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【备战2023高考】数学总复习——第01讲《空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积》讲义（全国通用）
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这是一份【备战2023高考】数学总复习——第01讲《空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积》讲义（全国通用），文件包含第01讲《空间几何体的结构三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积》讲义解析版docx、第01讲《空间几何体的结构三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积》讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
本讲为高考命题热点，其中几何体的结构特征三视图直观图在前几年常以选择题固定出现，5分分值，结合几何体的体积与表面积，难度较小，但是对于单选题或填空题的压轴题，偶尔会出现外接球内切球问题，有一定难度，考察学生逻辑推理能力与运算求解能力，空间想象能力.
考点一 空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
考点二 直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
考点三 三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)画出的三视图要长对正，高平齐，宽相等.
考点四 空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.空间几何体的表面积与体积公式
考点五 方法技巧
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形.
2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
3.直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
4.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
5.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
6.正四面体的外接球的半径R＝eq \f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).
高频考点一 空间几何体的结构特征
【例1】（1）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 A
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
（2）以下四个命题中，真命题为( )
A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B.底面是矩形的平行六面体是长方体
C.直四棱柱是直平行六面体
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
答案 D
解析 A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确，根据棱台的定义，选项D是真命题.
（3）若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为( )
A.2，8 B.4，12
C.2，12 D.12，8
答案 A
解析 因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体.
【方法技巧】
1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
高频考点二 空间几何体与三视图
【例2】(1)(2020·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A.E
B.F
C.G
D.H
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A.2eq \r(17) B.2eq \r(5)
C.3 D.2
答案 (1)A (2)B
解析 (1)根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.
(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MN＝eq \r(MS2＋SN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
【方法技巧】
1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图要抓住关键几点：
(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
(4)要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图形成原理.
【跟踪训练】
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )
答案 C
解析 如图①所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.
2.(2022·邯郸检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为( )
A.2eq \r(2) B.2eq \r(5)
C.2eq \r(6) D.4eq \r(2)
答案 C
解析 由三视图知，该几何图是如图②所示的四棱锥A－BCC1B1.
易知AC1为最长棱，因此AC1＝eq \r(42＋22＋22)＝2eq \r(6).
高频考点三 空间几何体的直观图
【例3】已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq \r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
图(1) 图(2)
因为OE＝eq \r(（\r(2)）2－1)＝1，
由斜二测画法可知O′E′＝eq \f(1,2)，E′F＝eq \f(\r(2),4)，D′C′＝1，A′B′＝3，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq \f(1＋3,2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
【方法技巧】
1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
【变式训练】
1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.2＋eq \r(2) B.1＋eq \r(2)
C.4＋2eq \r(2) D.8＋4eq \r(2)
答案 D
解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示.
由于O′D′＝2，D′C′＝2，
∴OD＝4，DC＝2，
过D′作D′H⊥A′B′，易知A′H＝2sin 45°＝eq \r(2).
∴AB＝A′B′＝2A′H＋DC＝2eq \r(2)＋2.
故平面图形的面积S＝eq \f(DC＋AB,2)·AD＝4(eq \r(2)＋2).
2. (2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
答案 C
解析 如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝eq \r(h2－\f(a2,4))，
∴以PO的长为边长的正方形面积为h2－eq \f(a2,4)，
一个侧面三角形面积为eq \f(1,2)ah，
∴h2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0.则a＝(eq \r(5)－1)h，∴eq \f(h,a)＝eq \f(\r(5)＋1,4).
高频考点四 空间几何体的表面积与侧面积
【例4】 （1）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12eq \r(2)π B.12π
C.8eq \r(2)π D.10π
答案 B
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2eq \r(2).设圆柱的底面半径为r，则2r＝2eq \r(2)，得r＝eq \r(2).
所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝4π＋8π＝12π.
（2）(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )
A.6＋eq \r(3) B.6＋2eq \r(3)
C.12＋eq \r(3) D.12＋2eq \r(3)
答案 D
解析 由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，则表面积为S＝2S底＋S侧＝2×eq \f(\r(3),4)×22＋3×22＝2eq \r(3)＋12.故选D.
【方法技巧】
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
高频考点五 空间几何体的体积
【例5】 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
A.158 B.162
C.182 D.324
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为eq \r(2)的正方形，侧棱长均为eq \r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.
