【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第05讲《三角函数》寒假精品讲学案（含解析）

第05讲 三角函数

【学习目标】

1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.

2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。

3、掌握三角函数的图像与性质

4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．

【考点目录】

考点一：任意角和弧度制

考点二：三角函数的概念

考点三：诱导公式

考点四：三角函数的图像与性质

考点五：三角恒等变换

考点六：伸缩变换

考点七：三角函数的应用

【基础知识】

知识点一：任意角的概念

1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

正角：按逆时针方向旋转所形成的角．

负角：按顺时针方向旋转所形成的角．

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．

2、终边相同的角、象限角

终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

知识点二：弧度制

1、弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．

2、角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式：

1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）

3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：．

知识点三：三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：

（1）做的正弦，记做，即；

（2） 叫做的余弦，记做，即；

（3）叫做的正切，记做，即．

知识点四：三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

知识点五：同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：

（2）商数关系：

知识点六：诱导公式

诱导公式一：

，

，

，其中

诱导公式二：

，

，

，其中

诱导公式三：

，

，

，其中

诱导公式四：

，．

，，其中

知识点七：正弦函数性质

知识点八：余弦函数的性质

知识点九：正切函数的性质

1、定义域：

2、值域：

由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．

3、周期性：周期函数，最小正周期是

4、奇偶性：奇函数，即．

5、单调性：在开区间，内，函数单调递增

知识点十：三角恒等变换公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）和角公式

（），

（），

（）．

（2）差角公式

（），

（），

（）．

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

（），

（），

（）

3、降幂公式

，

，

．

4、半角公式

，

，

．

其中，符号由所在象限决定．

5、辅助角公式

，其中，．叫做辅助角，的终边过点．

知识点十一：由得图象通过变换得到的图象

1、振幅变换：

，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．

2、周期变换：

函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．

3、相位变换：

函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．

4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径

【考点剖析】

考点一：任意角和弧度制

例1．（2022·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

例2．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

例3．（2022·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点二：三角函数的概念

例4．（2022·上海市香山中学高一期末）已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（    ）

A． B．1 C．2 D．

例6．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若，，则的值为（    ）

A． B．－ C． D．

考点三：诱导公式

例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；

（2）已知，求的值.

例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．

(1)化简；

(2)若，求的值．

例9．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．

(1)求的值；

(2)若，求的值．

考点四：三角函数的图像与性质

例10．（多选题）（2022·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．是奇函数

C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减

例11．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：

(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.

(2)求在区间上的最大值和最小值.

例12．（2022·江苏盐城·高一期末）设.

(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；

(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.

考点五：三角恒等变换

例13．（2022·天津南开·高一期末）已知.

(1)求的值

(2)求的值.

例14．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数

(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；

(2)若且，求的值.

例15．（2022·江苏南通·高一期末）已知，

(1)求和的值

(2)若，，求的大小．

考点六：伸缩变换

例16．（2022·上海市香山中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ）

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

例17．（2022·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

例18．（2022·上海市行知中学高一期末）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

考点七：三角函数的应用

例19．（2022·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

例20．（2022·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：

体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示：

如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（    ）

A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷

C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝

例21．（2022·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为40

B．

C．当时，水车P点离水面最高

D．当时，水车P点距水面2m

【真题演练】

1．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）

A．1 B． C． D．3

6．（2022·全国·高考真题）若，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

8．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．

【过关检测】

一、单选题

1．（2022·河北·蠡县二中高一阶段练习）800°是以下哪个象限的角（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数的图象的相邻两个零点的距离为，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的图象关于直线对称，则的值是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·江苏·连云港外国语学校高一阶段练习）已知角的终边经过点，且，则m等于（    ）

A．－3 B．3 C． D．

5．（2022·江苏·常州市教科院附属高级中学高一阶段练习）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·江苏·常州市教科院附属高级中学高一阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）下列不等关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ）

A．[π，2π） B． C． D．

二、多选题

9．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）下列说法正确的是（    ）

A．终边相同的角相等

B．扇形的圆心角为，周长为8，则扇形面积为4

C．若，则为第一或第二象限角

D．

10．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）关于函数有如下四个命题，其中正确的是（    ）

A．的图象关于y轴对称 B．的图象关于原点对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点(π，0)对称

11．（2022·山东·济南三中高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ）

A．函数是偶函数 B．是函数的一个零点

C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于直线对称

三、填空题

13．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）__________.

14．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）若，则__________.

15．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期末）将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平个单位长度得到的图象，则________．

16．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，当时函数能取得最小值，当时函数能取得最大值，且在区间上单调，则当取最大值时的值为__________.

四、解答题

17．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）已知函数的最小正周期．

(1)求函数单调递增区间和对称中心；

(2)求函数在上的值域．

18．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知

(1)化简；

(2)若是第三象限角，且，求；

(3)若角是的内角，且，求的值.

19．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）已知半径为的圆O中，弦AB的长为4．

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．

20．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数

(1)求的最小值及对应的的集合；

(2)求在上的单调递减区间；

(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

21．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知函数的部分图象如图所示，其中、分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点，其横坐标分别为1和4，且．

(1)求的值，并求函数的单调增区间；

(2)记，求函数，的值域．

22．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数的图象关于直线对称.

(1)若的最小正周期为，求的解析式；

(2)若是的零点，且在上单调，求的取值集合.