专题五：电磁感应中的能量和动量问题 课中练

专题五：电磁感应中的能量和动量问题 课中练

一、电磁感应中的能量问题

1.电磁感应现象中的能量转化

安培力做功

2.焦耳热的计算

(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。

(2)感应电流变化，可用以下方法分析：

①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安。

②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。

1. 如图所示，足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L＝1.0 m，导轨上放有垂直导轨的金属杆P，金属杆质量为m＝0.1 kg，空间存在磁感应强度B＝0.5 T、竖直向下的匀强磁场．连接在导轨左端的电阻R＝3.0 Ω，金属杆的电阻r＝1.0 Ω，其余部分电阻不计．某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F，金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v－t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ＝0.5．在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3∶5．g取10 m/s2．求：

(1)水平恒力F的大小；

(2)前4 s内电阻R上产生的热量．

2. 如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的金属导轨不计电 阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并不导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中（    ）

A. 恒力F做的功等于电路产生的电能

B. 克服安培力做的功等于电路中产生的电能

C. 恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能

D. 恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和

3. 如图所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0m，下端连接R＝1.6 Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0T。质量m＝0.5kg、电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行，当金属棒滑行s＝2.8m后速度保持不变。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10m/s2)

（1）金属棒匀速运动时的速度大小v；

（2）金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR。

4. 相距为L＝2m的足够长的金属直角导轨如图甲所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m＝0.1kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨电阻不计，回路中ab、cd电阻分别为R1＝0.6Ω，R2＝0.4Ω。整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50T、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。测得拉力F与时间t的关系如图乙所示。g取10m/s2，求：

(1)ab杆的加速度a；

(2)当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；

(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了5.2J的功，求该过程中ab杆所产生的焦耳热。

二、电磁感应中的动量问题

考向1　动量定理在电磁感应中的应用

导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便.

5. 如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计．在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是(   )

A. ab杆将做匀减速运动直到静止

B. ab杆速度减为时，ab杆加速度大小

C. ab杆速度减为时，通过电阻的电量

D. ab杆速度减为时，ab杆走过的位移

6. 如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动．先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则

（1）此时b的速度大小是多少？

（2）若导轨很长，a．b棒最后的运动状态．

考向2　动量守恒定律在电磁感应中的应用

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便.这类问题可以从以下三个观点来分析：

(1)力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动.

(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属杆的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒.

(3)能量观点：其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和.

7. 如图所示，平行金属导轨MN、M′N′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。导轨MN、M′N′左端接有电源，MN与M′N′的间距为L＝0.10m，线框空间存在竖直向上的匀强磁场、磁感应强度B1＝0.20T；平行导轨PQR与P′Q′R′的间距为L＝0.10m，其中PQ与P′Q′是圆心角为60°、半径为r＝0.50m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是水平长直导轨，QQ′右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.40T。导体棒a质量m1＝0.02kg，接在电路中的电阻R1＝2.0Ω，放置在导轨MN、M′N′右侧N′N边缘处；导体棒b质量m2＝0.04kg，接在电路中的电阻R2＝4.0Ω，放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN′水平抛出，恰能无碰撞地从PP′处以速度v1＝2m/s滑入平行导轨，且始终没有与棒b相碰。重力加速度g＝10m/s2，不计一切摩擦及空气阻力。求：

（1）导体棒b的最大加速度；

（2）导体棒a在QQ′右侧磁场中产生的焦耳热；

（3）闭合开关K后，通过电源的电荷量q。

8. 足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计.平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图2所示，若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：

(1)c棒的最大速度；

(2)c棒达最大速度时，此棒产生的焦耳热；

(3)若c棒达最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小.

1. 【答案】(1)0.75 N(2)1.8 J

【详解】(1)由图乙可知金属杆P先做加速度减小的加速运动，2 s后做匀速直线运动

当t＝2 s时，v＝4 m/s，此时感应电动势E＝BLv

感应电流I＝

安培力F′＝BIL＝

根据牛顿运动定律有F－F′－μmg＝0

解得F＝0.75 N．

(2)通过金属杆P的电荷量

其中

所以q＝∝x(x为P的位移)

