八年级数学下册专题22 根据分式方程解的情况求参数

专题22 根据分式方程解的情况求参数

【例题讲解】阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．

(1)请回答：       的说法是正确的，正确的理由是                       ．

完成下列问题：

(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；

(3)若关于的方程无解，求的值．

【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0

∴小聪说得对，分式的分母不能为0．

（2）解：原方程可化为   去分母得：

解得：   ∵解为非负数    ∴，即  又∵

∴，即    ∴且

（3）解：去分母得：   解得：

∵原方程无解   ∴或者

①当时，得：   ②当时，，得：

综上：当或时原方程无解．

【综合解答】

1．若关于x的分式方程有增根，则增根为（    ）

A．1 B．0 C．1和0 D．不确定

2．关于x的分式方程＋＝3有增根，则实数m的值是（　　　）

A．2 B．－1 C．3 D．4

3．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

4．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为(   )

A．且 B．

C．且 D．且

5．已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ）

A．且 B．且

C． D．

6．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(     )

A． B． C．且 D．且

7．关于x的分式方程 ＋＝4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣4 B．m＜4

C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2

8．当______时，关于x的分式方程无解．

9．关于x的方程有增根，则增根是________；且k的值是________．

10．若关于的方程有增根，则m的值是______________．

11．已知关于x的方程＝3有增根，则m的值是____．

12．若关于x的分式方程无解，则实数_________．

13．要使关于的方程的解是负数，的取值范围是________．

14．若关于x的分式方程解为正数，则实数m的取值范围是___________．

15．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是_______．

16．关于x的方程＝2的解是非负数，则a的取值范围是_____．

17．若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是_____．

18．关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．

19．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是______．

20．如果关于x的方程无解，则m=_________．

21．已知关于x的分式方程，

（1）若分式方程有增根，求m的值；

（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．

22．阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．

(1)请回答：       的说法是正确的，正确的理由是                       ．

完成下列问题：

(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；

(3)若关于的方程无解，求的值．

答案与解析

【例题讲解】阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．

(1)请回答：       的说法是正确的，正确的理由是                       ．

完成下列问题：

(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；

(3)若关于的方程无解，求的值．

【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0

∴小聪说得对，分式的分母不能为0．

（2）解：原方程可化为   去分母得：

解得：   ∵解为非负数    ∴，即  又∵

∴，即    ∴且

（3）解：去分母得：   解得：

∵原方程无解   ∴或者

①当时，得：   ②当时，，得：

综上：当或时原方程无解．

【综合解答】

1．若关于x的分式方程有增根，则增根为（    ）

A．1 B．0 C．1和0 D．不确定

【答案】A

【分析】根据解分式方程的步骤，可得整式方程的解，根据分式方程有增根，可得关于a的分式方程，根据解方程，可得答案．

【详解】解：，

解得：，

∵若关于x的分式方程有增根，

∴，

解得：，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用了分式方程有增根得出关于a的分式方程是解题关键．

2．关于x的分式方程＋＝3有增根，则实数m的值是（　　　）

A．2 B．－1 C．3 D．4

【答案】A

【分析】先解分式方程，再根据增根的概念求解m即可；

【详解】解：

∵分式方程＋＝3有增根，

∴

∴

故选：A．

【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式方程增根的概念是解本题的关键．

3．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】D

【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是正数得m-2>0，由x-10，得m-2-10，计算可得答案．

【详解】解：，

m-3=x-1，

得x=m-2，

∵分式方程的解是正数，

∴x>0即m-2>0，

得m>2，

∵x-10，

∴m-2-10，得m3，

∴且，

故选：D．

【点睛】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．

4．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为(   )

A．且 B．

C．且 D．且

【答案】C

【分析】先根据解分式方程的解法求出方程的解，再根据方程的解为正数得到关于m的不等式组，进而解不等式组即可求解．

【详解】解：去分母，得x－2（x－3）=－m，

去括号，得x－2x+6=－m，

移项、合并同类项，得－x=－m－6，

系数化为1，得x=m+6，

∵方程的解是正数，且x≠3，

∴m+6＞0，且m+6≠3，

解得：且，

故选：C．

【点睛】本题考查解分式方程和分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键，注意分式有意义的条件．

5．已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ）

A．且 B．且

C． D．

【答案】A

【分析】先求解分式方程，再利用方程的解为负数得到m的不等式，解不等式即可确定m的取值范围．

【详解】解：去分母，得：2x－m=3x+6，

解得：x=－m－6，

∵方程的解是负数，

∴－m－6＜0，且－m－6≠－2，

∴且，

故选：A．

【点睛】本题考查解分式方程和分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法，注意x≠－2是解答的关键．

6．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(     )

