初中数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理综合与测试一课一练

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题18.4勾股定理与弦图问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是　　

A．10 B．8 C．7 D．5

【分析】根据勾股定理解答即可．

【解析】设大正方形的边长为，则，小正方形的面积，

，

解得：，

故选：．

2．（2021春•海珠区月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③

【分析】由题意知，①②可得记为③，①③得到由此即可判断．

【解析】由题意知，

由①②得③，

，

①③得，

，

．

结论①②③正确，④错误．

故选：．

3．（2017•襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．

【解析】如图所示：

，

，

大正方形的面积为13，

，

，

小正方形的面积为．

故选：．

4．（2021春•朝阳区校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是　　

A．6 B．7 C．12 D．15

【分析】设直角三角形两条直角边长分别为和，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，，再根据完全平方公式求出的值，进而可得一个直角三角形的周长．

【解析】设直角三角形两条直角边长分别为和，

由题意可知：中间小正方形的边长为：，

根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：

，

所以，

根据勾股定理，得，

所以，

因为，

所以，

所以．

所以一个直角三角形的周长是12．

故选：．

5．（2021•婺城区校级模拟）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则的值为　　

A．60 B．79 C．84 D．90

【分析】根据图形表示出小正方形的边长为，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．

【解析】由图可知，，

，

，

．

故选：．

6．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，则的值为　　

A．25 B．19 C．13 D．169

【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．

【解析】由条件可得：，

解之得：．

所以，

故选：．

7．（2020秋•姑苏区期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边长，请观察图案，下列关系式中不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理得出方程组，进而解答即可．

【解析】根据勾股定理可得：①，②，

①②可得③，

，，

①③得，

，

选项、、不符合题意，选项符合题意，

故选：．

8．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是　　

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】由勾股定理得，由小正方形面积是1，得出，即可得出结果．

【解析】直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，大正方形面积是9，

，

小正方形面积是1，

，

，

，

，

故选：．

9．（2021春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于　　

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得，，再由正方形的性质即可得出答案．

【解析】、、和是四个全等的直角三角形，

，，

在中，

，

，

四边形是正方形，

，

故选：．

10．（2021春•铁锋区期末）“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为　　

A． B． C． D．

【分析】确定小正方形的面积在大正方形中占的比例即可．

【解析】直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长为，

，

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2018秋•永春县校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为 　　．

【分析】观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．

【解析】如图所示：

，

，

大正方形的面积为57，

，

小正方形的面积为，

故小正方形的边长为．

故答案为：．

12．（2019秋•延庆区期末）用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形和一个小正方形，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若，，则小正方形的面积为　4　．

【分析】观察图形可知，小正方形的边长长直角边短直角边，由勾股定理可得的长，从而得结论．

【解析】中，，，

由勾股定理得：，

，

小正方形的面积，

故答案为：4．

13．（2020春•阳西县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，若，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为　5　．

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．

【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，

每一个直角三角形的面积为：，

大正方形的面积为：，

大正方形的边长为5．

故答案为：5．

14．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形．已知为较长直角边，，则正方形的面积为　98　．

【分析】设．．则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．

【解析】设．．则正方形的面积，

由题意可知，

，

，

，

正方形的面积为2，

，

正方形的面积，

故答案为：98．

15．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么　4　．

【分析】在直角三角形中，利用勾股定理进行解答即可．

【解析】，

，

四边形都是正方形，

在直角三角形中，由勾股定理得到：．

，

故答案为：4．

16．（2019秋•九龙坡区校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是　　．

【分析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．

【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，

则

所以

所以风车的外围周长为．

故答案为．

17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的有　①③④　．（只填序号）

【分析】大正方形的面积是10，则其边长是，显然，利用勾股定理可得①；

小正方形的面积是2，则其边长是，根据图可发现，即③；

还可以得出四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得②；

其中④，故成立．

【解析】①大正方形的面积是10，则其边长是，显然，利用勾股定理可得，故选项①正确；

③小正方形的面积是2，则其边长是，根据图可发现，即③，故选项③正确；

②根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得②，故选项②错误；

④，则，故此选项正确．

故答案为：①③④．

18．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形的面积为　4　．

【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形的边长，再根据正方形面积公式即可求解．

【解析】，

．

故图2中小正方形的面积为4．

故答案为：4．

三．解答题（共6小题）

19．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．

【分析】由面积的和差关系可求解．

【解答】证明：，

，

．

20．（2020秋•溧阳市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：

已知：如图，四边形中，，于点，且．求证：．

【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．

【解析】连接，

，

，，，，

，

，

，

，

又，

，

，

，即．

21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：

证明：连接，过点作边上的高，交的延长线于点，

则四边形为长方形，所以　　．（用含字母的代数式表示）

因为　　　　；

　　　　；

所以 　　　　；

所以 　　．

【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．

【解答】证明：连接，过点作边上的高，交的延长线于点，

则四边形为长方形，所以．（用含字母的代数式表示）

因为；

；

所以；

所以．

故答案为：；；；；；；；．

22．（2018秋•伊川县期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：．

【分析】连接，过点作边上的高，根据即可求解．

【解答】证明：连接，过点作边上的高，则．

．

又

．

23．（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

【分析】用两种方法表示梯形的面积即可解决问题．

【解答】证明：用两种方法求梯形的面积：

，

，

，

化简得．

24．（2020秋•寿阳县期中）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

【实践操作】（1）请叙述勾股定理；

（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）

【探索发现】（1）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有　3　个；

（2）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由．

【分析】【实践操作】（1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．

（2）在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：．

【探索发现】（1）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个；

（2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：．

【解析】【实践操作】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．

（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．

（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

即，

化简得：．

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

即，

化简得：．

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．

即，

化简得：．

【探索发现】（1）三个图形中面积关系满足的有3个；

故答案为3；

（2）结论：．

，

，

．

．