【备战2023高考】数学总复习——第02讲《一元函数的导数及其应用（二）》练习（全国通用）

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第02讲 一元函数的导数及其应用（二）

1．已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________.
【答案】
【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，，
对函数求导得，
则曲线在点处的切线斜率为，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
2．过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵，∴，
曲线在点处的切线斜率是，
∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即．
故选：A.
3．已知曲线与直线相切，则实数a的值为__________.
【答案】2
【解答】
解：设切点为，
由得，则由题意得，，解得，
故答案为：2
4．若曲线在处的切线方程为，则__________
【答案】
解：将代入，得切点为，①，又，
，②.联立①②解得：，，故.
故答案为：
5、过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________．
【答案】
【详解】由（），则，化简得，
则，设切点为，显然不在曲线上，
则，得，则切点坐标为.
故答案为：.

6．已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l（ ）
A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在
【答案】D
【解析】
试题分析：，依题意，在上有解.当时，在上无解，不符合题意；当时，符合题意，故.易知曲线在处的切线为.假设该直线与相切，设切点为，即有，消去化简得，分别画出的图像，观察可知它们交点横坐标，，这与矛盾，故不存在.
7．曲线与曲线有（ ）条公切线.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】设是曲线图像上任意一点，，所以，
所以过点的切线方程为，整理得①.
令，解得，则，所以曲线上过点的切线方程为：
，整理得②.由于切线①②重合，故，
即③.构造函数，则
，，故当时递减、当时递增，
注意到当时，且，
所以当时递减，当时，递增，
而，
根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点，
也即有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线和曲线有两条公切线.故选：B
8．已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据函数与函数互为反函数，将问题转化为求函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.
【详解】
因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，
因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：B.
9．设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.
【答案】10
【详解】
解：表示点与点距离的平方，
而点是直线上任一点，
点是反比例函数在第四象限上的点，
当是斜率为的直线与相切的切点时，
点到直线的距离即为的最小值，
由，
，
所以，
当且仅当取等号，
所以函数的最小值为10，
故答案为：10
10．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.
【答案】
【详解】
的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，可得，则.故答案为:


1．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
解:函数的导数,函数f(x)在x=1处的倾斜角为,
,,故选B.

2．曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.
【答案】
【详解】由函数，则，
设切点的坐标为，则斜率，
所以，解得，
当时，切点为，此时切线方程为；
当，切点为，不满足题意，
综上可得，切点为.故答案为：.
3．已知轴为曲线的切线，则的值为________.
【答案】
【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.

4．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，将代入得，故选D．
5．已知直线是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设切点为，∴切线方程是，
∴，故答案为：C
6．已知函数，当时，曲线在点与点处的切线总是平行时，则由点可作曲线的切线的条数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
详解：由，得，
曲线在点与点处的切线总是平行，
关于对称，
即，点，即为，
所以，，设切点为切线的方程为，
将点代入切线方程可得，化为，
设令得或，令得，
在上递增，在上递减，
在处有极大值，在处有极小值，且，
与有三个交点，方程有三个根，
即过的切线有条，故答案为.
7．若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
解：，设公切线与曲线相切的切点为，
则公共切线为，
即，其与相切，
联立消去得：，
则有解，
即有解，
令，，
则，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，所以实数的最小值为.
故选：A.
8．抛物线上的一动点到直线距离的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：对y=x2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d．解：（法一）对y=x2求导可得y′=2x，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.
9．已知，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
可看成点到点的距离，
而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线，
则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，
平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求，
设切点，，由得，切点为
则到直线距离.
故答案为：
10．已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】

，所以，，即与在有交点，
分情况讨论：
①直线过点，即，得；②直线与相切，设切点为，得，切点为，故实数a的取值范围是故选：B

11．关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【详解】
由题意作出与在的图象，如图所示：

∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.
∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，
，则，
斜率则
故选C.


1．（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
2．（2016·四川·高考真题（文））设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
【答案】A
【详解】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
3．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【解答】
（1）
，
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
（2）
（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，
故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，
则
，
当或时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：且，
此时，
设，则，
故为上的减函数，故，
故.
（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：，
因为，故，
又，
设，，则方程即为：
即为，
记
则为有三个不同的根，
设，，
要证：，即证，
即证：，
即证：，
即证：，
而且，
故，
故，
故即证：，
即证：
即证：，
记，则，
设，则即，
故在上为增函数，故，
所以，
记，
则，
所以在为增函数，故，
故即，
故原不等式得证：
4．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．
当时，．
5．（2017·山东·高考真题（理））已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【详解】
（Ⅰ）由题意
又，
所以，
因此   曲线在点处的切线方程为
，
即   .
（Ⅱ）由题意得     ，
因为

，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ；
(2)当时，
由 得 ，
①当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以 当时取得极大值.
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ；
②当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；
③当时，
所以 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 当时取得极大值，极大值是；
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是；
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是；
极小值是.
6．（2019·全国·高考真题（理））已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；
当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当时，，
因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.
设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，
当切线的斜率等于直线的斜率时，即，
切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
7．（2010·湖北·高考真题（文））设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b、c的值
（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）b=0，c=1, （Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
【详解】（1）∵f（x）x3x2+bx+c，
∴f（0）＝c，f′（x）＝x2﹣ax+b，f′（0）＝b；
又∵y＝f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y＝1，
∴f（0）＝1，f′（0）＝0．
∴b＝0，c＝1．
（2）∵b＝0，c＝1时，，f'（x）＝x2﹣ax．由于点（t，f（t））处的切线方程为
y﹣f（t）＝f'（t）（x﹣t），而点（0，2）在切线上，
∴2﹣f（t）＝f'（t）（﹣t），
化简得，即t满足的方程为．
下面用反证法证明．
假设f'（x1）＝f'（x2），由于曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：；
由③得x1+x2＝a，
由①﹣②得x1x2a2④；
又x1x2x1x2＝a2﹣x1（a﹣x1）ax1+a2a2a2
∴由④得x1，此时x2，这与x1≠x2矛盾，∴f′（x1）≠f′（x2）．
（3）由（2）知，过点（0，2）可作y＝f（x）的三条切线，
等价于方程2﹣f（t）＝f'（t）（0﹣t）有三个相异的实根，
即等价于方程有三个相异的实根；
设g（t）t3t2+1，
∴g′（t）＝2t2﹣at＝2t（t）；
∵a＞0，∴有
t
（﹣∞，0）
0



g'（t）
+
0
﹣
0
+
g（t）
↗
极大值1
↘
极小值
↗

由g（t）的单调性知：要使g（t）＝0有三个相异的实根，当且仅当0，
即．
∴a的取值范围是．
8．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）

（1）试求与的关系（）
（2）求
【答案】（1）
（2）
【详解】
（1）设点的坐标是，∵，∴，
∴，在点处的切线方程是，
令，则（）．
（2）∵，，∴，
∴，于是有

，
即．
9．（2015·天津·高考真题（理））已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
【答案】（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析.
【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：


























所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得
，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得.
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，
，即对任意，
设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.
由此可得.
因为，所以，故，
所以.
10．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】         
【详解】解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；