2021学年2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第1课时学案及答案

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时  二次函数与一元二次方程、不等式

【学习目标】  

【自主学习】

一．一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有    未知数，并且未知数的最高次数是  的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是         或            ，其中a，b，c均为常数，a≠0.

二．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的       叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．

(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

解读：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)

2.不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)

A.　　　B．     C．∅       D．R

3.若有意义，则实数x的取值范围为________．

【经典例题】

题型一  不含参数的一元二次不等式的解法

点拨：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；

(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；

(3)有根求根；

(4)根据图象写出不等式的解集.

例1 解下列不等式：

(1)－x2＋7x>6；                             (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)。

【跟踪训练】1  解下列不等式

(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；

(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.

题型二 一元二次不等式解法的逆向问题（已知解集求参数）

点拨：

已知以a，b，c为参数的不等式，如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：

(1)根据解集来判断二次项系数的符号；

(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；

(3)约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．

点拨：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．

【跟踪训练】2 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

题型三 含参数的一元二次不等式的解法

点拨：解含参数的一元二次不等式时

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

例3 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．

点拨：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．

【跟踪训练】3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

【当堂达标】

1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)

A.1个      B.2个      C.3个  D.4个

2.若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　)

A.a＝6，c＝1  B.a＝－6，c＝－1

C.a＝1，c＝6  D.a＝－1，c＝－6

3.已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　)

A．{x|－4<x<3}                    B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2}                    D．{x|2<x<3}

4. (多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是(  )

A．b＜0且c＞0                   B．a－b＋c＞0

C．a＋b＋c＞0                    D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}

5.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．

6.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．

【课堂小结】

1.解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).

2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．

3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.

【参考答案】

【自主学习】

一．    一个 2  ax2＋bx＋c>0  ax2＋bx＋c<0 

二．    实数x

三．{x|x＜x1或x＞x2}  {x|x1＜x＜x2}  ∅   R   ∅

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.D 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.

3. x≥3或x≤－4 解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，∴(x－3)(x＋4)≥0，∴x≥3或x≤－4.

【经典例题】

例1 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.

解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．

(2)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.

∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.

解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.

【跟踪训练】1 解：(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，

∴不等式2x2－3x－2>0的解集为

.

(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，

∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.

(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，

由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，

∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.

(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，

由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，

∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.

例2解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，

∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．

由韦达定理有得

代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.

由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x<或x>1.

∴bx2＋ax＋1>0的解集为.

【跟踪训练】2 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.

又×2＝＜0，则c＞0.

又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－＝，∴＝－.

又＝－，∴b＝－a，c＝－a，

∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为x2＋x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集为.

例3 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.

①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；

②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；

③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．

综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}．

【跟踪训练】3 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.

②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.

③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.

若a＝1，即＝1时，不等式无解；

若a>1，即<1时，解得<x<1；

若0<a<1，即>1时，解得1<x<.

综上，当a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；

当0<a<1时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为.

【当堂达标】

1.B 解析：②④一定是一元二次不等式.

2.B 解析：易知a＜0，且⇒  

3.C 解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}，选C.

4.ABD 解析：对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；

令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B正确；

对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；

对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，

所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．

5. {x|x<－a或x>1} 解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，

方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，

∵a>－1，

∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．

6.解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，

化简为(x＋1)(ax－2)≥0.

∵a<0，∴(x＋1)≤0.

当－2<a<0时，≤x≤－1；

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤.

综上所述，

当－2<a<0时，解集为；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为.