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第09讲 一元一次方程（7大考点）-七年级数学上学期考试满分全攻略(浙教版）
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这是一份第09讲 一元一次方程（7大考点）-七年级数学上学期考试满分全攻略(浙教版），文件包含第09讲一元一次方程7大考点解析版docx、第09讲一元一次方程7大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第09讲 一元一次方程（7大考点）
考点考向
一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
细节剖析：
判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
三、解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
考点精讲
一．方程的解（共3小题）
1．（2021秋•义乌市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．
【解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解，把方程的解代入方程，得关于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．
2．（2021秋•鄞州区校级月考）方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，则a等于（ ）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程2x+a﹣4＝0，
得到：﹣4+a﹣4＝0
解得a＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝﹣2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
3．（2021秋•鄞州区校级月考）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 4 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．
【解答】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6，
解得▲＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
二．等式的性质（共3小题）
4．（2021秋•临海市期末）若x＝y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．1﹣x＝1﹣y B．x＝﹣y C．x＝y D．x﹣＝y+
【分析】根据等式的基本性质分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、1﹣x＝1﹣y，在等式的两边同时乘﹣1，再两边同时加1，等式成立；
B、由x＝y，根据等式性质不能得到x＝﹣y，故等式不一定成立；
C、由x＝y，根据等式性质不能得到，故等式不一定成立；
D、由x＝y，根据等式性质不能得到x﹣，等式不一定成立；
故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
5．（2022•下城区校级二模）下列说法正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+c＝b+c，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，
∴ac2＝bc2，故本选项符合题意；
C．∵＝，
∴a2＝b2，
∴a＝±b，故本选项不符合题意；
D．当c＝0时，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数（或式子），等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
6．（2021秋•余姚市期末）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果3a＝2b，那么．其中正确的有（ ）
A．（1）（2）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】根据等式的性质，绝对值的意义逐一判断即可．
【解答】解：（1）如果ax＝ay（a≠0），那么x＝y，故（1）错误；
（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2，故（2）正确；
（3）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故（3）错误；
（4）如果3a＝2b，那么，故（4）正确，
所以，上列等式变形，正确的有：（2）（4），
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，绝对值，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
三．一元一次方程的定义（共2小题）
7．（2022秋•东阳市校级月考）关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（ ）
A．b≠﹣3 B．b＝﹣3 C．b＝﹣2 D．b为任意数
【分析】根据一元一次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程）解决此题．
【解答】解：由a﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝a﹣2．
∵关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，
∴3+b≠0．
∴b≠﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
8．（2021秋•诸暨市期末）若关于x的方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程，则k＝ 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义得到|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数的次数是1，未知数的系数不等于0是解题的关键．
四．一元一次方程的解（共4小题）
9．（2021秋•定海区期末）若x＝3是关于x的方程2x+a＝4的解，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣10
【分析】将x＝3代入方程2x+a＝4得出关于a的方程，解之可得．
【解答】解：将x＝3代入方程2x+a＝4，得：6+a＝4，
解得：a＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的值，理解定义是关键．
10．（2021秋•衢江区期末）下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
【分析】把x＝2代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是．
【解答】解：A、把x＝2代入方程得：左边＝2×（2+2）＝8≠右边，则不是方程的解，不符合题意；
B、把x＝2代入方程得：左边3×（2﹣1）＝3≠右边，则不是方程的解，不符合题意；
C、把x＝2代入方程得：左边＝2×4﹣1＝7，右边＝3×2＝6，左边≠右边，不是方程的解，不符合题意；
D、把x＝2代入方程得：左边＝3×2+1＝7，右边＝2×2+3＝7，左边＝右边，是方程的解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（2021秋•嘉兴期末）已知x＝3是关于x的方程2ax＝x+a的解，则a的值为 ．
【分析】将x＝3代入方程2ax＝x+a，即可求a的值．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程2ax＝x+a的解，
∴2a×3＝3+a，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
12．（2021秋•龙泉市期末）已知关于x的方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x的解为x＝2，则a＝ 5 ．
【分析】把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得出2（a﹣1）+3＝3a﹣4，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得：2（a﹣1）+3＝3a﹣4，
解得：a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
五．解一元一次方程（共5小题）
13．（2021秋•新昌县期末）把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分数的性质分子和分母都乘10，再得出选项即可．
【解答】解：，
﹣＝2，
﹣＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据分数的性质进行变形是解此题的关键．
14．（2021秋•滨江区期末）多项式mx﹣n和﹣2mx+n（m，n为实数，且m≠0）的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是 x＝2 ．