设第一个2 s内金属杆P的位移为x1，第二个2 s内P的位移为x2

则ΔΦ1＝BLx1，ΔΦ2＝BLx2＝BLvt

又由于q1∶q2＝3∶5

联立解得x2＝8 m，x1＝4.8 m

前4 s内由能量守恒定律得

F(x1＋x2)＝mv2＋μmg(x1＋x2)＋Qr＋QR

其中Qr∶QR＝r∶R＝1∶3

解得QR＝1.8 J．

2. BD

【详解】AB．由功能关系可得，克服安培力做功等于电路中产生的电能，即：

Wf=W电

故A错误，B正确．

CD．定理可得：恒力、安培力与摩擦力的合力做的功等于棒获得的动能，即：

WF-Wf-W安=Ek

则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和

WF-Wf= W电+ Ek

故C错误，D正确；

故选BD．

3. 【答案】（1）4m/s；（2）J

【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，得感应电动势为

E=BLv

根据闭合电路的欧姆定律，得感应电流为：

导体棒受到的安培力为

导体棒做匀速运动，处于平衡状态，由平衡条件得

代入数据解得

v=4m/s

（2）金属棒运动过程，由能量守恒定律得

电阻R产生的热量为

代入数据解得

J

4. 【答案】（1）10m/s2；（2）2m/s；（3）2.94J

【详解】（1）由图乙可知，t＝0时，F＝1.5N

对ab杆

F－μmg＝ma

代入数据得

a＝10m/s2

（2）cd杆受力情况如图(从d向c看)，当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大，即

mg＝μFN

又

FN＝F安

安培力

F安＝BIL

感应电流

由以上几式解得

v＝2m/s

（3）ab杆发生的位移为

对ab杆应用动能定理得

解得

W安＝4.9J

根据功能关系得

Q＝W安

所以ab杆上产生的焦耳热为

5. BD

【详解】A．ab棒水平方向上受与运动方向相反的安培力，安培力大小

加速度大小

由于速度减小，所以ab棒做加速度减小的变减速运动直到静止。故A项错误．

B．ab杆速度减为时，安培力

加速度大小

故B项正确；

C．对ab棒由动量定理得

即

解得

电阻与ab棒中电流时刻相同，所以通过电阻的电量为。 故C项错误；

D．感应电量

解得

故D项正确。

故选BD。

6. 【答案】（1）    （2）两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动．

【详解】（1） 当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等．释放a棒后，经过时间t，分别以a和b为研究对象，根据动量定理，则有

代入数据可解得

（2）在ab棒向下运动的过程中，a棒产生的加速度

b棒产生的加速度

当a棒的速度与b棒接近时，，感应电流逐渐减小，则安培力也逐渐减小．最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。

7. 【答案】（1）0.02m/s2；（2）0.02J；（3）1C

【详解】(1)设a棒滑到水平导轨上时的速度大小为v2，则从PP′到QQ′，由动能定理得

m1g(r-rcos60°)＝m1v-m1v

解得

v2＝3m/s

因为a棒刚进磁场时，a、b棒中的电流最大，b棒受力最大，加速度最大，所以

E＝B2Lv2＝0.12V

I＝＝0.02A

由牛顿第二定律有

B2IL＝m2amax

则导体棒b的最大加速度

amax＝0.02m/s2

(2)两个导体棒在运动过程中，动量守恒且能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不再产生焦耳热。

所以由动量守恒定律有

m1v2＝(m1＋m2)v3

设a棒在此过程中产生的焦耳热为Qa，b棒产生的焦耳热为Qb。由能量守恒定律有

m1v＝(m1＋m2)v+Qa+Qb

由于a、b棒串联在一起，所以有

联立解得

Qa=0.02J

(3)设闭合开关后，a棒以速度v0水平抛出，则有

v0＝v1cos60°＝1m/s

对a棒冲出过程由动量定理得

∑B1ILΔt＝m1v0

即

B1Lq＝m1v0

解得

q＝1C

8.【答案】(1)5 m/s　(2)1.25 J　(3)1.25 N

【详解】(1)在磁场力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达最大速度.取两棒组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有mbv0＝(mb＋mc)v

解得c棒的最大速度为：＝5 m/s

(2)从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总热量为：Q＝mbv02－(mb＋mc)v2＝2.5 J

因为Rb＝Rc，所以c棒达最大速度时此棒产生的焦耳热为Qc＝＝1.25 J

(3)设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v′，从半圆轨道最低点上升到最高点的过程由机械能守恒可得：mcv2－mcv′2＝mcg·2R

解得v′＝3 m/s

在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F＝mc

解得F＝1.25 N

由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力为1.25 N，方向竖直向上.