2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一上学期第三次质量检测数学试题（解析版）

沈阳市第120中学2022—2023学年度上学期

高一年级第三次质量检测

数学试卷

满分：150分 时间：120分钟 命题人：孙爽  刘甫春 审题人：孙爽

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求

1. 若集合，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.

【详解】由题意得集合，

，

因此，.

故选：B.

【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

2. 设m，n为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.

【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，

故选：A.

3. 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可.

【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．

易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．

故选：D．

4. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.

【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，

的图象关于点成中心对称，，

图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，

的图象关于直线成轴对称，

由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，

对称中心关于直线成轴对称的点为，即.

故选：A.

5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增. 可化为，进而可解得结果.

【详解】令，（），

则，

所以是奇函数；

又都是上增函数，

所以在上单调递增.

所以可化为，

进而有，

所以，

解得或.

故选：B.

6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

7. 设，，且，则（    ）

A. 有最小值为 B. 有最小值为6

C. 有最小值为 D. 有最小值为7

【答案】D

【解析】

【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换．

【详解】因为，，且，，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以有最小值为7.

故选：D．

8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：

①在区间上是单调的；

②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.

如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.

【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，

即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，

又，所以，则当时，有最大值.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求的，每道题全对得5分，部分选对得2分

9. 年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（ ）

A. 七名评委评分的极差为13 B. 七名评委评分的众数为

C. 七名评委评分的分位数为 D. 该选手最终得分为分

【答案】ABC

【解析】

【分析】将数据由小到大排列，然后分别计算即可判断.

【详解】根据茎叶图，这名选手的得分分别为79，86，87，90，91，91，92.

可知极差为，A正确；

91分出现的最多，因此众数为91，B正确；

因为数据个数为7，且已从小到大排列，又，所以该组数据的分位数为，C正确；

由于要去掉一个最高分和一个最低分，因此这名选手的成绩为

，D错误.

故选：ABC.

10. 从高一某班抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（　　）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C.  D. 事件A与事件C对立

【答案】ABD

【解析】

【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；

两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；

事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；

事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；

故选：ABD

11. 若x，y，z满足，有下列4种关系，上述关系中可能成立的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】令，取对数得，

比较三者大小，对分类讨论，由对数函数及反比例函数的单调性即可得解.

【详解】令，

则，

当时，，，故D正确；

当时，

可得，，

，，；

，，；

综上可得，，

当时，，

，，故B正确；

当时，，

，，故A正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：当所比较对数式的底数不同时，一般需要利用换底公式，统一为同底的对数比较大小；指数式的幂指数不同时，要比较大小可以同时最小公倍数次方.

12. 已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】将，的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可.

【详解】对于A，，，则，，，

，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；

对于B，由题意，，，，

，即，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，，由题意，，即，，，

，

当且仅当，即，时等号成立，故C正确；

对于D，，时，，，，

，即，

即，故D错误.

故选：BC.

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 求值:____________．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据对数运算法则直接计算即可.

【详解】原式.

故答案为：3.

14. 气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温均不低于22°C”.现有甲、乙、丙三地的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）.

甲地：5个数据的中位数是24，众数为22；

乙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；

丙地：5个数据一个为32，总体平均数为26，方差为10.8.

则由此判断进入夏季的地区有___________个.

【答案】2

【解析】

【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可.

【详解】甲地：因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22则中位数不可能为24，所以甲地肯定进入夏季；

乙地：如17,21,28,29,30满足中位数是28，总体均值为25，但不符合进入夏季的条件；

丙地：设有一个数据为，则，，若，则不成立，故剩余四个数据均大于22，因此丙地进入夏季.

故答案为：2

15. 已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到在上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．

【详解】因为对任意且，不等式恒成立，

所以在上单调递减，

因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，

又由对数函数定义域知，当时，恒成立，

可得，解得，

综上可得；，所以实数的取值范围为.

故答案为：.

16. 已知函数（e为自然常数，），，若，总，使得成立，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】设函数、的值域分别为集合A、B，易得，再根据对任意的，总存在实数，使得成立，由，结合二次函数的值域求解.

【详解】设函数、的值域分别为集合A、B，

当时，，所以，

因为对任意的，总存在实数，使得成立，

所以应有，

故当显然不合要求．

当时，在上符合要求．

当时，上递增，

所以，故，解得，

综上，

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分

17. 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

已知集合.

