湖南省长沙市湖南师范大学附中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（有答案）

湖南师范大学附属中学2022-2023学年度第一学期九年级期末考试

数学试卷

时量：120分钟  总分：120分

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．二次函数的最大值是（    ）

A． B． C．1 D．3

5．如图，，，则的度数为（    ）

A．160° B．140° C．50° D．40°

6．如图A，B，C是上的三个点，如果，那么的度数为（    ）

A．55° B．70° C．110° D．140°

7．如图，与位似，位似中心为点O，，的周长为9，则周长为（    ）

A． B．6 C．4 D．

8．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的方程的解是（    ）

A．， B．， C．， D．，

10．抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），其对称轴与x轴交于点F，D是以点为圆心，m为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，则线段EF的最大值与最小值的比值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：______．

12．如图，在平面直角坐标系xoy中，第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于______．

13．将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为______．

14．如图等边内接于，若的半径为1，则阴影部分的面积为______．

15．如图：麻将是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为______．

16．庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推（    ）号箱子，再推（    ）号箱子，最后推（    ）号箱子．

三、解答题（17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题每个9分，24、25题10分，共计72分）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值：，其中．

19．（6分）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为，，，，

（1）以原点O为位似中心，在第一象限内，画出四边形ABCD的位似图形，使得对应边长变为原来的；

（2）请分别写出点和的坐标：______，______．

20．（8分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：

（1）七年级（1）班学生总人数为______人；

（2）请补全条形统计图；

（3）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法，求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．

21．（8分）如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．

（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）

22．（9分）现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．

（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

23．（9分）如图1，AC与相切于点C，AB经过上的点D，BC交于点E，，CE是的直径．

（1）求证：AB是的切线；

（2）当，时，求的半径长；

（3）在（2）的条件下，如图2，若直线AO与分别交于P、Q两点，连接PC，求．

24．（10分）定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在与中，．所以称与为“阳似三角形”，连接EB，DC，则为“阳似比”．

（1）如图1，已知与为“阳似三角形”，其中，当时，“阳似比”______；

（2）如图2，二次函数交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．点M为直线在第一象限上的一个动点，且与为“阳似三角形”，连接CM，

①当点N落在二次函数图象上时，求出线段OM的长度；

②若，求的最小值．

25．（10分）若抛物线L：与直线l：有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．

（1）若点A为抛物线与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；

（2）己知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由；

（3）已知直线：、直线：是抛物线的两条切线，当与的交点P的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由．

湖南师范大学附属中学2022-2023学年联考2

数学·答案

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1-5．CBCDB  6-10．CBADD

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．  12．4  13．2  14．  15．  16．②①③．

三、解答题（17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题每个9分，24、25题10分，共计72分）

17．（6分）解：原式．

18．（6分）解：原式

∵，

∴，

∴原式．

19．（6分）（1）如图四边形即为所求；

（2），．

20．（8分）解：（1）48；

（2）如图即为所求；

（3）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，

法一：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，

∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：．

法二：列表如下：

∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，

∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：．

21．（8分）解：（1）过点P作于D点，

∴，由题意可知，，海里，

在中，，海里，

∴（海里），

（海里）．

在中，，

∴（海里），

∴（海里），

∴观测站A，B之间的距离为海里；

（2）补给船能在83分钟之内到达C处，

理由：过点B作，垂足为F，

∴

由题意得：，，

∴，

在中，，

∴海里，

在中，，

∴海里，

∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，

∴补给船能在83分钟之内到达C处．

22．（9分）（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：，

解得：，

则每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；

（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购台，总费用为w（万元），根据题意得：；

．

∵，

∴w随着m的减少而减少．

∴当时，w有最小值，．

∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．

23．（9分）（1）证明：连接OD，如图：

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴．

在和中，

,

∴，

∴，

∵AC与相切，

∴，

又∵OD是的半径，

∴AB是的切线；

（2）解：∵AB是的切线，AC与相切，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

即的半径长为3．

（3）连接CQ，如图：

∵，

∴

∵PQ为直径，∴

∵AC与相切于点C，

∴，即

∴，又

∴

∴，由（2）可知，，

∴，令AQ为x

则有，解得

又，∴

则

24．（10分）解：（1）

（2）由题意可知：，，．

，，

∵与为“阳似三角形”，

∴

∴，

∴．

过N作于，

又，∴M与重合

连接MN，过M作MD垂直于x轴，过N作于点H，

易证

∴，

∵点M在直线上，令其中

∴，，

∴，又N在二次函数的图象上

∴，即

解得，

又

（3）∵与为“阳似三角形”，∴

∴

∵，∴

在y轴上取点

∵，，

∴，

∴，又

∴

∴

∴

∴，当P、M、B共线时，有最小值．

最小值即为线段BP的长

又∵，，

∴

25．（10分）解：（1）由题意可知：，设过点A的切线的解析式为

联立得

解得，，又∵只有一个交点

∴，∴

∴解析式为

（2）∵直线与相切

联立得

解得，∴切点为

又∵直线与，都相切于同一点

∴经过点，

∴解得

∴

联立得

∴

∴，，

∴的解折式为

（3）是定值

∵与的交点P的纵坐标为5，令

则直线：、直线：

联立得

由题意得：

同理可得

∴，为的两根

∴．