人教版九年级下册28.1 锐角三角函数导学案

这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数导学案，共24页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
特别说明：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
特别说明：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
特别说明：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、锐角三角函数值的求解策略
1．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
【变式2】如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
类型二、特殊角的三角函数值的计算
2．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）0；（3）
【分析】根据特殊角的三角函数值，代入计算即可．
解：（1）原式＝
，
（2）原式＝


（3）原式＝
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算．掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：．
【答案】
【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则计算即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，特殊角的三角函数值，零次幂的运算法则等．
【变式2】计算：．
【答案】3-3-3
【分析】先计算乘方与化简二次根，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，化简绝对值，最后计算加减即可．
解：原式=1-4+4×-|-3|
=1-4+2+-3
=3-3-3．
【点拨】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整指数幂运算法则和熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
类型三、锐角三角函数之间的关系
3．求证：若为锐角，则．要求：
(1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：，
，
，，
．
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．
求证：ABCD；
已知BC＝6，AB＝10，求的值．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）由角平分线定义得，．再由等腰三角形性质得．从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再证△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．
（1）证明：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴△CDE∽△ABE，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，
．
【点拨】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】如图，直线AB与反比例函数的图象交于，两点，点C在x轴上，，的面积为8．
求反比例函数的解析式；
求的面积；
求的值．
【答案】(1)(2)6(3)
【分析】（1）如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，设反比例函数解析式为，先根据等腰三角形的性质求出OC=8，再利用三角形面积公式求出m的值即可利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）先求出点B的坐标，然后利用勾股定理求出OA，OB，AB的长，过点O作OE⊥AB于E，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出OE的长即可得到答案；
（3）根据（2）所求解直角三角形即可．
(1)解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，设反比例函数解析式为，
∵点A的坐标为（-4，m），AC=AO，AD⊥OC，
∴OC=2OD=8，AD=m，
∵△AOC的面积为8，
∴，
∴，
∴m=2，
∴，
∴反比例函数解析式为；
(2)解：∵反比例函数解析式为，点B（2，n）在反比例函数图象上，
∴即n=-4，
∴点B的坐标为（2，-4），
∴， ，
∴OA=OB，
过点O作OE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴；
(3)解：由（2）得，
∴．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的应用，求正弦值，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
类型四、构造直角三角形
4．已知在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
解：（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．
【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
举一反三：
【变式1】如图，已知:在△ABC中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）．
【答案】48-16
解：过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形的性质求得CD的长．已知AB的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．
解：过C作CD⊥AB于D，

在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，
∴=ct∠DAC=ct60°=，
即AD=CD×．
在Rt△BDC中，∵∠B=45°，
∴∠BCD=45°，
∴CD=BD．
∵AB=DB+DA=CD+CD×=8，
∴CD=12-4．
∴S△ABC=AB×CD=×8×（12-4）=48-16．
答：△ABC的面积为48-16．
【变式2】 如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cs72°≈，tan72°）
【答案】拦河大坝的高度为24m．
【分析】过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可．
解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，
设拦河大坝的高度为xm，
在Rt△ABM和Rt△EFN中，
∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，
∴BM===，FN=x，
∵AE=10m，BF=4m，FN-AE=BF+BM，
∴x-10=4+，
解得：x=24，
答：拦河大坝的高度为24m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般．
类型五、锐角三角函数的应用
5．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．
（参考数据：，，，，，）
【答案】还需要航行的距离的长为20.4海里．
【分析】根据题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
解：由题知：，，．
在中，，
，
（海里）．
在中，，
，
（海里）．
答：还需要航行的距离的长为20.4海里．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，
∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，
∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
【变式2】某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】96米
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
解：延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
类型四、锐角三角函数的综合
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cs∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）△ABC的面积为48.
【分析】（1）在直角三角形中，表示，根据它们相等，即可得出结论
（2）利用和勾股定理表示出线段长，根据，求出长
解：(1)∵AD是BC上的高
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．
∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k．
∴CD==5k．
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12， ∴18k=12．
∴k=．
∴AD=12k=12=8．
举一反三：
【变式1】如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
【答案】（1）见分析；（2）.
【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为矩形．
(2)过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．
∴AB＝4．
∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．
设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝．
解得：x＝，
∴AE＝．
故答案为：.
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
【变式2】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．
（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM2=BE•AB；
（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．

【答案】(1)详见分析；（2）详见分析；（3）8.
试题分析：（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；
（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，
（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．
解：（1）如图，连接OM，
∵直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD=90°，
∴∠BME+∠OMB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠BME=∠AMO，
∵OA=OM，
∴∠MAB=∠AMO，
∴∠BME=∠MAB；
（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEM=∠AMB=90°，
∴△BME∽△BAM，
∴
∴BM2=BE•AB；
（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵sin∠BAM=，
∴sin∠BME=，
在Rt△BEM中，BE=，
∴sin∠BME==，
∴BM=6，
在Rt△ABM中，sin∠BAM=，
∴sin∠BAM==，
∴AB=BM=10，据勾股定理得，AM=8． 锐角
30°
45°
1
60°