【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——《一元一次方程》期末复习精讲精练（练习）

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一元一次方程


1.下面是小红所写的式子，其中，是一元一次方程的有（  ）
①5x﹣2；②3+5=﹣1+9；③5﹣ 12 x=2x﹣8；④x=0；⑤x+2y=9．
A. 1个                      B. 2个                        C. 3个                        D. 4个
【答案】 B
【考点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】①5x−2不是等式；
②3+5=−1+9不是方程；
③5− 12 x=2x−8是一元一次方程；
④x=0是一元一次方程；
⑤x+2y=9是二元一次方程；
综上所述，是一元一次方程的有③④共2个．
故答案为：B.
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式 。根据一元一次方程的定义对每个式子一一判断即可。
2.若关于 x 的方程 (m-3)×x|m|-2-3m+6=0 是一元一次方程，则 m 的值为（  ）
A. 1                            B. 3                           C. -3                                          D. ±3
【答案】 C
【考点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】∵关于 x 的方程 (m-3)×x|m|-2-3m+6=0 是一元一次方程，
∴|m|-2=1且m-3≠0，
∴m=±3，且m≠3，
∴m=-3，
故答案为：C．
【分析】根据一元一次方程的定义可得|m|-2=1且m-3≠0，据此解答即可.
3. 已知关于x的方程7－kx＝x＋2k的解是x＝2，则k的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将x=2代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】∵关于x的方程7-kx=x+2k的解是x=2，
∴7-2k=2+2k，
解得k=．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
4.已知关于 x 的方程 a-x=x2+3a 的解是 x=4 ，则代数式 2a+1 的值为（  ）
A. -5                    B. 5                         C. 7                            D. -7
【答案】 A
【考点】代数式求值，一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把 x=4 代入方程 a-x=x2+3a ，
∴ a-4=42+3a ，
解得： a=-3 ，
∴ 2a+1=2×(-3)+1=-5 ；
故答案为：A.
【分析】将x=4代入方程a-x=x2+3a求出a的值，再将a的代入计算即可。
5. 下列变形错误是（ ）
A. 由得： B. 由得：
C. 由得： D. 由得：
【答案】C
6.根据等式的性质，下列选项中等式不一定成立的是（  ）
A. 若a＝b，则a+4＝b+4                                       B. 若3a＝3b，则a＝b
C. 若 x3=y3 ，则x＝y                                            D. 若ax＝bx，则a＝b
【答案】 D
【考点】等式的性质
【解析】【解答】A、若 a=b ，则 a+4=b+4 ，根据等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，
∴选项A不符合题意，
B、若 3a=3b ，则 a=b ，根据等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，
∵ 3≠0 ，∴选项B不符合题意，
C、若 x3=y3 ，则 x=y ，等式成立，选项 B不符合题意，
D、若 ax=bx ，则 a=b ，不一定成立，
∵未标注 x≠0 ，∴D不一定成立
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
7.根据等式的性质，下列变形正确的是（  ）
A. 若 |x|=|y| ，则 x=y                                           B. 若 ac=bc ，则 a=b
C. 若 -12x=8 ，则 x=-4                                 D. 若 ac=bc ，则 a=b
【答案】 D
【考点】等式的性质
【解析】【解答】A. 若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=-y ，故该选项不符合题意；
B. 若 ac=bc,c=0 ，则 a,b 不一定相等，故该选项不符合题意；
C. 若 -12x=8 ，则 x=-16 ，故该选项不符合题意；
D. 若 ac=bc ，则 a=b ，故该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质和绝对值的性质逐项判断即可。
8.下列等式变形正确的是（  ）
A. 如果 S=12ab ，那么 b=S2a                    B. 如果 12x=6 ，那么 x=3
C. 如果 mx=my ，那么 x=y                  D. 如果 2x-3=2y-3 ，那么 x-y=0
【答案】 D
【考点】等式的性质
【解析】【解答】解： ∵   S=12ab ，
∴ab=2S,  
当 a≠0 时，
∴b=2Sa,  故 A 不符合题意；
∵   12x=6 ，
∴x=12,  故 B 不符合题意；
∵   mx=my(m≠0) ，
∴   x=y ，故 C 不符合题意；
∵   2x-3=2y-3 ，
∴2x-2y=0,  
∴   x-y=0 ．故 D 符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据等式的基本性质对每个选项一一判断求解即可。
9. 若关于的方程的解是,则的值是（ ）
A. -6 B. -2 C. 6 D. 15
【答案】A
10. 已知关于的一元一次方程的解是，则的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
【答案】A
11.已知关于x的方程3x+a＝0的解比关于x的方程5x﹣a＝0的解小1，则a的值为（  ）
A. ﹣ 18                          B. 18                        C. ﹣ 158                         D. 158
【答案】 D
【考点】一元一次方程的解，解一元一次方程
【解析】【解答】由方程3x+a＝0，得
x＝﹣ a3 ；
由方程5x﹣a＝0，得
x＝ a5 ；
又∵方程3x+a＝0的解比方程5x﹣a＝0的解小1，
∴ a5 ﹣（﹣ a3 ）＝1，
解得a＝ 158 ．
故答案为：D．
【分析】先求出x＝﹣ a3 ，再求出x＝ a5 ，最后计算求解即可。
12．小明在解方程（x为未知数）时，误将看作，得方程的解为，原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把x＝−2代入方程，求出m，得出方程为15−x＝13，求出方程的解即可．
【详解】
解：把x＝−2代入方程得：
5m−2＝13，
解得m＝3，
即原方程为15−x＝13，
解得x＝2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，根据方程的解的定义能求出m的值是解此题的关键．
13.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢?我们以无限循环小数 0.7· 为例进行说明，设 0.7·=x ，由 0.7·=0.7777 ……可知，10x=7.7777 ……，所以 10x-x=7 ，解方程，得 x=79 ，于是 0.7=79 ，将 0.4·5· 写成分数的形式是       ．
【答案】 511
【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设 0.4·5· ＝x，则 45.4·5· ＝100x，
∴100x−x＝45，
解得：x＝ 511 ，
故答案为： 511 ．
【分析】设 0.4·5· ＝x，则 45.4·5· ＝100x，从而得出方程100x−x＝45，解之即可.
14. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人乘一辆车，最后剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
15. A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了3瓶A种饮料和4瓶B种饮料，一共花了18元．如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是 （ ）
A. 3x＋4(x－1)=18 B. 3(x＋1)＋4x=18
C. 3x＋4(x＋1)=18 D. 3(x－1)＋4x=18
【答案】D
16. 每瓶A种饮料比每瓶B种饮料少元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设每瓶A种饮料为x元，那么下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
17. 我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为1.5，且1.5＝4.5﹣3，则该方程3x＝4.5是“差解方程”．若关于x的一元一次方程2x＝m+2是“差解方程”，则m＝_____．
【答案】2．
18. 某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元
【答案】2000，
19. 已知方程是关于的一元一次方程，则此方程的解为__________．
【答案】
20. 如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为______．
【答案】7
21. 眼镜店将某种眼镜按进价提高，然后打出“九折酬宾，外送50元出租费”的广告，结果每副眼镜仍可获利208元，则每副眼镜的进价为__________元．
【答案】1200
【解析】
【分析】
设每台眼镜进价为x元，根据进价×（1+35%）×0.9-50=208列出方程，求解即可．
【详解】解：设每台眼镜进价为x元，根据题意得：
x×（1+35%）×0.9-50=x+208，
解得：x=1200．
故答案填：1200．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22．一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是（　　）
A．120元 B．125元 C．135元 D．140元
【答案】B
【分析】
设每件的成本价为x元，列方程求解即可.
【详解】
设每件的成本价为x元，
，
解得x=125，
故选：B.
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，正确理解题意是列方程解决问题的关键.