x
1
2
3
4
mx﹣n
﹣2
﹣1
0
1
﹣2mx+n
1
﹣1
﹣3
﹣5
【分析】根据表格确定出方程mx﹣n＝﹣2mx+n的解即可．
【解答】解：根据表格得：
当x＝2时，mx﹣n＝﹣1；
当x＝2时，﹣2mx+n＝﹣1，
则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
15．（2021秋•钱塘区期末）解下列方程：
（1）1+2x＝7﹣x．
（2）y．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1）1+2x＝7﹣x，
2x+x＝7﹣1，
3x＝6，
x＝2；
（2）y，
2y﹣（y﹣1）＝6﹣4y，
2y﹣y+1＝6﹣4y，
2y﹣y+4y＝6﹣1，
5y＝5，
y＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
16．（2021秋•龙泉市期末）解方程：
（1）5x﹣2＝3x+6．
（2）＝x．
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得：5x﹣3x＝6+2，
合并得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4；
（2）去分母得：2x﹣5（3﹣2x）＝10x，
去括号得：2x﹣15+10x＝10x，
移项得：2x+10x﹣10x＝15，
合并得：2x＝15，
系数化为1得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．（2021秋•台州期末）解方程：﹣＝1．甲、乙两位同学的解答过程如下：
甲同学：
解：×6﹣×6＝1…第①步
2（2x+1）﹣10x+1＝1…第②步
4x+2﹣10x+1＝1…第③步
4x﹣10x＝1﹣2﹣1…第④步
﹣6x＝﹣2…第⑤步
x＝…第⑥步
乙同学：
解：﹣＝1…第①步
＝1…第②步
＝1…第③步
﹣6x+3＝6…第④步
﹣6x＝3…第⑤步
x＝﹣…第⑥步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
（1）请你指出甲、乙两位同学分别从哪一步开始出错，
甲：第 ① 步，乙：第 ② 步（填序号）；
（2）请你写出正确的解答过程．
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，使方程逐渐向x＝a形式转化．
【解答】解：甲错在第①步，乙错在第②步；
﹣＝1，
去分母，得2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移项，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同类项，得﹣6x＝5，
合并同类项，得x＝﹣．
故答案为：①，②，
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
六．含绝对值符号的一元一次方程（共2小题）
18．（2021秋•仙居县校级月考）如果|x+8|＝5，那么x＝ ﹣3或﹣13 ．
【分析】利用绝对值的代数意义将已知等式转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：|x+8|＝5，
得到x+8＝5或x+8＝﹣5，
解得：x＝﹣3或﹣13．
故答案为：﹣3或﹣13．
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
19．（2020秋•奉化区校级期末）解方程：
（1）x﹣3＝﹣x﹣4；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）﹣＝1；
（4）|x﹣2|＝5．
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（2）去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（4）根据绝对值的意义去掉绝对值，得到x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得即可．
【解答】解：（1）x﹣3＝﹣x﹣4，
x+＝﹣4+3，
x＝﹣1，
x＝﹣；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2），
6x﹣2+2x＝7x﹣3x﹣6，
6x+2x﹣7x+3x＝﹣6+2，
4x＝﹣4，
x＝﹣1；
（3）﹣＝1，
﹣＝1，
2（2x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
4x﹣2﹣3x﹣1＝6，
4x﹣3x＝6+2+1，
x＝9；
（4）|x﹣2|＝5，
x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
x＝7或x＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
七．同解方程（共3小题）
20．（2021秋•鄞州区校级月考）若关于x的方程4m+x＝20的解与方程2x﹣3＝x+1的解相同，则m的值为 4 ．
【分析】先求出方程2x﹣3＝x+1的解x＝4，x＝4也是方程4m+x＝20的解，把解代入从而求得m的值．
【解答】解：2x﹣3＝x+1，
解得x＝4，
∵方程4m+x＝20的解与方程2x﹣3＝x+1的解相同，
∴x＝4是方程4m+x＝20的解，
把x＝4代入方程4m+x＝20，
4m+4＝20，
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同解方程，熟练掌握解方程的步骤以及方程的解的定义，是解题的关键．
21．（2020秋•沭阳县期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是 1 ．
【分析】利用一元一次方程的解法解出方程2x+2＝0，根据同解方程的定义解答．
【解答】解：解方程2x+2＝0，
得x＝﹣1，
由题意得，﹣2+5a＝3，
解得，a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
22．（2021秋•东阳市期末）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可；
（2）先求出方程3x﹣2＝4﹣3x的解为x＝1，然后把x＝﹣1代入原方程中进行计算即可；
（3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于m的方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：
|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，
∴k＝±3且k≠3，
∴k＝﹣3，
∴k的值为﹣3；
（2）3x﹣2＝4﹣3x，
6x＝6，
x＝1，
∵已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，
∴把x＝﹣1，k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
﹣6+2m+1＝0，
m＝，
∴m的值为：；
（3）把k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
6x+2m+1＝0，
∴x＝，
7﹣3x＝﹣5x+2m，
∴x＝，
∵已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，
∴＝，
∴m＝，
∴m的值为：．
【点评】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022·浙江·七年级专题练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．根据未知数的指数为1可求出n的值．
【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知x的次数是1，
故，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
2．（2022·浙江·七年级单元测试）下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意；
B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
3．（2022·浙江丽水·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得：调往乙处人，
则可列方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
4．（2022·浙江·七年级单元测试）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，判断即可．
【详解】解：根据一元一次方程定义可知：
下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有②⑤．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，熟知定义是解题的关键．
5．（2022·浙江·七年级专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．±1 B．1 C．3 D．3或1
【答案】B
