【备战2023高考】数学总复习——第01讲《数列的概念与简单表示法》讲义（全国通用）

第01讲   数列的概念与简单表示法

本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，

选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.

考点一 数列的定义与分类

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

考点二 数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

考点三 数列的通项公式与递推公式

1.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

2.数列的递推公式

如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

考点四 常用结论

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

高频考点一  由数列的递推关系求通项

角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an

【例1】在数列中，，，则（       ）．

A．659 B．661 C．663 D．665

【答案】D

【分析】由累加法和等差数列的前项和可求出，代入化简即可求出.

【详解】因为，所以，，…，

，所以，故．故选：D.

 角度2　累乘法——形如＝f(n)，求an

【例2】已知数列中，，，则满足的n的最大值为（       ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】根据数列的递推关系式，运用累乘法计算出数列的通项公式，再根据不等式求解n的最大值.

【详解】根据题意，

化简得，

运用累乘法计算得，

且，，符合该式，

时，

时，；时，

所以满足条件的n的最大值为5.故选：B.

角度3　构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an

【例3】已知数列满足，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可得，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，再根据的值求出可得答案.

【详解】由，可得，若，

则，与矛盾，

故，所以，

即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，

又

，所以.故选：A.

【方法技巧】

1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.

(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.

2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解.

【跟踪训练】

1．已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】令可得，又，解得，又，

则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.故选：B.

2．已知数列满足，对任意的都有，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用累加法可求得，代入即可求得.

【详解】由得：，

，，，…，，

各式作和得：，

，.故选：C.

3．已知，则（       ）

A．504 B．1008 C．2016 D．4032

【答案】D

【分析】根据数列的递推式，变形为，采用累乘法，求得答案.

【详解】由可得：，

故 ，故选：D.

4．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，有，设，可求得，从而有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，代入可求得.

【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，

所以，即，

设，则，所以，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以，故选：C.

5．数列满足，且，若，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，然后分析数列的单调性，可得结果.

【详解】因为，等式两边同时乘以可得，

所以，且，

所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，

因为.当时，；

当时，，即数列从第二项开始单调递减，

因为，，故当时，；当时，.

所以，，则的最小值为.故选：B.

 高频考点二  由an与Sn的关系求通项

【例4】(1)已知数列的前n项和满足且则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推公式，结合前n项和与通项的关系可得，再求解即可

【详解】由题意，故当时，，即.当时，恒成立，当时，，解得.

当时，，故，即， ，故，故当时，为常数列，故，故，即，又，故，故当时也成立，故.故，故

故选：C

(2)已知数列满足，且，则（       ）

A．1023 B．1535 C．1538 D．2047

【答案】B

【分析】根据的关系可得，进而可得从第二项起，成等比数列，公比为2，根据等比数列公式即可求解.

【详解】由得，进而可得：，当时，，故从第二项起，成等比数列，公比为2，故，

故选：B

 【方法技巧】

1.由Sn求an的步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1.

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.

(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.

2.Sn与an关系问题的解题思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，

(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式求解；(2)转化为只含an，an－1(n≥2)的关系式.

【变式训练】

1．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】B

【分析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.

【详解】，

由于是等比数列，所以，即.故选：B

2．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，即，

∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，

所以.故选：B.

 高频考点三   数列的性质

【例5】  (1)(2022·成都诊断)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝(n∈N*).则数列{an}前2 021项的乘积a1a2a3a4…a2 021＝________.

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为(　　)

A.－3   B.－5 

C.－6   D.－9

【答案】(1)2　(2)D

【解析】(1)由a1＝2得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，

显然该数列中的数从a5开始循环，周期是4.

因此a1a2a3a4＝1，且a2 021＝a1＝2.

故a1a2a3a4…a2 020a2 021＝(a1a2a3a4)505·a2 021＝2.

(2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，

Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，

设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，

因为Sm＝0，所以a1＝－am＝－2，

则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.

设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，

所以f(x)的极小值点为x＝，

因为n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，

所以f(n)min＝－9.即nSn的最小值为－9.

 【方法技巧】

1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.

2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用作差或作商法进行判断.

【变式训练】

1．已知数列是严格增数列，满足，，且.则n的最大值为（       ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.

【详解】∵ ，并且是严格增数列， ，

∵ ，

即 ，解得 ，

， ， ， ，

，即n的最大值为12；故选：C.

2．在等差数列中，，，则数列的通项公式为______．记数列的前项和为，若得对恒成立，则正整数的最小值为______．

【答案】          5

【分析】利用等差数列性质计算出公差，求出通项公式；设，再利用放缩法得到，从而求出的最大值，列出不等式，求出正整数的最小值.

【详解】由题设，得等差数列的公差，

∴．

可化为，

令，

则，

∴，

∴当时，取得最大值.

由，得，∴正整数的最小值为5．故答案为：，5