答案 (1)B (2)eq \f(π,4)
解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.
则底面面积S＝eq \f(2＋6,2)×3＋eq \f(4＋6,2)×3＝27.
因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.
(2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为eq \r(2)，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为eq \f(1,2).
又因为四棱锥的侧棱长均为eq \r(5)，所以四棱锥的高为eq \r(（\r(5)）2－12)＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(π,4).
【方法技巧】
1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半.
2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.
高频考点六 不规则几何体的体积
【例6】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝eq \f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.
则AG＝eq \r(AE2－EG2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2).
取AD的中点M，则MG＝eq \f(\r(2),2)，
所以S△AGD＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
【方法技巧】
1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.
2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
【变式训练】
(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(7,3) B.eq \f(14,3)
C.3 D.6
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.
由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，
三棱锥P－A′B′C′的高为1，
又S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1＝1，
所以该几何体体积V＝V三棱锥P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′
＝eq \f(1,3)×1×1＋1×2＝eq \f(7,3)(cm3).
高频考点七 多面体与球的切、接问题
【例7】(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
答案 eq \f(9,2)π
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝eq \f(3,2).
故球的最大体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9,2)π.
【迁移】 本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
【方法技巧】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【变式训练】
1.(2022·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2eq \r(2)，点D是PB的中点，且CD＝eq \r(7)，则球O的表面积为( )
A.eq \f(28π,3) B.eq \f(14π,3)
C.eq \f(28\r(21)π,27) D.eq \f(16π,3)
答案 A
解析 依题意，由PA＝AC＝2，CP＝2eq \r(2)，得AP⊥AC.
连接AD，由点D是PB的中点且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝eq \r(3)，
又CD＝eq \r(7)，AC＝2，可知AD⊥AC，
又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.
以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距离d＝eq \f(1,2)AC＝1.
由正弦定理得△PAB的外接圆半径r＝eq \f(PA,2sin 60°)＝eq \f(2,\r(3))，
所以球O的半径R＝eq \r(d2＋r2)＝eq \r(\f(7,3)).故球O的表面积S＝4πR2＝eq \f(28π,3).名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开
图
侧面
积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥 体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
本讲为高考命题热点，其中几何体的结构特征三视图直观图在前几年常以选择题固定出现，5分分值，结合几何体的体积与表面积，难度较小，但是对于单选题或填空题的压轴题，偶尔会出现外接球内切球问题，有一定难度，考察学生逻辑推理能力与运算求解能力，空间想象能力.
考点一 空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
考点二 直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
考点三 三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)画出的三视图要长对正，高平齐，宽相等.
考点四 空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.空间几何体的表面积与体积公式
考点五 方法技巧
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形.
2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
3.直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
4.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
5.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
6.正四面体的外接球的半径R＝eq \f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).
高频考点一 空间几何体的结构特征
【例1】（1）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 A
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
（2）以下四个命题中，真命题为( )
A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B.底面是矩形的平行六面体是长方体
C.直四棱柱是直平行六面体
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
答案 D
解析 A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确，根据棱台的定义，选项D是真命题.
（3）若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为( )
A.2，8 B.4，12
C.2，12 D.12，8
答案 A
解析 因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体.
【方法技巧】
1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
高频考点二 空间几何体与三视图
【例2】(1)(2020·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A.E
B.F
C.G
D.H
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A.2eq \r(17) B.2eq \r(5)
C.3 D.2
答案 (1)A (2)B
解析 (1)根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.
(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MN＝eq \r(MS2＋SN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
【方法技巧】
1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图要抓住关键几点：
(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
(4)要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图形成原理.
【跟踪训练】
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )
答案 C
解析 如图①所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.
2.(2022·邯郸检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为( )
A.2eq \r(2) B.2eq \r(5)
C.2eq \r(6) D.4eq \r(2)
答案 C
解析 由三视图知，该几何图是如图②所示的四棱锥A－BCC1B1.
易知AC1为最长棱，因此AC1＝eq \r(42＋22＋22)＝2eq \r(6).
高频考点三 空间几何体的直观图
【例3】已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq \r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
图(1) 图(2)
因为OE＝eq \r(（\r(2)）2－1)＝1，
由斜二测画法可知O′E′＝eq \f(1,2)，E′F＝eq \f(\r(2),4)，D′C′＝1，A′B′＝3，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq \f(1＋3,2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2).