【分析】：根据一元一次方程的定义得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得： 或 ，且 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程叫一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·浙江·七年级专题练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程）进行判断即可．
【详解】A.不是方程，因为不含有未知数，故A错误；
B.是方程，x是未知数，式子又是等式，故B正确；
C.不是方程，因为它不是等式，故C错误；
D.不是方程，因为它不是等式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
7．（2022·浙江·七年级单元测试）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为( )
A． B．2 C．±2 D．不存在
【答案】B
【分析】先根据一元一次方程的定义可得，且，再利用平方根解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、利用平方根解方程，熟练掌握一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）是解题关键．
8．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知2a＝b＋5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．2a－5＝b B．2a＋1＝b＋6 C．a＝ D．6a＝3b＋5
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质，逐项分析判定即可求解．
【详解】解：A．等式两边同时减去5即可得到，故A正确，不符合题意；
B．等式两边同时加上1即可得到，故B 正确，不符合题意；
C．等式两边同时除以2即可得到，故C正确，不符合题意；
D．等式两边同时乘以3即得到，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等号不变；等式两边同时乘以或除以(非0)的同一个数或式子，等号不变．
9．（2022·浙江·七年级专题练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果│x│＝│y│，那么x＝y C．如果x＝2，那么x＝1 D．如果x－2＝y－2，那么x＝y
【答案】D
【分析】直接运用等式的性质进行判断即可．
【详解】A．根据等式的性质2，等式两边要除以一个不为0的数，结果才相等，m有可能为0，所以错误，不符合题意；
B．如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝±y，所以错误，不符合题意；
C．如果x＝2，，根据等式的性质2，等式两边同时乘以2，得到：x=4，所以错误，不符合题意；
D．如果x－2＝y－2，根据等式的性质1，两边同时加上2，得到x=y，所以正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的基本性质是解题的关键．等式性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
10．（2022·浙江·七年级专题练习）在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把y=4代入方程得出，求出方程的解是a=1，把a=1代入方程得出，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：∵在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为y=4，
∴把y=4代入方程，得，解得：a=1，
即方程为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
11．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解．
【详解】解∶如下图，
设小长方形的长为y，宽为x，则，
图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键．
12．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
二、填空题
13．（2022·浙江·七年级单元测试）已知关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，则m＝_____．
【答案】6
【分析】利用一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程判断即可．
【详解】解：关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，
∴m+6≠0，|m|﹣5＝1，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，准确计算是解题的关键．
14．（2022·浙江·七年级单元测试）一元一次方程x+=-3x，处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=5，那么处的常数是_______．
【答案】-20
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于的方程，通过解该方程可以求得处的数字．
【详解】解：把x=5代入方程，得5+=－15，
解得=-20．
故答案为：-20．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是掌握一元一次方程的解．
15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）在3x + y = 6中，用含x的代数式表示y，则y =_________ ．
【答案】y=6-3x
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加或减去同一个代数式，等式仍然成立，据此求解即可．
【详解】解：3x + y = 6
等式两边同时减去3x，得y=6-3x．
故答案为：y=6-3x．
【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
17．（2022·浙江·杭州市萧山区新民学校七年级期中）现有a根长度相等的火柴棒，按图1所示的方式摆放，可摆成m个小正方形；按如图2所示的方式摆放，可摆成个小正方形．
（1）当时，则_________．
（2）m=_________（用含n的代数式表示）．
【答案】 142
【分析】（1）分别找到图1和图2的规律进行求出m、n的值，然后代值计算即可；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示，摆成1个正方形，需要4根火柴，
摆成2个正方形，需要7根火柴，
摆成3个正方形，需要10根火柴，
…
∴摆成m个正方形，需要根火柴，
∴当时，，
解得；
如图2所示，摆成2个正方形，需要根火柴，
摆成4个正方形，需要根火柴，
摆成6个正方形，需要根火柴，
…
摆成个火柴，需要根火柴，
∴当时，，
解得；
∴，
故答案为：142；
（2）由（1）得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元一次方程，等式的性质，正确找到两个图形的规律是解题的关键．
18．（2022·浙江·七年级专题练习）已知x为有理数，且，则x的值为___．
【答案】0
【分析】根据得出，进而得出，然后根据绝对值的意义分类讨论，舍去不符合题意的答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键．
三、解答题
19．（2022·浙江·七年级专题练习）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号是解题的关键．
20．（2022·浙江·七年级专题练习）解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)x＝5
(2)x＝5
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号得：3x−7x＋7＝3−2x−6，
移项得：3x−7x＋2x＝3−6−7，
合并得：−2x＝−10，
系数化为1得：x＝5；
（2）解：方程整理得：，
去分母得：5x−10−2x−2＝3，
移项得：5x−2x＝3＋10＋2，
合并得：3x＝15，
系数化为1得：x＝5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，一个瓶子的容积为（立方厘米）且瓶子内底面半径为r，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．根据愿意回答下列问题：
(1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积；（含r的代数式）
(2)求瓶子内底面面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）瓶内溶液的体积＝圆柱的体积；瓶内溶液的体积＝总的体积﹣图中空白部分的体积；
（2）利用瓶内溶液的体积不变列出方程，求得πr2＝40即可．
（1）
解：根据题意知，瓶内溶液的体积＝20πr2或瓶内溶液的体积＝1000﹣5πr2；
（2）
解：根据题意，得20πr2＝1000﹣5πr2．
解得πr2＝40．
答：瓶子内底面积为40cm2．
【点睛】本题主要考查了方程的应用，数学常识以及列代数式，解题的关键是掌握圆柱的体积公式．
22．（2022·浙江·七年级专题练习）根据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内