23.假期张老师和王老师带学生乘车外出参加实践活动，甲车主说“每人8折”，乙车主说“学生9折，老师减半”，张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师和王老师带的学生人数为（   ）
A. 6名                            B. 7名                        C. 8名                          D. 9名
【答案】 A
【考点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：张老师和王老师带了x名学生，根据题意得(x+2)×0.8=0.9x+2× 12 ，解得x=6，故答案为：A
【分析】设出所带学生数，从而表示出两张方案的收费，再根据“费用都一样”可列出一元一次方程，解方程即可求得所带学生的人数.
24.“双十一”期间，某电商决定对网上销售的某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利21元，则这种服装每件的成本是（    ）
A. 160元                    B. 175元                     C. 170元                    D. 165元
【答案】 B
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：
x+21=（x+40%x）×80%，
解这个方程得：x=175
则这种服装每件的成本是175元．
故答案为：B．
【分析】通过理解题意可知，本题的等量关系：每件服装仍可获利=按成本价提高40%后标价又以8折卖出的利润，根据这两个等量关系，可列出方程，再求解．
25．中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（　　）
A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元
【答案】C
【分析】
按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买的商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．
【详解】
（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则90%x=252，解得x=280
两次所购物价值为80+280=360＞300
所以享受8折优惠，
因此王波应付360×80%=288（元）．
（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为y元，则80%y=252，解得y=315
两次所购物价值为80+315=395，
因此王波应付395×80%=316（元）
故选C．
【点睛】
能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键．
26. 某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店( )
A. 赚了32元 B. 赚了8元 C. 赔了8元 D. 不赔不赚
【答案】B
27. 中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（　　）
A. x+1=2（x﹣2） B. x+3=2（x﹣1）
C. x+1=2（x﹣3） D.
【答案】C
【解析】
试题解析：∵甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．甲有x只羊，
∴乙有只，
∵乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”，
∴ 即x+1=2(x−3)
故选C.
28．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题:“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之?”这是一道行程问题，意思是说:走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步;走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶走路慢的人，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人?如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走60步，可得走路快的人与走路慢的人的速度比为100：60，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程，然后根据等式的性质变形即可求解．
【详解】
解： 设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，
根据题意得，
整理得，
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找到等量关系．
29．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（　　）
A．﹣9 B． C． D．+9
【答案】B
【分析】
利用车的总辆数不变，找等式关系，列方程．
【详解】
根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解答：解：依题意，得：．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找出等量关系，是列方程的前提．
30．在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是或，即可得出关于x的方程.
【详解】
解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，
∴每头牛的价钱是；
∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，
∴每头牛的价钱又可以表示为，
∴可列方程为：，
故选A.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
31. 轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用 3 小时，若船速为 26 千米/小时，水速为 2 千米/时，则 A 港和 B 港相距_____千米．
【答案】
32．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要20秒的时间；隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是8秒，设该火车的长度为x米，根据题意可列一元一次方程____________．
【答案】
【分析】
根据火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度相等列出方程即可．
【详解】
解：根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为x米，这段时间内火车的平均速度m/s．
从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m，这段时间内火车的平均速度为m/s．
列出方程得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题注意理解“完全通过”的含义，完全通过：火车所走的路程=隧道长度+火车长度．
33．如图所示，甲、乙两人沿着边长为10m的正方形，按A→B→C→D→A．..的方向行走，甲从A点以5m/分钟的速度，乙从B点以8m/分钟的速度行走，两人同时出发，当甲、乙第15次相遇时，它们在______边上．