A． B． C．且 D．且

【答案】D

【分析】先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围．

【详解】

m+1=2x-2

解得：x=

∵分式方程的解为非负数

∴

解得：m≥－3

∵方程是分式方程，∴

解得：m≠－1

综上得：m≥－3且m≠－1

故选：D．

【点睛】本题考查解含有字母的分式方程，注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．

7．关于x的分式方程 ＋＝4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣4 B．m＜4

C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2

【答案】C

【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．

【详解】解：＋＝4

方程两边同乘（x−2）得，x＋m−3m＝4x−8，

解得，x＝

由题意得，>0且≠2

解得，m＜4，且m≠1

实数m的取值范围是：m＜4且m≠1．

故选：C．

【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．

第II卷（非选择题）

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二、填空题

8．当______时，关于x的分式方程无解．

【答案】2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【详解】解：

去分母得：1+2（x－2）＝m－1，

由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得：1+2（2－2）＝m－1，

解得：m＝2．

故答案为：2．

【点睛】此题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．

9．关于x的方程有增根，则增根是________；且k的值是________．

【答案】          2

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，应先确定增根的可能性，让最简公分母，得到，然后代入化简后的整式方程算出k的值．

【详解】∵原方程有增根，

∴最简公分母，解得，

原方程两边都乘，

得：，

当时，

解得，

故答案为：；2．

【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

10．若关于的方程有增根，则m的值是______________．

【答案】1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【详解】解：分式方程去分母得：1-m= x-1，

由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，

把x=1代入整式方程得：1-m=0，即m=1；

故答案为：1．

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

11．已知关于x的方程＝3有增根，则m的值是____．

【答案】－4

【分析】由分式方程的最简公分母为x﹣2，且分式方程有增根可知增根为x＝2，将x＝2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案．

【详解】解：解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x+m＝3（x﹣2），

∵分式方程有增根，

∴分式方程的增根为x＝2，

将x＝2代入2x+m＝3（x﹣2），得：4+m＝0，

解得m＝﹣4．

【点睛】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的定义及产生的原因．

12．若关于x的分式方程无解，则实数_________．

【答案】或

【分析】将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，分类讨论求解即可．

【详解】解：由可得：

即

因为分式方程无解，

所以，或

由可得

将代入可得，，解得

故答案为：或

【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况．

13．要使关于的方程的解是负数，的取值范围是________．

【答案】a＜-1且a≠-2

【分析】把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数，从而解出a的范围．

【详解】解：，

解得：x=a+1，

∵方程的解是负数，

∴x=a+1＜0，

∴a＜-1，

当x=-1时，-1-a-1=0，

∴a=-2，

∴a的取值范围是：a＜-1且a≠-2，

故答案为：a＜-1且a≠-2．

【点睛】此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．

14．若关于x的分式方程解为正数，则实数m的取值范围是___________．

【答案】且

【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．

【详解】解：去分母得：m=2x-1-（x-2），

解得：x=m-1，

∵x＞0且x≠2，

∴m-1＞0且m-1≠2，

解得：m＞1且m≠3，

故答案为：m＞1且m≠3．

【点睛】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．

15．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是_______．

【答案】且

【分析】根据题意用表示出的值，然后根据的取值范围求解即可．

【详解】∵

，

解得：．

∵方程的解为非负数，

∴，且，

∴且，

解得：且．

故答案为：且．

【点睛】此题考查了分式方程含参数问题的解法，解题的关键是根据题意得出关于参数的不等式．

16．关于x的方程＝2的解是非负数，则a的取值范围是_____．

【答案】且．

【分析】分式方程去分母表示出解，根据解为非负数求出a的范围即可．

【详解】解：去分母得： ，

解得：，

由分式方程的解为非负数，得到且，

解得：且．

故答案为：且．

【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是_____．

【答案】m＜7且m≠3

【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，解不等式即可得答案．

【详解】解：解方程=2可得：，

∵关于方程的解为正数，

∴且，

解得m＜7且m≠3．

故答案是：m＜7且m≠3．

【点睛】此题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解为正数列出不等式是解题关键．

18．关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．

【答案】且

【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．

【详解】解：

方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，

解得

，

，且

故答案为：且

【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．

19．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是______．

【答案】，且

【分析】先解方程，再利用方程的解大于1，且求解即可．

【详解】方程两边乘得：，

移项得：，

系数化为1得：，

方程的解大于1，

，且，解得，且．

故答案为，且．

【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件．

20．如果关于x的方程无解，则m=_________．

【答案】-5

【详解】解：去分母得：x﹣3=m，解得：x=m+3，

∵原方程无解，

∴最简公分母：x+2=0，

解得：x=﹣2，

即可得：m=﹣5．

故答案是：-5．

三、解答题

21．已知关于x的分式方程，

（1）若分式方程有增根，求m的值；

（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．

【答案】（1）m=0；(2)m<6且m≠0．

【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；

（2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案．

【详解】（1）方程两边都乘以得，

分式方程有增根

解得

解得

（2）方程两边都乘以得，

解得

方程的根为正数

，且

，且

【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．