填写变形依据．
解：原方程可变形为．（________）
去分母，得．（________）
去括号，得．（________）
（________），得．（________）
合并同类项，得．（________）
（________），得（________）
【答案】分数的基本性质；等式的基本性质2；去括号法则或乘法分配律；移项；等式的基本性质1；合并同类项法则；系数化为1；等式的基本性质2
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可．
【详解】解：原方程可变形为．（分数的基本性质）
去分母，得．（等式的基本性质2）
去括号，得．（去括号法则或乘法分配律）
（移项），得．（等式的基本性质1）
合并同类项，得．（合并同类项法则）
（系数化为1），得（等式的基本性质2），
故答案为：分数的基本性质；等式的基本性质2；去括号法则或乘法分配律；移项；等式的基本性质1；合并同类项法则；系数化为1；等式的基本性质2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤以及等式的基本性质是解题的关键．
23．（2022·浙江·七年级专题练习）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得． 第一步
去括号：得． 第二步
移项，得， 第三部
合并同类项，得． 第四步
方程两边同除以，得． 第五步
任务一：填空：
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是（填写具体内容）______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误，具体的错误是______；
(3)请直接写出该方程正确的解为______．
任务二：
(4)请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
【答案】(1)去分母，等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立
(2)三，移项要变号
(3)
(4)答案不唯一，如：去分母时不要漏乘不含分母的项
【分析】（1）根据一元一次方程的解法步骤可进行求解；
（2）根据题中所给步骤可进行求解；
（3）按照一元一次方程的解法进行求解即可；
（4）由题意可直接进行求解．
【详解】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立；
故答案为去分母，等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项要变号；
故答案为三，移项要变号；
（3）解：去分母得：，
去括号得：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得：；
故答案为；
（4）答：根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项有去分母时不要漏乘不含分母的项（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
24．（2022·浙江·七年级专题练习）关于的方程；
(1)解这个方程；
(2)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他 同学提两条建议．
【答案】(1)x=2
(2)见解析
【分析】（1）先去分母，然后移项、合并同类项，最后化未知数系数为1；
（2）合理建议即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得4（2x-1）=12-3（x+2），
去括号，得8x-4=12-3x+6，
移项，得8x+3x=4+12+6，
合并同类项得12x=24，
系数化1，得x=2；
（2）建议：1、去分母时不要漏乘整数项；
2、去括号时注意符号问题．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
25．（2022·浙江·七年级专题练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则m=_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则n=_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据，可得，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入，得：
，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，，，，
∴x=，16，，，38，7，
同理，
∴，根据题意得：，
∴，
∴可取8，，10，26，
∴此时x=17，1，，，
∴两方程相同的解为，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
26．（2022·浙江金华·七年级阶段练习）定义“*”运算，观察下列运算：
，；
，；
，．
(1)请你认真思考上述运算，归纳“*”运算的法则：
两数进行“*”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；
特别地，0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算，都得这个数的 ．
(2)计算：．
(3)若，则a的值为 ．
【答案】(1)正，负，相加，相反数
(2)
(3)5或
【分析】（1）观察题中规定的运算及运算式子，归纳后即可得到答案；
（2）按照规定的运算法则进行计算即可，但要先算括号里的；
（3）显然，分为正数与负数讨论，按规定的运算得到方程，解方程即可．
【详解】（1）由运算得：两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算，都得这个数的相反数．
故答案分别为：正，负，相加，相反数
（2）原式．
（3）显然，
当时，，
∴，
解得a＝5，
当时，，
∴，
∴a＝－1，
综上所述，a的值是5或－1．
故答案为：5或－1．
【点睛】本题是新定义运算问题，考查了有理数的运算，解一元一次方程，观察归纳出运算法则是关键．
27．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)−3和5关于1的“相对关系值”为_________：
(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
【答案】(1)8；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据a和b关于n的“相对关系值”的定义，呆代入求值即可；
（2）由题意得，进而即可求解；
（3）由题意得，再分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴−3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为8；
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴，即：，
∴或；
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
∴或．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值化简，解一元一次方程，关键是掌握绝对值的性质，分类讨论．
28．（2022·浙江台州·七年级期末）规定：若有理数a，b满足a﹣b＝ab，则a叫做b的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)填表（在表格▲处填空）：
有理数x
3
4
5
▲
x的“差积数”
▲
﹣2
(2)一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数；
(3)若m为正整数，记m+1，m+2，．．．m+2022，这2022个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程．
【答案】(1)；2
(2)这个有理数为0
(3)A=，过程见解析
【分析】（1）根据各自的“差积数”列方程计算即可；
（2）设这个有理数为y，根据“差积数”的定义列方程求解即可；
（3）先求出前几项对应的“差积数”，观察变化规律得出结论，然后代值求解即可．
(1)
解：设3的“差积数”为a，b的“差积数”为－2，
由题意得：a－3=3a，－2－b=－2b，
解得：a=，b=2，
故答案为：；2；
(2)
解：设这个有理数为y，根据题意，得：y-y=y2，
解得：y=0，
答：这个有理数为0；
(3)
解：设m+1的“差积数”为n，则n－（m+1）=n（m+1），
解得：，
∴m+1的“差积数”为，
设m+2的“差积数”为t，则t－（m+2）=t（m+2），
解得：，
∴m+2的“差积数”为，
同理，m+3的“差积数”为，
……，
m+2022的“差积数”为，
∴A=（）×（）×（）×…×（）=．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数字类规律探究，理解“差积数”定义，正确列出方程，找到变化规律是解答的关键．
第09讲 一元一次方程（7大考点）
考点考向
一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
细节剖析：
判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
三、解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
考点精讲