【答案】BC
【分析】
先分别算出第一次、第二次相遇所用时间．第三次开始，相遇所用时间都与第二次相同，从而求出第15次相遇时所用时间，然后计算出乙的路程，根据一圈40m判断第15次相遇所在的边．
【详解】
解：设第一次相遇用时分钟，，解得，
设又过了分钟第二次相遇，，解得，
∴从第二次相遇开始每隔分钟甲、乙相遇一次，
∴第15次相遇用时为：（分钟），
∴乙的路程为：（圈），故相遇在BC边.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，掌握追及问题的做法，准确找出等量关系是解题的关键．
解答题
1、解方程: (1) (2)
【答案】（1）x=-1（2）x=4.
【分析】
根据一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可.
【详解】
（1）
3x-2x+2=9-4x-12
x+4x=-5
x=-1
（2）
2(x+1)=12+2-x
2x+2=14-x
3x=12
x=4.
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是熟知一元一次方程的解法.
2.解方程：
（1）5x+4=3(x-4) （2）4x-35-1=2x-23
【答案】 （1）解： 5x+4=3(x-4)
5x+4=3x-12 ，
5x-3x=-12-4 ，
2x=-16 ，
x=-8

（2）解： 4x-35-1=2x-23
3(4x-3)-15=5(2x-2) ，
12x-9-15=10x-10 ，
12x-10x=-10+9+15 ，
2x=14 ，
x=7 ．
【考点】解含括号的一元一次方程，解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】利用一元一次方程的解法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可得结果。
3、解方程：
（1）（2）；（3）；
【答案】（1）；（2）；（3）x＝3.8；
【解析】
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤解方程即可；
（2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可．
【详解】解：（1）
去分母得：3（x-1）=8x+6，
去括号得：3x-3=8x+6，
整理得：-5x=9，
解得：；
（2）
去分母得：，
去括号得：18x+9-12=16x-8，
整理得：2x=-5，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练按照解方程的步骤准确进行计算．
解方程
（3）x＝3.8；
【分析】方程去分母、去括号、合并同类项，未知数系数化为1即可求解；
【详解】
解：
去分母得：6x﹣3（x+3）＝6﹣2（x﹣2），
去括号得：6x﹣3x﹣9＝6﹣2x+4，
移项合并得：5x＝19，
解得：x＝3.8；

