【备战2023高考】数学专题讲与练-考向24《平面向量的基本定理及坐标表示》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向24 平面向量的基本定理及坐标表示

【2022·全国·高考真题（文）】已知向量，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
【2021·全国·高考真题（理）】已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】,
，解得,
故答案为：.

1．应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．
4．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．

向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为（），然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．


1．平面向量基本定理和性质
（1）共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
（3）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
D
A
C
B

（4）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
（5）中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B

2．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
3．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，


1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
所以，
得．
故选：A
2．（2022·上海静安·二模）设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（       ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出，
比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
3．（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（       ）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
【答案】A
【解析】当时，，
所以，
所以，
因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确；
当时，，即，所以∥，
因为，有公共点，所以三点共线，
这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在，
（2）为真命题.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，点D在边AB上，．记，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
5．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，
所以为三角形的重心，所以.
故选：B.

6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为，所以，
所以.
故选：C.


1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，
故选：D．
2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量，，，
所以，，
所以 .
故选：C.
3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）


A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以
，所以.
故选：B.
5．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（       ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【解析】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
6．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，
所以可设，
因为E，F分别为的中点，
所以，
所以，又，
所以，，，，
所以A，B，D错误，C正确，
故选：C.
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（       ）


A．当时与距离为
B．点关于原点的对称点为
C．向量与平行的充要条件是
D．点到直线的距离为
【答案】D
【解析】设轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，
对于A选项：由已知得，所以.
由及斜坐标的定义可知，
，
故A选项正确；
对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点，则，设关于原点的对称点为，则，
由于不共线，所以，
故B选项正确；
对于C选项：，
若是零向量，则成立，同时，所以成立，
此时；
若是非零向量，则存在非零常数，使，所以.
故C选项正确；
对于D选项：设直线上的动点为,，
因为，所以，
设，则点在直线上，
所以直线过点，
因为，则，
，
由于，所以.
所以，所以，
所以点A到直线的距离为，
故D选项错误.
故选：D

8．（2022·河南郑州·三模（理））在中，是上一点，，是线段上一点，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得.
故选：D.
9．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（       ）
A． B．
C．∥ D．
【答案】BC
【解析】因为，则三点共线，且，
又因为为中线，所以点为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，
所以，
所以∥
故选：BC．

10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，则，
因为，所以，则或或，故A不正确；
对于B，若，则，则，
因为，所以，所以或，
所以或，故B正确；
对于C，，则
，故C正确；
对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（       ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.
对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.
故选：ABC.
12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为7 D．若，则与的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】解： 若，则，解得，故选项A正确；
若，则，解得或，故选项B错误；
由题得，故，当且仅当时取得最小值，故选项C正确；
当时，，与的夹角不为钝角，故选项D错误．
故选：AC．
13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（       ）
A．若，则
B．若向量在向量上的投影向量是，则
C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是
D．若，则的值为
【答案】AC
【解析】对于A，若，则为中点，


，A正确；
对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，
则向量在上的投影向量为，，B错误；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，


则，，设，，，
，C正确；
对于D，由题意知：，，，


设，，，
，解得：，，，
，即，D错误.
故选：AC.
14．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
【答案】【解析】如图，结合题意绘出图象，

因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
【答案】
【解析】由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故答案为：
16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，E、F是边，上的点，，，若，则平行四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】如图，

，，
所以，
即，解得或（舍去），
所以平行四边形的面积为.
故答案为：．
17．（2022·江西·模拟预测（理））在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是________
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得，
设P的坐标为，所以，，，又，
所以，所以，，所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：

18．（2022·湖南岳阳·三模）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范围为________．

【答案】[1，2]
【解析】建立如图所示的直角坐标系，

，设，
所以，因此有，
因为，，
所以有，
于是有，
因为，所以，所以，
即，
故答案为：
19．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【解析】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以
，
即，解得或
所以实数的值为或.
故答案为：或.
20．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知，向量，，且，则θ＝______________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以， ．
故答案为：.



1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
2．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
3．（2019·全国·高考真题（文））已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【解析】由已知，，
所以，
故选A
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】,
，解得,
故答案为：.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
6．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴.
故答案为：.
7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】或0
【解析】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
9．（2020·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
10．（2020·全国·高考真题（文））设向量，若，则______________.
【答案】5
【解析】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
11．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
12．（2019·北京·高考真题（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.
【答案】8.
【解析】向量
则.