一．方程的解（共3小题）
1．（2021秋•义乌市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把方程的解代入方程，可得答案．
【解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解，把方程的解代入方程，得关于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．
2．（2021秋•鄞州区校级月考）方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，则a等于（ ）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程2x+a﹣4＝0，
得到：﹣4+a﹣4＝0
解得a＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝﹣2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
3．（2021秋•鄞州区校级月考）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 4 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．
【解答】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6，
解得▲＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
二．等式的性质（共3小题）
4．（2021秋•临海市期末）若x＝y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．1﹣x＝1﹣y B．x＝﹣y C．x＝y D．x﹣＝y+
【分析】根据等式的基本性质分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、1﹣x＝1﹣y，在等式的两边同时乘﹣1，再两边同时加1，等式成立；
B、由x＝y，根据等式性质不能得到x＝﹣y，故等式不一定成立；
C、由x＝y，根据等式性质不能得到，故等式不一定成立；
D、由x＝y，根据等式性质不能得到x﹣，等式不一定成立；
故选：A．
【点评】此题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
5．（2022•下城区校级二模）下列说法正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若a＝b，则ac2＝bc2
C．若＝，则a＝b D．若ac2＝bc2，则a＝b
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+c＝b+c，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，
∴ac2＝bc2，故本选项符合题意；
C．∵＝，
∴a2＝b2，
∴a＝±b，故本选项不符合题意；
D．当c＝0时，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数（或式子），等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
6．（2021秋•余姚市期末）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果3a＝2b，那么．其中正确的有（ ）
A．（1）（2）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】根据等式的性质，绝对值的意义逐一判断即可．
【解答】解：（1）如果ax＝ay（a≠0），那么x＝y，故（1）错误；
（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2，故（2）正确；
（3）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故（3）错误；
（4）如果3a＝2b，那么，故（4）正确，
所以，上列等式变形，正确的有：（2）（4），
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，绝对值，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
三．一元一次方程的定义（共2小题）
7．（2022秋•东阳市校级月考）关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（ ）
A．b≠﹣3 B．b＝﹣3 C．b＝﹣2 D．b为任意数
【分析】根据一元一次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程）解决此题．
【解答】解：由a﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝a﹣2．
∵关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，
∴3+b≠0．
∴b≠﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
8．（2021秋•诸暨市期末）若关于x的方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程，则k＝ 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义得到|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数的次数是1，未知数的系数不等于0是解题的关键．
四．一元一次方程的解（共4小题）
9．（2021秋•定海区期末）若x＝3是关于x的方程2x+a＝4的解，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．﹣10
【分析】将x＝3代入方程2x+a＝4得出关于a的方程，解之可得．
【解答】解：将x＝3代入方程2x+a＝4，得：6+a＝4，
解得：a＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的值，理解定义是关键．
10．（2021秋•衢江区期末）下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
【分析】把x＝2代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是．
【解答】解：A、把x＝2代入方程得：左边＝2×（2+2）＝8≠右边，则不是方程的解，不符合题意；
B、把x＝2代入方程得：左边3×（2﹣1）＝3≠右边，则不是方程的解，不符合题意；
C、把x＝2代入方程得：左边＝2×4﹣1＝7，右边＝3×2＝6，左边≠右边，不是方程的解，不符合题意；
D、把x＝2代入方程得：左边＝3×2+1＝7，右边＝2×2+3＝7，左边＝右边，是方程的解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（2021秋•嘉兴期末）已知x＝3是关于x的方程2ax＝x+a的解，则a的值为 ．
【分析】将x＝3代入方程2ax＝x+a，即可求a的值．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程2ax＝x+a的解，
∴2a×3＝3+a，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
12．（2021秋•龙泉市期末）已知关于x的方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x的解为x＝2，则a＝ 5 ．
【分析】把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得出2（a﹣1）+3＝3a﹣4，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得：2（a﹣1）+3＝3a﹣4，
解得：a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
五．解一元一次方程（共5小题）
13．（2021秋•新昌县期末）把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分数的性质分子和分母都乘10，再得出选项即可．
【解答】解：，
﹣＝2，
﹣＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据分数的性质进行变形是解此题的关键．
14．（2021秋•滨江区期末）多项式mx﹣n和﹣2mx+n（m，n为实数，且m≠0）的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是 x＝2 ．
x
1
2
3
4
mx﹣n
﹣2
﹣1
0
1
﹣2mx+n
1
﹣1
﹣3
﹣5
【分析】根据表格确定出方程mx﹣n＝﹣2mx+n的解即可．
【解答】解：根据表格得：
当x＝2时，mx﹣n＝﹣1；
当x＝2时，﹣2mx+n＝﹣1，
则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
15．（2021秋•钱塘区期末）解下列方程：
（1）1+2x＝7﹣x．
（2）y．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1）1+2x＝7﹣x，
2x+x＝7﹣1，
3x＝6，
x＝2；
（2）y，
2y﹣（y﹣1）＝6﹣4y，
2y﹣y+1＝6﹣4y，
2y﹣y+4y＝6﹣1，