4．解方程：
【答案】
【分析】
这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【详解】
解：去分母得：
，
，
解得：．
【点睛】
本题考查的是解一元一次方程，需要熟练掌握解一元一次方程的步骤．
5. 已知关于的一元一次方程的解是，求的值．
【答案】
6．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．
【答案】（1）是；见解析；（2）.
【分析】
（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；
（2）根据差解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）∵3x＝4.5，
∴x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴3x＝4.5是差解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，
∴m+2﹣6＝，
解得：m＝．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解差解方程的意义是解此题的关键．
应用题系列
1．贵阳市人民广场某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【答案】（1）1950（元）；（2）第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【分析】
（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品（）件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x的一元一次方程，可求得甲、乙两种商品得数量；根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件，
根据题意得：
解得：，
∴（件）．
∴（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：，
解得：y=8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程.
2．甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，根据图中信息，回答下列问题：

（1）求一个暖瓶与一个水杯售价分别是多少元．
（2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送二个水杯，单独买水杯不优惠．若必须买5个暖瓶，且购买水杯个数大于10个，则当买多少个水杯时到两家商场一样合算．
【答案】（1）一个暖瓶32元，一个水杯2元；（2）买20个水杯时到两家商场一样合算．
【分析】
（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（34﹣x）元，根据图形可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设当买m个水杯时到两家商场一样合算，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设一个暖瓶x元，则一个水杯（34﹣x）元，由题意得
2x+3（34﹣x）＝70，
解得：x＝32，
则水杯的价格为：34﹣32＝2（元）．
答：一个暖瓶32元，一个水杯2元；
（2）设当买m个水杯时到两家商场一样合算，由题意得
（32×5+2m）×90%＝32×5+2（m﹣10），
解得：m＝20．
答：买20个水杯时到两家商场一样合算．
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键．
3. 某中学杨老师为学校购买运动会奖品后，回学校向总务处童老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1200元，现在找还余下的118元．” 童老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）童老师为什么说他搞错了？请你用已学过方程的知识帮童老师向杨老师解释清楚；
（2）杨老师连忙清点购买物品，发现在另外商场还买了一个笔记本，但笔记本的单价在小票上已经模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，请问：笔记本的单价可能为多少元？
【答案】（1）理由见解析；（2）笔记本的单价可能为2元或6元.
4. 试根据图中信息，解答下列问题.

（1）一次性购买6根跳绳需_____元，一次性购买12根跳绳需______元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.
【答案】(1)150；240；（2）11根.

5. 景山中学组织七年级师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位．
（1）求参加春游的人数？
（2）已知45座客车的日租金为每辆250元，60座客车的日租金为每辆300元，
问：租用哪种车更合算？
【答案】（1）225人；（2）租用60座的客车更合算.
【解析】
【分析】
（1）设租用45座客车x辆，根据题意列方程求解即可；
（2）由（1）得到租用两类客车的辆数，根据单价分别计算得出租用的租金进行比较即可得到答案.
详解】（1）设租用45座客车x辆，由题意得
45x=60（x-1）-15，
解得x=5，
∴，
答：参加春游的有225人；
（2）由（1）得：租用45座的客车需5辆，租用60座的客车需4辆，
∴租用45座的客车租金是： （元）
租用60座的客车租金是：（元），
1250>1200，
∴租用60座的客车更合算.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，有理数的乘法计算法则，正确理解题意是解题的关键.
6. 某水果店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140kg，这两种水果的进价、售价如表所示：