（1）求集合；

（2）若是成立的______条件，判断实数是否存在？

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求解不等式即可求出集合；

（2）若选择条件①，则集合A是集合的真子集，列出不等式即可求出；

若选择条件②，则集合是集合A的真子集，列出不等式即可求出；

若选择条件③，则集合A等于集合，列出方程组即可求解.

【小问1详解】

由得，故集合，

由得，

因为，故集合；

【小问2详解】

若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合A的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合，

则有，方程组无解，

所以，不存在满足条件的实数

18. 为了选派学生参加“厦门市中学生知识竞赛”，某校对本校2000名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）.规定：成绩大于或等于110分的学生有参赛资格，成绩110分以下（不包括110分）的学生则被淘汰.

（1）求获得参赛资格的学生人数；

（2）根据频率分布直方图，估算这2000名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间点值作代表）；

（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：

方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；

方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被海汰

已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由.

【答案】（1）300（2）78.4（3）方案二

【解析】

【分析】（1）计算成绩大于或等于110分的学生频率，再求频数即得结果；

（2）根据组中值计算平均数；

（3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案.

【详解】（1）成绩大于或等于110分的学生频率为

所以获得参赛资格的学生人数为；

（2）平均成绩为

（3）方案一：甲进入复赛的概率为；

方案二：甲进入复赛的概率为

所以甲选方案二答题方案，进入复赛的可能性更大.

【点睛】本题考查频率分布直方图、利用组中值求平均数以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

19. 选用恰当的方法证明下列不等式

（1）证明：

（2）已知，证明：.

（3）已知a，b，c均为正实数，求证：若，则.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用分析法证明；

（2）由题得，即得证；

（3）利用基本不等式证明

【小问1详解】

证明：欲证，

只需证

只需证

只需证

因为显然成立，

所以成立.

【小问2详解】

证明：因为，当且仅当时等号成立，

在不等式两边同时加上，

得，

所以.

【小问3详解】

证明：a，b，c均为正实数，且，

则

，当且仅当时取等号.

所以

20. 我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S(x)(万元)满足.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z(x)(万元)满足，政府为鼓励企业节能，补贴节能费万元.

（1）减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？

（2）减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？

【答案】（1）减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;   

（2）当减少用电8万度时，企业总效益最大.

【解析】

【分析】（1）首先求出，令解出的值即可；

（2）首先根据题意求出企业总收益Q(x)，然后只需要求分段函数Q(x)的最大值即可.

【小问1详解】

易知，

因为时，，

所以由，得，解得；

即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.

【小问2详解】

设企业总收益为Q(x)万元，

则，

当时，；

当时，，

因为，所以.

综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.

21. 函数

（1）如果时，有意义，求实数a的取值范围；

（2）当时，值域为R，求实数a的值；

（3）在（2）条件下，为定义域为R的奇函数，且时，．对任意的，解关于x的不等式．

【答案】（1）   

（2）   

（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）参变分离转化为求最值问题，通过换元成二次函数最值问题可解；

（2）根据内层函数的值域应包含，然后讨论可得；

（3）先求的解析式，然后讨论其单调性，利用单调性去掉函数符号，最后分类讨论可得不等式解集.

【小问1详解】

由题意，，，

即，令，则恒成立，

∵，得，∴，得a的取值范围为．

小问2详解】

令，由题意，的值域包含，

①时，，值域为，满足条件；

②时，，令，

所以为开口向下的抛物线，

易知的值域为，不满足条件；综上，．

【小问3详解】

时，，若，，，

又∵为奇函数，∴时，，

综上，，，且，

易知为减函数，所以为单调递增函数，

不等式等价于，，

即解关于x的不等式：，，

①当时，解集为且或；

②当时，解集为；

③当时，解集为且或；

④当时，解集为或．

22. 若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数其中为常数.

（1）若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；

（2）已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，

（i）求函数的值域；

（ii）对于上的任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】

（1）根据局部奇函数性质得，进而，即，由于，，故的解集为；

（2）（i）由题得，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数的值域；（ii）根据题意分当时，当时，当时三种情况讨论求解.

【详解】解：（1）对上成立，即，

所以，故等价于，

令，即，解得或，

又，，，又

的解集为.

（2）（i）

①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以；

②当，令，为对勾函数，，所以.

的值域为

（ii）①当时，， ，

②当时，， 成立，

③当时，， ，

综上，的取值范围是

【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当时，当时，当时三种情况讨论求解.