5y＝5，
y＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
16．（2021秋•龙泉市期末）解方程：
（1）5x﹣2＝3x+6．
（2）＝x．
【分析】（1）方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得：5x﹣3x＝6+2，
合并得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4；
（2）去分母得：2x﹣5（3﹣2x）＝10x，
去括号得：2x﹣15+10x＝10x，
移项得：2x+10x﹣10x＝15，
合并得：2x＝15，
系数化为1得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．（2021秋•台州期末）解方程：﹣＝1．甲、乙两位同学的解答过程如下：
甲同学：
解：×6﹣×6＝1…第①步
2（2x+1）﹣10x+1＝1…第②步
4x+2﹣10x+1＝1…第③步
4x﹣10x＝1﹣2﹣1…第④步
﹣6x＝﹣2…第⑤步
x＝…第⑥步
乙同学：
解：﹣＝1…第①步
＝1…第②步
＝1…第③步
﹣6x+3＝6…第④步
﹣6x＝3…第⑤步
x＝﹣…第⑥步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
（1）请你指出甲、乙两位同学分别从哪一步开始出错，
甲：第 ① 步，乙：第 ② 步（填序号）；
（2）请你写出正确的解答过程．
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，使方程逐渐向x＝a形式转化．
【解答】解：甲错在第①步，乙错在第②步；
﹣＝1，
去分母，得2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移项，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同类项，得﹣6x＝5，
合并同类项，得x＝﹣．
故答案为：①，②，
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
六．含绝对值符号的一元一次方程（共2小题）
18．（2021秋•仙居县校级月考）如果|x+8|＝5，那么x＝ ﹣3或﹣13 ．
【分析】利用绝对值的代数意义将已知等式转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：|x+8|＝5，
得到x+8＝5或x+8＝﹣5，
解得：x＝﹣3或﹣13．
故答案为：﹣3或﹣13．
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
19．（2020秋•奉化区校级期末）解方程：
（1）x﹣3＝﹣x﹣4；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）﹣＝1；
（4）|x﹣2|＝5．
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（2）去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求得；
（4）根据绝对值的意义去掉绝对值，得到x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得即可．
【解答】解：（1）x﹣3＝﹣x﹣4，
x+＝﹣4+3，
x＝﹣1，
x＝﹣；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2），
6x﹣2+2x＝7x﹣3x﹣6，
6x+2x﹣7x+3x＝﹣6+2，
4x＝﹣4，
x＝﹣1；
（3）﹣＝1，
﹣＝1，
2（2x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
4x﹣2﹣3x﹣1＝6，
4x﹣3x＝6+2+1，
x＝9；
（4）|x﹣2|＝5，
x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
x＝7或x＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
七．同解方程（共3小题）
20．（2021秋•鄞州区校级月考）若关于x的方程4m+x＝20的解与方程2x﹣3＝x+1的解相同，则m的值为 4 ．
【分析】先求出方程2x﹣3＝x+1的解x＝4，x＝4也是方程4m+x＝20的解，把解代入从而求得m的值．
【解答】解：2x﹣3＝x+1，
解得x＝4，
∵方程4m+x＝20的解与方程2x﹣3＝x+1的解相同，
∴x＝4是方程4m+x＝20的解，
把x＝4代入方程4m+x＝20，
4m+4＝20，
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同解方程，熟练掌握解方程的步骤以及方程的解的定义，是解题的关键．
21．（2020秋•沭阳县期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是 1 ．
【分析】利用一元一次方程的解法解出方程2x+2＝0，根据同解方程的定义解答．
【解答】解：解方程2x+2＝0，
得x＝﹣1，
由题意得，﹣2+5a＝3，
解得，a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是同解方程的定义，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
22．（2021秋•东阳市期末）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，求m的值．
（3）若已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可；
（2）先求出方程3x﹣2＝4﹣3x的解为x＝1，然后把x＝﹣1代入原方程中进行计算即可；
（3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于m的方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：
|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，
∴k＝±3且k≠3，
∴k＝﹣3，
∴k的值为﹣3；
（2）3x﹣2＝4﹣3x，
6x＝6，
x＝1，
∵已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，
∴把x＝﹣1，k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
﹣6+2m+1＝0，
m＝，
∴m的值为：；
（3）把k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
6x+2m+1＝0，
∴x＝，
7﹣3x＝﹣5x+2m，
∴x＝，
∵已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，
∴＝，
∴m＝，
∴m的值为：．
【点评】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2022·浙江·七年级专题练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．根据未知数的指数为1可求出n的值．
【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知x的次数是1，
故，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
2．（2022·浙江·七年级单元测试）下列方程中，以x＝2为解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意；
B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
3．（2022·浙江丽水·七年级期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得：调往乙处人，
则可列方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
4．（2022·浙江·七年级单元测试）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，判断即可．
【详解】解：根据一元一次方程定义可知：
下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有②⑤．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的概念，熟知定义是解题的关键．
5．（2022·浙江·七年级专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．±1 B．1 C．3 D．3或1
【答案】B
【分析】：根据一元一次方程的定义得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得： 或 ，且 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程叫一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·浙江·七年级专题练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程）进行判断即可．
【详解】A.不是方程，因为不含有未知数，故A错误；
B.是方程，x是未知数，式子又是等式，故B正确；
C.不是方程，因为它不是等式，故C错误；