进价（元/kg）
售价（元/kg）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店按售价售完这批水果，获得的利润是多少元？
（3）如果这批水果是在一天之内按照售价销售完成的，除了进货成本，水果店每天的其它销售费用是0.1元/kg，那么水果店销售这批水果获得的利润是多少？
【答案】（1）购进甲种水果65千克，乙种水果75千克．（2）495（元）（3）395（元）．
【解析】
（1）设甲种购进了x千克，则乙种水果进购了140-x千克，有5x+9（140-x）=1000，解之得x=65（千克），140-65=75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克．
（2）（8-5）×65+（13-9）×75=495（元）
（3）495-0.1×1000=395（元）．
7、饺子源于古代的角子，饺子原名"娇耳"，一个饺子皮加馅就可以做一个饺子∶中国北方还流行一种面食——合子，含有团团圆圆的美好寓意.在两层饺子皮中间加一层馅，就可以包成一个合子."元旦"这天，妈妈走进书房对正在学习的小刚说;"妈妈刚才在厨房包饺子，结果面和多了，做了106个饺子皮，最后包的饺子和合子一共是 98个."小刚说;"妈妈，我能用学过的数学知识列一元一次方程，求出您包的饺子和合子分别是多少."请你写出小刚的解答过程.
解∶设妈妈包了x个饺子，则包了（98-x）个合子.
根据饺子皮共106 个，得x＋2(98-x)=106. 解方程，得 x=90.
98一x=98-90=8.
答;妈妈包的饺子和合子分别是 90个和8个.

8. 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买19个文具袋作为奖品．请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）这种文具袋每个标价多少元？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔每支标价8元，签字笔每支标价6元．经过沟通，这次老板给予7折优惠，合计231元．则小明购买了钢笔和签字笔各多少支？

【答案】（1）这种文具袋每个标价12元；（2）小明可购买钢笔15支，签字笔35支．
9．列方程解应用题．
程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．
在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？

【答案】大和尚有25人，小和尚有75人
【分析】
设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，根据“大和尚分得的馒头+小和尚分得的馒头=100”列式计算即可.
【详解】
解：设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：x+3（100﹣x）=100，
解得：x=75，
∴100﹣x=100﹣75=25．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用.
10．新年快到了，贫困山区的孩子李明想给在“希望工程”中帮扶过他的王亮写封信，折叠长方形信纸装入标准信封时发现：若将信纸如图1五等分折叠后，沿着信封口边线装入时，宽绰；若将信纸如图2三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰，试求信封的宽．

图1

图2
【答案】.
【分析】
设信封的口宽为xcm．根据长方形信纸的长相等构建方程即可解决问题.
【详解】
解：设信封宽为.
.
解得，
答：信封宽.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11. 在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生44人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．
（1）七年级（2）班有男生、女生各多少人？
（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？
【答案】解：（1）男生21人，女生23人；（2）24名学生剪筒身，20名学生剪筒底.

