人教版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）(含答案解析)

人教版初中数学九年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

2.    关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

3.    抛物线过，，三点，则，，大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    )
   
    

A. 此抛物线的解析式是 B. 篮圈中心的坐标是
C. 此抛物线的顶点坐标是 D. 篮球出手时离地面的高度是

5.    抛物线与坐标轴的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在矩形 中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分，都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是(    )

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀”
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是
C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D. 用、、三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数

12. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为(    )
     

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是，则经过          后，，两点之间相距．
     
14. 已知二次函数的图象经过点，顶点为，将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为          ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是____．
16. 如图，四边形内接于，为的直径，点为弧的中点，若，则          ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知关于的方程有实数根．
    求的取值范围；
    设方程的两根分别是、，且，试求的值．
18. 本小题分
    随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东基站的数量约万座，计划到年底，全省基站数是目前的倍，到年底，全省基站数量将达到万座．
    计划到年底，全省基站的数量是多少万座？
    按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率．
19. 本小题分

抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，且平移后的抛物线经过点．

求平移后的抛物线的解析式；

设原抛物线与轴的交点为，顶点为，平移后的抛物线的对称轴与轴交于点，求的面积．

20. 本小题分
    已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．

求的值；

若点在抛物线上，且到轴的距离是，求点的坐标．

21. 本小题分

正方形的边长为，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．

求证：；

当时，求的长．

22. 本小题分
    如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
     

求证：≌；

若，，当四边形是菱形时，求的长．

23. 本小题分

如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且A.

求证：是的切线

若的半径为，，求的长．

24. 本小题分
    现有，两个不透明的袋子，袋的个小球分别标有数字，，，；袋的个小球分别标有数字，，每个袋中的小球除数字外，其它完全相同
    从，两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是______ ；
    甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从袋中随机摸出一个小球，乙从袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
25. 本小题分
    如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点．
    求证：；
    为的切线．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．  

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
化简得：，
时满足．
故选：．
由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【解答】
解：在二次函数中，对称轴，
在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
A.设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值；根据函数图象判断；根据函数图象判断；设这次跳投时，球出手处离地面，因为中求得，当时，即可求得结论．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线的函数关系式为．
篮圈中心在抛物线上，
将它的坐标代入上式，得  ，
，
故本选项正确；
B.由图示知，篮圈中心的坐标是，故本选项错误；
C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是，故本选项错误；
D.设这次跳投时，球出手处离地面，
因为中求得，
当时，
．
这次跳投时，球出手处离地面，故本选项错误．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，属于中档题．
先计算自变量为时对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；再把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
又由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
根据旋转的性质知．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：如图，作于，

是等边三角形，，
，．
在中，．

将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
当最小，即时，的周长最小，
最小值．
故选C．

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，

在矩形中，
，，，，分别与相切于，，三点，
，，
四边形和四边形是正方形，
，
，
是的切线，是的切线，是的切线，
，，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长，
设侧面展开图的圆心角的度数为．
，
解得，
圆锥的侧面展开图，如图所示：

最短路程为：，
故选D．
易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．
 

10.【答案】 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用频率估计概率，在大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在到之间波动，即：这个实验的概率大约为，分别计算四个选项的概率，大约为即为正确答案．
【解答】
解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是的概率为，故本选项符合题意．
C.一次掷两枚质地均匀的硬币，可能有：正正，反反，正反，反正四种情况，即出现两枚硬币都正面朝上的概率是，故本选项不符合题意；
D.由于用，，三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：，，，，，；且排出的数是偶数的有：，，，；
排出的数是偶数的概率为：，故本选项不符合题意．
故选B．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断与的关系，再由对称轴的位置可判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系，进而解答．
【解答】
解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
对称轴为，得，即，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，
，即故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：．  

13.【答案】或 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
设原来的抛物线解析式为：，利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【解答】
解：设原来的抛物线解析式为：．
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：．
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得舍去或，
所以平移后抛物线的解析式是：．
故答案是：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【解答】
解：是等腰直角三角形，，

，

，

将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，

再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，

每次循环一周，，，，，

，

点与同在一个象限内，

，，，

点

故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握半圆或直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，得到，，计算即可．
【解答】

解：连接，

点为弧的中点，
，
为的直径，
，
，
故答案为．

17.【答案】解：原方程有实数根，
，

；
，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又，
，
，
，
解之，得：经检验，都符合原分式方程的根，
，
． 

【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出的取值范围，此题难度不大．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出方程解答即可．
 

18.【答案】解：万座．
答：计划到年底，全省基站的数量是万座．
设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，舍去．
答：年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
年全省基站的数量目前广东基站的数量，即可求出结论；
设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据年底及年底全省基站数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
 

19.【答案】解：把代入，
得，
整理，得，解得．
故平移后的抛物线的解析式为．
由知，平移后的抛物线的解析式为，则．
抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，
平移前的抛物线的解析式为，
．
在中，令，得，
故B，
，．
，
为直角三角形，且，
． 

【解析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、勾股定理及其逆定理，函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
把点代入平移后的抛物线来求的值；
根据平移前、后的函数解析式，然后求出、、三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
 

20.【答案】解：抛物线的对称轴是轴，
，解得，；
又抛物线与轴有两个交点．
，
．
此时抛物线的关系式为，
因此的值为．
点在抛物线上，且到轴的距离是，
点的横坐标为或，
当时，
当时，．
或，
因此点的坐标为：或． 

【解析】根据抛物线的对称轴为轴，则，可求出的值，再根据抛物线与轴有两个交点，进而确定的值和抛物线的关系式；
由于对称轴为轴，点到轴的距离为，可以转化为点的横坐标为或，求相应的的值，确定点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
 

21.【答案】证明：绕点逆时针旋转得到，

，．

，．

．

在和中，

≌．

．

解：设，则．

在中，，，

．

解得．

．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：由旋转的性质得：≌，且，
，，，
，即，
在和中，

≌；
四边形是菱形，且，
，
由得：，
，
是直角边为的等腰直角三角形，
  ，即 ，
，
 ． 

【解析】

【分析】
此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
由旋转的性质得到三角形与三角形全等，以及，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用得到三角形与三角形全等即可；
根据，四边形是菱形，得到，再由，得到三角形为等腰直角三角形，求出的长，由求出的长即可．  

23.【答案】证明：连接，

是的直径，是上一点，
，则，
，，
，
，即，
是的切线
解：在中，，，，
，
． 

【解析】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及等腰三角形的性质．
连接，由是的直径可得出，即，由等腰三角形的性质结合，即可得出，即是的切线；
在中，由勾股定理可求出的长，进而可得出的长．
 

24.【答案】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有个，
两个小球上数字相同的概率是，
故答案为：；
这个规则对甲、乙两人是公平的．
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有种，
，
此游戏对双方是公平的 

【解析】

【分析】
本题考查的是游戏公平性以及列表法与画树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．  

25.【答案】证明：四边形是圆内接四边形，
，
平分，
，
，
，
，
；
如图，连接并延长交于，连接，，
，，
直线垂直平分，
，
，
，
是的半径，
为的切线． 

【解析】根据圆内接四边形得到，根据角平分线的定义得到，得到，于是得到；
如图，连接并延长交于，连接，，推出直线垂直平分，得到，证得，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．