【备战2023高考】数学专题讲与练-考向13《函数的零点及函数的应用》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向13 函数的零点及函数的应用

【2022·北京·高考真题】若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】     1    
【解析】
【分析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可．
【详解】
∵，∴
∴

故答案为：1，
【2021·北京·高考真题】已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误．
【详解】
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确．

故答案为：①②④．
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．


1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
4．解决函数应用问题的步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义．


判断函数零点个数的方法：
（1）利用零点存在性定理判断法；
（2）代数法：求方程的实数根；
（3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．

一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点．
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根．


1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数是方程的一个解，是方程的一个解，则可以是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数在区间上的所有零点之和为（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东惠州·二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．0


1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（       ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海浦东新·二模）已知，，，实数满足，设，，现有如下两个结论：
①对于任意的实数，存在实数，使得；
②存在实数，对于任意的，都有；
则（       ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
5．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）定义在R上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个5零点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，都有．现已知，那么（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数，在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
10．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有三个实数根，且，则等于（       ）
A． B． C． D．
11．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
12．（2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
13．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（       ）
A． B．
C． D．
14．（2022·全国·模拟预测）已知函数以下结论正确的是（       ）
A．在区间[7,9]上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，则
D．若方程恰有3个实根，则
15．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则正确的是（       ）
A．函数图像关于直线对称 B．函数的周期为6
C． D．和的图像所有交点横坐标之和等于8
16．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．
17．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
18．（2022·上海黄浦·二模）对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为____________．
19．（2022·上海松江·二模）已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为_______．
20．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数，若，且，则的取值范围是______．
21．（2022·广东·模拟预测）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________．

1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
3．（2020·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
4．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（       ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
6．（2019·全国·高考真题（文））函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
8．（2019·全国·高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
9．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
10．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
11．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
12．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.



1．【答案】C
【解析】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，
故选：C
2．【答案】B
【解析】解：依题意，，
即，，所以，
即或，
所以或；
故选：B
3．【答案】C
【解析】解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，

它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．


1．【答案】D
【解析】解：由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
2．【答案】D
【解析】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
3．【答案】D
【解析】由得，令，
由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：

即函数的最大值为，
令，则，
由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，
当时，，则另一根，不满足题意，
当时，a＝0，则另一根，不满足题意，
当时，由二次函数的图像可知，
解得，
则实数的取值范围是，
故选：D.
4．【答案】C
【解析】对①，的几何意义为与两点间的斜率，同理的几何意义为与两点间的斜率.
数形结合可得，当时，存在；当时，存在，使得，即成立.

即对于任意的实数，存在实数，使得，故①正确；
对②，若存在实数，对于任意的，都有，即，即，即.即存在实数，对于任意的，恒成立.设，则，即为减函数.故原题意可转化为：存在实数，使得在上为减函数.因为当时，，因为对称轴为，故当时一定为增函数，故不存在实数，使得在上为减函数.故②错误
故选：C
5．【答案】C
【解析】由题设关于y轴对称，即为偶函数，
又，则，即是周期为4的函数，
若，则，故，
所以且，又过定点，
所以与的部分图象如下图示：

当过时，；
当过时，；
由图知：时，和直线有5个交点.
故选：C
6．【答案】D
【解析】由题意知，
函数为偶函数，且，
令，则，
所以函数是以4为周期的函数.
当时，，
所以，即当时，
因为函数在上有5个零点，
所以方程在上有5个根，
即函数图像与在上有5个不同的交点，如图，

由图可知，且，即，
解得，
又当时，函数图像与在上有4个不同的交点，
不符合题意，故m的取值范围为.
故选：D.
7．【答案】A
【解析】（1）当a<0时，，
令，得，或（舍去），
令，得，令，得，
若函数有三个零点，则，无解，即不可能有三个零点；
（2）当a=0时，，由（1）知有，或，三个零点，满足题意；
（3）当a>0时，，
当时有一个零点，是函数的一个零点，所以当时函数只有一个零点，
令，得，或（舍去），
令，得，即不论a取大于0的何值，是函数的一个零点，
故有三个零点，
综上，实数a的取值范围是
故选: A
8．【答案】D
【解析】不妨设，则，所以，得，，
因为，所以．令，易得在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理知：.
故选：D．
9．【答案】C
【解析】依题意，，则，即，而，解得，
因此，，由得：，又，有，
因在上只有一个零点，于是得，解得，
所以的最大值为2.
故选：C
10．【答案】A
【解析】，由题知，且，
解得，于是．
方程在区间内的实数根，即为在区间内的图象与直线的交点的横坐标，如图所示，

由图象的对称性可知，，即，，所以，
故选：A．
11．【答案】A
【解析】，则是函数的一个零点
由，解得
要使得有两个不同的零点，则
故选：A
12．【答案】B
【解析】解：作出函数的图象如图：

依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
13．【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.

故选：D
14．【答案】BC
【解析】A：由题意,当时以3为周期的函数，故在[7,9]上的单调性与在[-2,0]上的单调性相同，而当时，
∴在[-2,0]上不单调，错误；
B：，，故，正确；
C：作出的函数图象如图所示：

由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，不妨设，i＝1，2，3，4，5，
由图象知:，关于直线对称，，关于直线对称，，关于直线对称，
∴，正确；
D：若直线经过(3,0)，则，
若直线与相切，则消元可得：，
令可得，解得k＝-1或k＝-5（舍），
若直线与在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k＝1．
因为恰有3个实根，故直线与有3个交点，
∴或k＝1，错误，
故选：BC．
15．【答案】AD
【解析】，函数图像关于直线对称，故A正确；
又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误；
做出与的图像，如下：

由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确.
故选：AD.
16．【答案】     2    
【解析】解：当时，，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，函数有2个零点；
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，当时，，
令，则，
如图，分别作出函数和的图象，
由图可知，函数的最大值为，
即的值域为.
故答案为：2；.

17．【答案】
【解析】方程在（0，2]上恰有三个根，
即直线与函数的图像有三个交点，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：


由于直线l；过定点A（0，）.如图连接A，B（1，0）两点作直线，过点A作的切线l2，
设切点P（，），其中，则斜率
切线过点A（0，）.
则，即，则，
当直线绕点A（0，）在与之间旋转时.
直线与函数在[-1，2]上的图像有三个交点，故
故答案为：
18．【答案】
【解析】由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都成立，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象.

故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间区间，…，上的公切线之间.故与在区间，…上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个
故答案为：
19．【答案】506
【解析】因为，所以的图像关于对称
又是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称，
所以是周期为8的周期函数
分别作出在上的图像，共2个交点；
又刚好为的252个周期，易知在每个周期内有两个交点，
在上共有504个交点，
综上，共有506个交点，即方程实根的个数为506.
故答案为：506

20．【答案】
【解析】的图象如图，

因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
21．【答案】
【解析】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，

故，
故，
所以．
故答案为：.



1．【答案】A
【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
               

【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
3．【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4．【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5．【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
6．【答案】B
【解析】
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
7．【答案】C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

8．【答案】D
【解析】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
9．【答案】     130.     15.
【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
10．【答案】     1    
【解析】∵，∴
∴

故答案为：1，
11．【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.
12．【答案】.
【解析】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
   
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.