12、我县盛产绿色蔬菜，生产销售一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为800元，经粗加工销售，每吨利润可达2000元，经精加工后销售，每吨利润涨至2500元.我县一家农工商公司采购这种蔬菜若干吨生产销售，若单独进行精加工，需要30天才能完成，若单独进行粗加工，需要20天才能完成.已知每天单独粗加工比单独精加工多生产10吨.
（1）试问这家农工商公司采购这种蔬菜共多少吨？
（2）由于两种加工方式不能同时进行受季节条件限制，公司必须在24天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此该公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好24天完成，你认为选择哪种方案获利最多？请通过计算说明理由.
【答案】 （1）解：设这家农工商公司采购这种蔬菜共x吨，
根据题意得： x30 = x20 -10，
解得：x=600，
则这家农工商公司采购这种蔬菜600吨；
（2）解：粗加工每天加工600÷20=30（吨），精加工每天加工600÷30=20（吨），
方案一：24×30=720＞600，
∴600×2000=1200000（元）；
方案二：精加工：24×20=480（吨），粗加工：600-48=120（吨），
∴480×2500+120×800=1200000+96000=1296000（元）；
方案三：设精加工x吨，则粗加工（600-x）吨，
根据题意得： x20 + 600-x30 =24，
解得：x=240，
600-x=600-240=360，
∴240×2500+360×2000=1320000（元），
∴1320000＞1296000＞1200000，
∴选方案三.
【考点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设这家农工商公司采购这种蔬菜共x吨，根据每天单独粗加工比单独精加工多生产10吨列出方程，求出方程的解，即可得到结果； （2）分别求出三种方案的利润，比较即可得到结果.
13.列方程解应用题：为让同学们幸福成长，年级准备组织师生秋游．关于租车问题：若只租45座的客车若干辆，则刚好坐满；若只租60座的客车，则可少租4辆，且余30个座位．
（1）若只租45座的客车，求需要多少辆车?
（2）已知一辆45座的客车租金每天2500元，一辆60座的客车租金每天3000元，若可以同时租用这两种类型的客车，则两种客车分别租多少辆最省钱?
【答案】 （1）解：设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x人．根据题意，得 45x＝60（x−4）−30，
解得：x＝18．
答：只租45座的客车，需要18辆车
（2）解：45×18=810（人）
设租45座客车x辆，60座客车y辆．
根据题意得：
45x＋60y＝810．
∵x，y均为正整数，
∴x＝2，y＝12；或x=6，y=9；或x=10，y=6；或 x=14，y=3．
2500×2+3000×12=41000（元）
2500×6+3000×9=42000（元）
2500×10+3000×6=43000（元）
2500×14+3000×3=44000（元）
∵41000﹤42000﹤43000﹤44000
∴租45座的客车2辆，租60座客车12辆最省钱．
【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题，一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设单租45座客车x辆，则参加春游的师生总人数为45x人，根据人数与客车的数量关系建立方程求出其解即可；（2）等量关系为：45座客车能坐的人数＋60座客车能坐的人数＝秋游的师生总人数，选取正整数解，比较即可．
14．解方程：｜3x｜=1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x＝1，它的解是x=；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x＝1，它的解是x=-．
请你模仿上面例题的解法，解方程：2｜x-3｜+5＝13．
【答案】7或-1.
【详解】
试题分析：根据绝对值的定义，将方程|x-3|=4分为①x-3≥0，②x-3＜0两种情况转化方程求解．
试题解析：
①当x≥3时，原方程可化为2（x-3）＋5＝13，它的解是x＝7；
②当x＜3时，原方程可化为2（3-x）＋5＝13，它的解是x＝-1．
【点睛】理解例题及运用分类讨论的思想解一元一次方程是解题关键．
15、阅读材料，解答下面问题．
无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以 0.6 为例说明：
设 x=0.6 ①，
由 0.6=0.666⋅⋅⋅ ．
可得 10x=6.666⋅⋅⋅ ②，
由②-①，得 10x-x=6
解得： x=23 ，所以， 0.6=23
模仿：
（1）将无限循环小数 0.7 化成分数形式．
（2）0.12=        ． （直接写出答案）
【答案】 （1）解：设 x=07 ①
由 07=0.777 …
可得 10x=7.777⋅⋅⋅ ②
由②-①，得 10x-x=7
解得 x=79
∴ 0.7=79
（2）433
【考点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】（2）设 0.12 =x，
方程两边都乘以100，可得100× 0.12 =100x
由 0.12 =0.1212…，可知100× 0.12 =12.1212…=12+ 0.12 ，
即12+x=100x．
解得： x=433 ．即 0.12=433
【分析】（1）根据材料将 0.6 转化为分数的方法 ， 设  x=07 ，仿照例题的解法求解即可；
（2）根据材料将 0.6 转化为分数的方法，设 0.12 =x，仿照例题的解法求解即可。
16.先阅读下面材料，再完成任务：
（材料）
我们规定：若关于 x 的一元一次方程 ax=b 的解为 b+a ，则称该方程为和解方程．例如；方程 2x=-4 的解为 x=-2 ，而 -2=-4+2 ，则方程 2x=-4 为“和解方程”．
（任务）
请根据上述规定解答下列问题：
（1）关于 x 的一元一次方程 4x=-3 是否是“和解方程”；（只写结论）
（2）已知关于 x 的一元一次方程 3x=m 是“和解方程”，求 m 的值：
（3）已知关于 x 的一元一次方程 -2x=mn+n 是“和解方程”，并且它的解是 x=-n ，求 m ， n 的值．
【答案】 （1）解：方程 4x=-3 的解为x= -34 ，
∵ -34 ≠﹣3+4，
∴方程 4x=-3 不是“和解方程”；
（2）解：方程 3x=m 的解为x= m3 ，
∵方程 3x=m 是“和解方程”，
∴ m3=m+3 ，解得： m=-92 ；
（3）解：∵关于 x 的一元一次方程 -2x=mn+n 是“和解方程”，并且它的解是 x=-n ，
∴ -mn+n2=mn+n-2,2n=mn+n ，
解得： m=1,n=23 ，
即 m 、 n 的值分别是1、 23 ．
【考点】一元一次方程的解，定义新运算
【解析】【分析】（1）根据“和解方程”的定义判断即可；
（2）根据“和解方程”的定义，利用m3=m+3求解；
（3）根据“和解方程”的定义，利用-mn+n2=mn+n-2,2n=mn+n求解即可。
17.2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 600 元立减 128 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 50% 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 568 元．求该电饭煲的进价．

