初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程精练

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专题2.2 直接开平方法解一元二次方程-重难点题型
【浙教版】


【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】
【例1】（2020秋•环江县期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由x2﹣m＝0知m≥0，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式1-1】（2020秋•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1
C．m为任意实数 D．m＞0
【分析】根据非负数的性质可知（x﹣1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，由此求出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【变式1-2】（2020春•南岗区校级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　．
【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可．
【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解，
∴m+3＜0，
解得：m＜﹣3．
故答案为：m＜﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．
【变式1-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．
【分析】（1）利用非负数的性质得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可；
（2）先把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1中求出m，则方程化为（x﹣1）2＝1，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，
解得m≥14；
（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m=12，
∴方程化为（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，
∴方程的另一个根为0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【题型2 解形如x2=p(p≥0)的方程】
【例2】（2020秋•梁溪区校级期中）解方程：
（1）x2＝9；
（2）4x2﹣25＝0．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
则x2=254，
∴x1=52，x2=-52．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2020秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12
【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．
【解答】解：移项得：4x2＝13+12，
4x2＝25，
x2=254，
x=±254，
x1=52，x2=-52．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
【变式2-2】（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
【分析】先将方程移项、合并同类项得到16x2＝1，再两边同时除以16，得到x2=116，从而把问题转化为求116的平方根．
【解答】解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x，
移项、合并同类项，得16x2＝1，
两边同时除以16，得x2=116，
解得x＝±14．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
【变式2-3】（2020春•金山区期中）解关于x的方程：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．
【分析】采用直接开平方的方法解一元二次方程解答即可．
【解答】解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．
（1+a）x2＝2，
当a＜﹣1，无解，
当a＞﹣1，x=±21+a，
x1=2+2a1+a，x2=-2+2a1+a．
【点评】此题考查解一元二次方程，关键是直接开平方的方法解一元二次方程解答．
【题型3 解形如(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的方程】
【例3】（2021•广州校级期中）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，
∴（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝±3，
∴x＝2或﹣1
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式3-1】（2020春•蜀山区期中）解方程：12（y+2）2﹣6＝0
【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．
【解答】解：12（y+2）2﹣6＝0，
（y+2）2＝12，
y+2＝±23，
y1＝23-2，y2＝﹣23-2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
【变式3-2】（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．
【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）
即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），
解得：y1=32，y2=-14．
【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
【变式3-3】（2021秋•孝南区月考）解方程：4x2+12x+9＝81．
【分析】利用完全平方公式变形得到（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（2x+3）2＝81，
2x+3＝±9，
即2x+3＝9或2x+3＝﹣9，
所以x1＝3，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
【题型4 已知方程的根求字母的值】
【例4】（2020秋•武昌区校级期中）如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为　 　．
【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
∴方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
即这个方程的另一个根为x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式4-1】（2020秋•龙湖区期末）若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　 　．
【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0，
∴（2a﹣1）2﹣16＝0，
∴2a﹣1＝±4，
∴a1=52或a2=-32，
故答案为：52或-32．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式4-2】（2020秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2＝3的两根为12±123，其中a、m为两数，则a＝　 　，m＝　　．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵a（x﹣m）2＝3，
∴（x﹣m）2=3a，
则x﹣m＝±3a，
∴x＝m±3a，
根据题意知m=12，a＝4，
故答案为：4，12．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式4-3】（2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则ab=　 　．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m+1+2m﹣4＝0，
∴m＝1，
∴m+1＝2，
∴x2=ba=（m+1）2＝4，
∴ab=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【题型5 已知方程的解求另一个方程的解】
【例5】（2020秋•湖里区校级月考）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2
【分析】根据方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，可知方程a（x+m+2）2+b＝0的解比方程a（x+m）2+b＝0的解小2，从而可以得到方程a（x+m+2）2+b＝0的解．
【解答】解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解．
【变式5-1】（2021春•阜阳月考）若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
【分析】将方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0变形为a（x+m﹣1）2+b＝0，再结合关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1知方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，从而得出答案．
【解答】解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5-2】（2020秋•石家庄期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是　 　．
【分析】可把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，从而得到x+1＝﹣3，x+1＝2，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：把方程a（2x+m+1）2+b＝0看作关于2x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以2x+1＝﹣3，2x+1＝2，
所以x1＝﹣2，x2＝12．
故答案为x1＝﹣2，x2＝12．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于x的一元一次方程是解题的关键．
【变式5-3】（2020秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程4a(x+12m)2+b＝0的解是　 　．
【分析】根据题意可求出ba、m的值，然后代入方程4a(x+12m)2+b＝0即可求出答案．
【解答】解：∵a（x+m）2+b＝0的两解为x1＝3和x2＝7，
∴a(3+m)2+b=0a(7+m)2+b=0，
解得：m=-5ba=-4，
∵4a(x+12m)2+b＝0，
∴4（x+12m）2+ba=0，
∴4（x-52）2﹣4＝0，
∴x=72或x=32，
故答案为：x=72或x=32
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据题意求出ba、m的值，本题属于中等题型．
【题型6 直接开平方法解新定义问题】
【例6】（2020秋•钦州期末）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（　　）
A．x1=6，x2=-6 B．x1＝6，x2＝﹣6
C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝32，x2＝﹣32
【分析】先根据新定义得出y′＝3x2，再结合y′＝18知3x2＝18，据此利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵y＝x3，
∴y′＝3x2，
∵y′＝18，
∴3x2＝18，
则x2＝6，
∴x1=6，x2=-6，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式6-1】（2020秋•樊城区期末）实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　 　．
【分析】先判断出x2﹣1＜x2，从而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣1＜x2，
∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，
则x2＝2，
∴x=±2，
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+3b；当a＜b时，a*b＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42．
（1）x2*（x2﹣2）＝30，则x＝　 　；
（2）小明在计算（﹣3x2+6x﹣5）（﹣x2+2x+3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
【分析】（1）根据x2*（x2﹣2）＝30知x2+3（x2﹣2）＝30，解之可得答案；
（2）由（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0知﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，据此得（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣14，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵x2*（x2﹣2）＝30，
∴x2+3（x2﹣2）＝30，
解得x＝±3，
故答案为：±3．
（2）∵（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）
＝﹣2x2+4x﹣8
＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，
∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，
（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）
＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）
＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9
＝﹣14，
∵化简后的结果与x取值无关，
∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，
∴小华说小明计算错误．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式6-3】（2020秋•零陵区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x1＝﹣4+25，x2＝﹣4﹣25．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，
（x+5）2＝40+32．
直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，
故答案为：5、3、2、﹣12；

（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．
（x+2）2﹣42＝4，
（x+2）2＝4+42．
∴x＝﹣2±25，
∴x1＝﹣2+25，x2＝﹣2﹣25．