D.不是方程，因为它不是等式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
7．（2022·浙江·七年级单元测试）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为( )
A． B．2 C．±2 D．不存在
【答案】B
【分析】先根据一元一次方程的定义可得，且，再利用平方根解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、利用平方根解方程，熟练掌握一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）是解题关键．
8．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知2a＝b＋5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．2a－5＝b B．2a＋1＝b＋6 C．a＝ D．6a＝3b＋5
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质，逐项分析判定即可求解．
【详解】解：A．等式两边同时减去5即可得到，故A正确，不符合题意；
B．等式两边同时加上1即可得到，故B 正确，不符合题意；
C．等式两边同时除以2即可得到，故C正确，不符合题意；
D．等式两边同时乘以3即得到，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等号不变；等式两边同时乘以或除以(非0)的同一个数或式子，等号不变．
9．（2022·浙江·七年级专题练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果│x│＝│y│，那么x＝y C．如果x＝2，那么x＝1 D．如果x－2＝y－2，那么x＝y
【答案】D
【分析】直接运用等式的性质进行判断即可．
【详解】A．根据等式的性质2，等式两边要除以一个不为0的数，结果才相等，m有可能为0，所以错误，不符合题意；
B．如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝±y，所以错误，不符合题意；
C．如果x＝2，，根据等式的性质2，等式两边同时乘以2，得到：x=4，所以错误，不符合题意；
D．如果x－2＝y－2，根据等式的性质1，两边同时加上2，得到x=y，所以正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的基本性质是解题的关键．等式性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
10．（2022·浙江·七年级专题练习）在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把y=4代入方程得出，求出方程的解是a=1，把a=1代入方程得出，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：∵在解关于y的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为y=4，
∴把y=4代入方程，得，解得：a=1，
即方程为，
去分母得，
去括号得，
移项得，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
11．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】设小长方形的长为y，宽为x，用x、y及BE分别表示出图1和图2的周长，根据图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，即可求解．
【详解】解∶如下图，
设小长方形的长为y，宽为x，则，
图1中阴影部分的周长为：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
图2中阴影部分的周长为：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减以及一元一次方程，正确地表示出两图中阴影部分的周长是解本题的关键．
12．（2022·浙江·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
二、填空题
13．（2022·浙江·七年级单元测试）已知关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，则m＝_____．
【答案】6
【分析】利用一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程判断即可．
【详解】解：关于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，
∴m+6≠0，|m|﹣5＝1，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，准确计算是解题的关键．
14．（2022·浙江·七年级单元测试）一元一次方程x+=-3x，处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=5，那么处的常数是_______．
【答案】-20
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于的方程，通过解该方程可以求得处的数字．
【详解】解：把x=5代入方程，得5+=－15，
解得=-20．
故答案为：-20．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是掌握一元一次方程的解．
15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）在3x + y = 6中，用含x的代数式表示y，则y =_________ ．
【答案】y=6-3x
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加或减去同一个代数式，等式仍然成立，据此求解即可．
【详解】解：3x + y = 6
等式两边同时减去3x，得y=6-3x．
故答案为：y=6-3x．
【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
16．（2022·浙江·七年级专题练习）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
17．（2022·浙江·杭州市萧山区新民学校七年级期中）现有a根长度相等的火柴棒，按图1所示的方式摆放，可摆成m个小正方形；按如图2所示的方式摆放，可摆成个小正方形．
（1）当时，则_________．
（2）m=_________（用含n的代数式表示）．
【答案】 142
【分析】（1）分别找到图1和图2的规律进行求出m、n的值，然后代值计算即可；
（2）根据（1）所求进行求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示，摆成1个正方形，需要4根火柴，
摆成2个正方形，需要7根火柴，
摆成3个正方形，需要10根火柴，
…
∴摆成m个正方形，需要根火柴，
∴当时，，
解得；
如图2所示，摆成2个正方形，需要根火柴，
摆成4个正方形，需要根火柴，
摆成6个正方形，需要根火柴，
…
摆成个火柴，需要根火柴，
∴当时，，
解得；
∴，
故答案为：142；
（2）由（1）得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元一次方程，等式的性质，正确找到两个图形的规律是解题的关键．
18．（2022·浙江·七年级专题练习）已知x为有理数，且，则x的值为___．
【答案】0
【分析】根据得出，进而得出，然后根据绝对值的意义分类讨论，舍去不符合题意的答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键．
三、解答题
19．（2022·浙江·七年级专题练习）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号是解题的关键．
20．（2022·浙江·七年级专题练习）解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)x＝5
(2)x＝5
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号得：3x−7x＋7＝3−2x−6，
移项得：3x−7x＋2x＝3−6−7，
合并得：−2x＝−10，
系数化为1得：x＝5；
（2）解：方程整理得：，
去分母得：5x−10−2x−2＝3，
移项得：5x−2x＝3＋10＋2，
合并得：3x＝15，
系数化为1得：x＝5．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，一个瓶子的容积为（立方厘米）且瓶子内底面半径为r，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．根据愿意回答下列问题：
(1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积；（含r的代数式）
(2)求瓶子内底面面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）瓶内溶液的体积＝圆柱的体积；瓶内溶液的体积＝总的体积﹣图中空白部分的体积；
（2）利用瓶内溶液的体积不变列出方程，求得πr2＝40即可．
（1）
解：根据题意知，瓶内溶液的体积＝20πr2或瓶内溶液的体积＝1000﹣5πr2；
（2）
解：根据题意，得20πr2＝1000﹣5πr2．
解得πr2＝40．