【答案】 解：设该电饭煲的进价为 x 元
根据题意，得 (1+50%)x⋅80%-128=568
解，得 x=580 ．
答；该电饭煲的进价为 580 元
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据满 600 元立减 128 元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
18、已知甲、乙两地相距160km，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发，A车速度为85km/h，B车速度为65km/h.
（1）A、B两车同时同向而行，A车在后，经过几小时A车追上B车？
（2）A、B两车同时相向而行，经过几小时两车相距20km？
【答案】 （1）解：设经过x小时A车追上B车，根据题意得：
85x－65x＝160，
解之得x＝8，
答：经过8小时A车追上B车；
（2）解：设经过a小时两车相距20千米，分两种情况：
①相遇前两车相距20千米，列方程为：
85a＋65a＋20＝160，
解之得a＝ 1415 ；  
②相遇后两车相距20千米，列方程为：
85a＋65a－20＝160 ，
解之得a＝1.2 ，
答：经过 1415 或1.2小时两车相距20千米.
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设经过x小时A车追上B车，根据A行驶的路程比B多160千米列出方程并解答；
（2）设经过a小时两车相距20千米.分两种情况进行讨论：①相遇前两车相距20千米；②遇后两车相距20千米.
19、今年11月14日，“行孝仗义，柿柿如意”2020年第三届孝义柿子文化节在兑镇镇产树原村隆重开幕．柿子是孝义市地理标志农产品，开发柿子产业是转型跨越发展致富的新路．某食品公司现有新鲜柿子10000公斤，计划将一部分柿子加工成柿饼进行销售，剩余的一部新鲜柿子直接售卖．若每4公斤新鲜柿子，可生产1公斤柿饼，新鲜柿子的售价格为2元/公斤，柿饼的售价格为20元/公斤． 若该公司售完这批柿子（包括新鲜柿子和柿饼）后，销售的总金额为44000元．求该公司将多少公斤的新鲜柿子用来加工柿饼？多少公斤新鲜柿子直接销售？

【答案】 解：设该公司将x公斤的新鲜柿子加工柿饼，则有 (10000-x) 公斤新鲜柿子直接售卖，
依题意，得 2×(10000-x)+20×x4=44000
20000-2x+5x=44000
∴3x=24000
∴x=8000
∴10000-x=10000-8000=2000
答：该公司将8000公斤的新鲜柿子用来加工柿饼，2000公斤新鲜柿子直接销售．
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设该公司将x公斤的新鲜柿子加工柿饼，则有 (10000-x) 公斤新鲜柿子直接售卖，根据题意列出方程2×(10000-x)+20×x4=44000求解即可。
20、下图是某月的月历，通过观察发现：
日
一
二
三
四
五
六


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


（1）在月历中，观察一个横列上相邻的三个数，如果三个数的和为63，则这三个数分别为       、      、      ；
（2）在月历中，观察一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为 a ，则另外两个数分别为      、      ；
（3）随手拿出一张月历，在上面任意圈出一个如图所示"2 × 2"的正方形，请问这4个数的和可能是112吗？如果可能，请你求出4个数分别是多少？如果不可能，请说明理由。
【答案】 （1）20；21；22
（2）a-7；a+7
（3）解：设这4个数分别是 x ， x+1 ， x+7 ， x+8
依题意得： x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=112
解得： x=24
∴这4个数分别是：24，25，31，32 
∵一个月最多有31天，不可能出现32号
∴这4个数字之和不可能是112．
【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，横列上相邻三个数和为63
则中间的数为63÷3=21
∴这三个数分别为：20；21；22
故答案为：20；21；22
（2）由题意可得：竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为 a ，则另外两个数分别为 a-7 、 a+7 ；
故答案为： a-7 、 a+7 ；
【分析】（1）根据横列上相邻的三个数依次大1，进行列式求解即可；
（2） 根据竖列上相邻的三个数依次大7进行列式即可；
（3） 可设这4个数分别是 x  ，  x+1  ，  x+7  ，  x+8 ，假设和等于112建立方程，解之并检验即可.