第3讲 2023高考热点分类提分复习 中心对称、轴对称与周期性归类

第3讲 中心对称、轴对称与周期性归类 目录 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2377" 【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数  PAGEREF _Toc2377 1  HYPERLINK \l "_Toc25852" 【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称  PAGEREF _Toc25852 4  HYPERLINK \l "_Toc3035" 【题型三】 轴对称  PAGEREF _Toc3035 7  HYPERLINK \l "_Toc6727" 【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性  PAGEREF _Toc6727 9  HYPERLINK \l "_Toc4887" 【题型五】 画图：放大镜  PAGEREF _Toc4887 12  HYPERLINK \l "_Toc29917" 【题型六】 利用对称解决恒成立和存在型  PAGEREF _Toc29917 15  HYPERLINK \l "_Toc409" 【题型七】 函数整数问题  PAGEREF _Toc409 19  热点题型总结 【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数 【典例分析】 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 ， 令，则，可得是奇函数， 又， 又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立； 当且仅当，即时等号成立； 故，可得是单调增函数， 由得， 即，即对恒成立. 当时显然成立；当时，需，得， 综上可得，故选：D. 【提分秘籍】 基本规律 若满足，则关于中心对称 2. 【变式演练】 1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______. 解：因为，由于 .即，.所以是的一个对称中心. 故答案为：. 2.设函数，若，满足不等式，则当时， 的最大值为 A． B． C． D． 【详解】 因为, 所以函数为奇函数, 又因为为单调减函数, 且所以为上减函数,因此 , 因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中, 因此直线过点时取最大值,选B. 2.已知函数，若 ，其中，则的最小值为 A． B． C． D． 【详解】 解：因为， 所以 ， 令 则所以 所以，所以，其中，则. 当时 当且仅当 即 时等号成立；当时 ， 当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A. 【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 【典例分析】 已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则 A． B． C． D． 【详解】 由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B. 【提分秘籍】 基本规律 1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 。 2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点 【变式演练】 1.函数在上的所有零点之和等于______. 【详解】 分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和． 详解：零点即 ，所以 即，画出函数图像如图所示 函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点 图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8 点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题． 2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________． 【解析】 试题分析：由已知，而函数为奇函数 又函数最大值为，最小值为，且， 考点：函数的奇偶性和最值 【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为，则函数为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得，则问题得解． 3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】 由题设，令， ∴， ∴为奇函数，又，即为增函数， ∵，即， ∴，则， ∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立， ∴，即.故选：A 【题型三】 轴对称 【典例分析】 已知函数有唯一零点，则负实数（ ） A． B． C． D．或 【解析】函数有有唯一零点，设 则函数有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，设∴ 为偶函数，∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A． 【提分秘籍】 基本规律 1.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； 2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 3.与关于直线对称。 【变式演练】 1.已知函数在区间的值域为，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解： 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选. 2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称， 当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=4． 当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上， ∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．解得a=4．故选：D． 3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有 ①函数是周期函数； ②函数既有最大值又有最小值； ③函数的定义域为，且其图象有对称轴； ④对于任意的，（是函数的导函数） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③ 【详解】 函数定义域为，当或时，，又，，，，……时，，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图， 故②③正确. 【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性 【典例分析】 已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f(12+x)=f(32−x)，当x∈[−1 ，  0]时，f(x)=−x.若函数F(x)=f(x)+x+41−2x在区间[−9 ，  10]上的所有零点之和为__________． 【详解】∵足f(12+x)=f(32−x)，∴fx=f(2−x)，又因函数f(x)为偶函数，∴fx=f−x=f(2+x)，即fx=f(2+x)，∴T=2，令F(x)=0，fx=x+42x−1，，即求fx与y=x+42x−1交点横坐标之和.y=x+42x−1=12+922x−1， 作出图象： 由图象可知有10个交点，并且关于12，12中心对称，∴其和为102=5故答案为：5 【提分秘籍】 基本规律 关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论 1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。 