【方法技巧】
1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形.
【变式训练】
1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.2＋eq \r(2) B.1＋eq \r(2)
C.4＋2eq \r(2) D.8＋4eq \r(2)
答案 D
解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示.
由于O′D′＝2，D′C′＝2，
∴OD＝4，DC＝2，
过D′作D′H⊥A′B′，易知A′H＝2sin 45°＝eq \r(2).
∴AB＝A′B′＝2A′H＋DC＝2eq \r(2)＋2.
故平面图形的面积S＝eq \f(DC＋AB,2)·AD＝4(eq \r(2)＋2).
2. (2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
答案 C
解析 如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝eq \r(h2－\f(a2,4))，
∴以PO的长为边长的正方形面积为h2－eq \f(a2,4)，
一个侧面三角形面积为eq \f(1,2)ah，
∴h2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0.则a＝(eq \r(5)－1)h，∴eq \f(h,a)＝eq \f(\r(5)＋1,4).
高频考点四 空间几何体的表面积与侧面积
【例4】 （1）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12eq \r(2)π B.12π
C.8eq \r(2)π D.10π
答案 B
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2eq \r(2).设圆柱的底面半径为r，则2r＝2eq \r(2)，得r＝eq \r(2).
所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝4π＋8π＝12π.
（2）(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )
A.6＋eq \r(3) B.6＋2eq \r(3)
C.12＋eq \r(3) D.12＋2eq \r(3)
答案 D
解析 由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，则表面积为S＝2S底＋S侧＝2×eq \f(\r(3),4)×22＋3×22＝2eq \r(3)＋12.故选D.
【方法技巧】
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
高频考点五 空间几何体的体积
【例5】 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
A.158 B.162
C.182 D.324
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为eq \r(2)的正方形，侧棱长均为eq \r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.
答案 (1)B (2)eq \f(π,4)
解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.
则底面面积S＝eq \f(2＋6,2)×3＋eq \f(4＋6,2)×3＝27.
因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.
(2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为eq \r(2)，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为eq \f(1,2).
又因为四棱锥的侧棱长均为eq \r(5)，所以四棱锥的高为eq \r(（\r(5)）2－12)＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(π,4).
【方法技巧】
1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半.
2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.
高频考点六 不规则几何体的体积
【例6】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
答案 eq \f(\r(2),3)
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝eq \f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.
则AG＝eq \r(AE2－EG2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2).
取AD的中点M，则MG＝eq \f(\r(2),2)，
所以S△AGD＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).
【方法技巧】
1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.
2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.
【变式训练】
(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(7,3) B.eq \f(14,3)
C.3 D.6
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.
由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，
三棱锥P－A′B′C′的高为1，
又S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1＝1，
所以该几何体体积V＝V三棱锥P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′
＝eq \f(1,3)×1×1＋1×2＝eq \f(7,3)(cm3).
高频考点七 多面体与球的切、接问题
【例7】(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
答案 eq \f(9,2)π
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝eq \f(3,2).
故球的最大体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9,2)π.
【迁移】 本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq \r(3)，
从而V外接球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(2eq \r(3))3＝32eq \r(3)π，
V内切球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).
【方法技巧】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
【变式训练】
1.(2022·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2eq \r(2)，点D是PB的中点，且CD＝eq \r(7)，则球O的表面积为( )
A.eq \f(28π,3) B.eq \f(14π,3)
C.eq \f(28\r(21)π,27) D.eq \f(16π,3)
答案 A
解析 依题意，由PA＝AC＝2，CP＝2eq \r(2)，得AP⊥AC.
连接AD，由点D是PB的中点且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝eq \r(3)，
又CD＝eq \r(7)，AC＝2，可知AD⊥AC，
又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.
以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距离d＝eq \f(1,2)AC＝1.
由正弦定理得△PAB的外接圆半径r＝eq \f(PA,2sin 60°)＝eq \f(2,\r(3))，
所以球O的半径R＝eq \r(d2＋r2)＝eq \r(\f(7,3)).故球O的表面积S＝4πR2＝eq \f(28π,3).名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开
图
侧面
积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥 体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
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