湖南省长沙市立信中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

立信中学初三2022—2023学年第一学期期中考试（2022年11月）

初中数学学科试卷

（时量：120分钟    总分120分）

一、选择题（本大题10道小题，每题3分，共30分）

1．下列各数中，是无理数的是（    ）

A．3.1415 B． C． D．

2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列各运算中，正确的运算是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若，则等于（    ）

（第4题）

A．45° B．55° C．35° D．65°

5．若将点向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．

6．下列关于圆的说法，正确的是（    ）

A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分于弦的直径垂直于弦

C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆

7．下列函数中，不是反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定与相似的是（    ）

（第8题）

A． B． C． D．

9．如图，线段AB是的直径，CD是的弦，过点C作的切线交AB的延长线于点E，，则等于（    ）

（第9题）

A．22° B．24° C．28° D．48°

10．如图，在中，AD平分，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；

第三步，连接DE、DF．

若，，，则BE的长是（    ）

（第10题）

A．2 B．4 C．6 D．8

二、填空题（本大题6个小题，每题3分，共18分）

11．分解因式：______．

12．单项式与是同类项，则______．

13．一组数据1，2，5，6，3，6，则这组数据的中位数是______．

14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，，则OE的长为______．

（第14题）

15．已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为______．

16．根据图甲所示的程序，得到了y与x的函数图像（如图乙），M是y轴正半轴上一动点，过点M作轴交图像于点P，Q，连结OP，OQ，则以下结论：①当时，；②的面积为定值；③当时，y随x的增大而增大；④．其中正确的结论有______．（填序号）

三、解答题（本大题共9个小题，分值6+6+6+8+8+9+9+10+10=72分）

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

20．在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．

（1）求证：；

（2）若，，，求DF的长度．

21．为了响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，镇海区各校在周六开展了丰富多彩的社团活动．某校为了了解学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向，在全校各个年级抽取了一部分学生进行抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题．

（1）求扇形统计图中______，并补全条形统计图；

（2）已知该校共有3000名学生，请估计有意向参加“摄影社团”共有多少人？

（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中乙、丙两位同学的概率．

22．为加强校园阳光体育活动，某中学计划购进一批篮球和排球，经过调查得知每个篮球的价格比每个排球的价格贵40元，买5个篮球和10个排球共用1100元．

（1）求每个篮球和排球的价格分别是多少元？

（2）某学校需购进篮球和排球共120个，总费用不超过9000元，但不低于8900元，问有那几种购买方案？

23．如图，AB是的直径，点D在AB的延长线上，C、E是上的两点，，，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：CD是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求弦AC的长．

24．定义：在平面直角坐标系中，若对于任意两点、，都有，则称A、B两点互为“互信点”．

（1）若点，那么、、中，点A的“互信点”是______；

（2）若点A在直线上，点P在双曲线上，且A、P两点互为“互信点”．请求出点P的坐标；

（3）已知抛物线（，a，b，c为常数）．顶点为M点，与x轴交于E、F两点，与直线交于P、Q两点．若满足：

①抛物线过点；②为等边三角形；③P、Q两点互为“互信点”．

求的值．

25．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①直接写出外接圆的圆心坐标；

②如图1，点E在第一象限抛物线上，连接BE，交OB于点D，连接DE，面积为4，求E点坐标．

（3）如图2，将直线AC绕点顺时针旋转90°后，得到的对应直线FG与抛物线有唯一公共点，求m与n的数量关系．