2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。 3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。 【变式演练】 1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ） A．30 B．14 C．12 D．6 【详解】 由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数， ∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，，故当时，，当时，， 当时，，当时，，方程在上有实数根， 则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数， 则由于，故方程在上有唯一实数，在和上， 则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A. 2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】 因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以， 因为，，两式相减可得，，故，故； 因为，故所求切线方程为， 故选：B． 3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ） A． B． C． D． 【详解】 函数是上的奇函数，又为偶函数，，， ，即函数的周期，时，，， 即，函数在上为增函数， ，， ，. 故选：D. 【题型五】 画图：放大镜 【典例分析】 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数； ②函数是“似周期函数”； ③如果函数是“似周期函数”，那么“或”． 以上正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】 解：①∵“似周期函数”的“似周期”为， ，， 故它是周期为2的周期函数，故①正确； ②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使， 即恒成立，故成立，但无解，故②错误； ③若函数是“似周期函数”， 则存在非零常数，则， 即恒成立，故恒成立， 即恒成立， 故，故或，故③正确． 所以以上正确结论的个数是2.故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 “似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 【变式演练】 1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象， 如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点； 当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点， 则，解得.故选：C. 2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，， 故选：B． 3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ） A． B． C． D． 【详解】 根据题设可知，当时，，故， 同理可得：在区间上，， 所以当时，. 作函数的图象，如图所示. 在上，由，得. 由图象可知当时，. 故选：. 【题型六】 利用对称解决恒成立和存在型 【典例分析】 已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】 的定义域为， ，∴为奇函数， 又在上单调递增， ∴，∴， 又，则，，∴恒成立； 设， 则，当时， ∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，， ∴，，故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 常见不等式恒成立转最值问题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； 【变式演练】 1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】 对任意的，存在，使得， 即在上的值域是在上的值域的子集，， 当时，， 在上单调递增，的值域为， 又在上单调递减，的值域为：， ， ，方程无解 当时，，在上单调递减，的值域为 的值域为：，，解得 当时，，显然不满足题意. 综上，实数的取值范围为故选：D. 2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 当时，， 函数在上单调递减，且是R上的增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且； 当时，，易知函数在上单调递减，且. ∴函数在上单调递减. ∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数， ∴不等式可化为，∴恒成立， 即，整理得，令， ∴对任意的，恒成立，∴， 即，解得.故选：D. 3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________． 【详解】 依题意，对于，使得，只需. 时，，， 故当，即时，单调递增， 当，即时，单调递减. 而函数，显然在单调递减. 故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.对于，， 当时，故是单调递减的， 当时，故是单调递增的， 故.故依题意知，，即. 所以实数m的取值范围是.故答案为：. 【题型七】 函数整数问题 【典例分析】 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【详解】 由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6. 当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6. 当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意. 当时，作出函数和的图象，如图所示. 若，即的整数解只有1，2，3. 只需满足，即，解得，所以. 综上，当时，实数的取值范围是.故选D. 【提分秘籍】 基本规律 涉及到整数型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难 【变式演练】 1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为 A．15 B．16 C．17 D．18 【详解】 定义在上的奇函数满足，得 即 则 的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数 分别为-1，1，2，5，7…时， 取最小值， ， 至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D 2.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 当时，，， 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， ， 又，函数关于对称，且是偶函数，所以， 所以，所以函数周期， 关于的不等式在上有且只有150个整数解， 即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解 结合草图可得：。故选：B 3.定义在R上的偶函数满足，且，若关于x的不等式在上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】 ∵，∴函数图象关于直线对称，又函数为偶函数，∴函数是周期函数，且周期为8，区间含有5个周期，关于x的不等式在上有3个整数解． 时，是增函数， 时，，，时，，递减，时，，递增， 时，取得极小值，，， 利用偶函数性质，作出在上的图象，如图． 由得，若，则原不等式无解， 故，，要使得不等式在上有3个整数解， 则，即．故选：B．