P(2,4)在切线上，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 求曲线f(x)＝ 在点(－2，－1)处的切线方程.
整理得x＋2y＋4＝0.
例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
对于曲线y＝1－x3，
延伸探究 1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.
2.若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程.
当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1或y＝1.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求切线的斜率f′(x0).(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).
1.知识清单：(1)导数的几何意义.(2)求曲线上一定点处的切线方程.(3)求切点坐标.2.方法归纳：数形结合，待定系数法.3.常见误区：混淆在一点处的切线和过一点的切线.
1.曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是A.－4 B.4 C.0 D.不存在
2.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.2
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
3.曲线y＝ 在点Q(2,1)处的切线方程为A.x－y－1＝0 B.x＋y－3＝0C.x－y＋1＝0 D.x＋y－1＝0
∴在点(2,1)处的切线方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.故选A.
4.已知函数f(x)＝ 在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝_____.
1.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于A.0 B.2 C.4 D.6
解析 Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，
2.下列说法正确的是A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
3.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于A.－4 B.3 C.－2 D.1
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，
则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
5.(多选)如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，则该切点的坐标为A.(1，－8) B.(－1，－12)C.(－1,8) D.(1,12)
∴x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－8；当x0＝－1时，y0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12).
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为 的是A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)
所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
7.抛物线y＝x2在点P处的切线垂直于直线y＝2x＋3，则点P的坐标为___________.
8.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝_____.
解析 由导数的概念和几何意义知，
9.在抛物线y＝f(x)＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
所以2x0＝4，解得x0＝2，
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
10.已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.
所以切线l1的斜率k＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11.曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
12.若曲线y＝f(x)＝x＋ 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是A.(－∞，－1) B.(－1,1)C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
∴切线方程为y＝－5x.∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
13.若抛物线f(x)＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则c的值为_____.
解析 设在P点处切线的斜率为k，
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为_____.
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，
16.求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
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