答：瓶子内底面积为40cm2．
【点睛】本题主要考查了方程的应用，数学常识以及列代数式，解题的关键是掌握圆柱的体积公式．
22．（2022·浙江·七年级专题练习）根据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内
填写变形依据．
解：原方程可变形为．（________）
去分母，得．（________）
去括号，得．（________）
（________），得．（________）
合并同类项，得．（________）
（________），得（________）
【答案】分数的基本性质；等式的基本性质2；去括号法则或乘法分配律；移项；等式的基本性质1；合并同类项法则；系数化为1；等式的基本性质2
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可．
【详解】解：原方程可变形为．（分数的基本性质）
去分母，得．（等式的基本性质2）
去括号，得．（去括号法则或乘法分配律）
（移项），得．（等式的基本性质1）
合并同类项，得．（合并同类项法则）
（系数化为1），得（等式的基本性质2），
故答案为：分数的基本性质；等式的基本性质2；去括号法则或乘法分配律；移项；等式的基本性质1；合并同类项法则；系数化为1；等式的基本性质2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤以及等式的基本性质是解题的关键．
23．（2022·浙江·七年级专题练习）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得． 第一步
去括号：得． 第二步
移项，得， 第三部
合并同类项，得． 第四步
方程两边同除以，得． 第五步
任务一：填空：
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是（填写具体内容）______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误，具体的错误是______；
(3)请直接写出该方程正确的解为______．
任务二：
(4)请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
【答案】(1)去分母，等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立
(2)三，移项要变号
(3)
(4)答案不唯一，如：去分母时不要漏乘不含分母的项
【分析】（1）根据一元一次方程的解法步骤可进行求解；
（2）根据题中所给步骤可进行求解；
（3）按照一元一次方程的解法进行求解即可；
（4）由题意可直接进行求解．
【详解】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立；
故答案为去分母，等式两边同乘（除）以一个不为0的数或式时，等式仍成立；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项要变号；
故答案为三，移项要变号；
（3）解：去分母得：，
去括号得：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得：；
故答案为；
（4）答：根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项有去分母时不要漏乘不含分母的项（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
24．（2022·浙江·七年级专题练习）关于的方程；
(1)解这个方程；
(2)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他 同学提两条建议．
【答案】(1)x=2
(2)见解析
【分析】（1）先去分母，然后移项、合并同类项，最后化未知数系数为1；
（2）合理建议即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得4（2x-1）=12-3（x+2），
去括号，得8x-4=12-3x+6，
移项，得8x+3x=4+12+6，
合并同类项得12x=24，
系数化1，得x=2；
（2）建议：1、去分母时不要漏乘整数项；
2、去括号时注意符号问题．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
25．（2022·浙江·七年级专题练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则m=_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则n=_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据，可得，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入，得：
，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，，，，
∴x=，16，，，38，7，
同理，
∴，根据题意得：，
∴，
∴可取8，，10，26，
∴此时x=17，1，，，
∴两方程相同的解为，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
26．（2022·浙江金华·七年级阶段练习）定义“*”运算，观察下列运算：
，；
，；
，．
(1)请你认真思考上述运算，归纳“*”运算的法则：
两数进行“*”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；
特别地，0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算，都得这个数的 ．
(2)计算：．
(3)若，则a的值为 ．
【答案】(1)正，负，相加，相反数
(2)
(3)5或
【分析】（1）观察题中规定的运算及运算式子，归纳后即可得到答案；
（2）按照规定的运算法则进行计算即可，但要先算括号里的；
（3）显然，分为正数与负数讨论，按规定的运算得到方程，解方程即可．
【详解】（1）由运算得：两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算，都得这个数的相反数．
故答案分别为：正，负，相加，相反数
（2）原式．
（3）显然，
当时，，
∴，
解得a＝5，
当时，，
∴，
∴a＝－1，
综上所述，a的值是5或－1．
故答案为：5或－1．
【点睛】本题是新定义运算问题，考查了有理数的运算，解一元一次方程，观察归纳出运算法则是关键．
27．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)−3和5关于1的“相对关系值”为_________：
(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
【答案】(1)8；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据a和b关于n的“相对关系值”的定义，呆代入求值即可；
（2）由题意得，进而即可求解；
（3）由题意得，再分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴−3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为8；
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴，即：，
∴或；
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
∴或．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值化简，解一元一次方程，关键是掌握绝对值的性质，分类讨论．
28．（2022·浙江台州·七年级期末）规定：若有理数a，b满足a﹣b＝ab，则a叫做b的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)填表（在表格▲处填空）：
有理数x
3
4
5
▲
x的“差积数”
▲
﹣2
(2)一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数；
(3)若m为正整数，记m+1，m+2，．．．m+2022，这2022个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程．
【答案】(1)；2
(2)这个有理数为0
(3)A=，过程见解析
【分析】（1）根据各自的“差积数”列方程计算即可；
（2）设这个有理数为y，根据“差积数”的定义列方程求解即可；
（3）先求出前几项对应的“差积数”，观察变化规律得出结论，然后代值求解即可．
(1)
解：设3的“差积数”为a，b的“差积数”为－2，
由题意得：a－3=3a，－2－b=－2b，
解得：a=，b=2，
故答案为：；2；
(2)
解：设这个有理数为y，根据题意，得：y-y=y2，
解得：y=0，
答：这个有理数为0；
(3)
解：设m+1的“差积数”为n，则n－（m+1）=n（m+1），
解得：，
∴m+1的“差积数”为，
设m+2的“差积数”为t，则t－（m+2）=t（m+2），
解得：，
∴m+2的“差积数”为，
同理，m+3的“差积数”为，
……，
m+2022的“差积数”为，
∴A=（）×（）×（）×…×（）=．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数字类规律探究，理解“差积数”定义，正确列出方程，找到变化规律是解答的关键．
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