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初中数学沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课时训练
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这是一份初中数学沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课时训练，文件包含专题2110二次函数的应用销售问题重难点培优解析版docx、专题2110二次函数的应用销售问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019•杭州模拟）某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入＝每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
当x=-b2a=1000400=2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2或3时，y＝11200；
∴每张床位提高40元或60元．
故选：A．
2．（2020秋•沂水县期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
3．（2020秋•高邑县期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
4．（2019•佳木斯模拟）西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元B．20元C．10元或20元D．15元
【分析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据每日的总利润＝每件商品的利润×每日的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合40﹣x≥25即可确定x的值．
【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
故选：A．
5．（2019秋•青龙县期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
6．（2020•武汉模拟）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）
A．180B．220C．190D．200
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解析】设y＝kx+b，由图象可知，20k+b=2030k+b=0，
解之，得：k=-2b=60，
∴y＝﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=-80-2×2=20时，p最大值＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
7．（2019秋•昭平县期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
8.（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y=14x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解析】设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（14x﹣42）]﹣5000
=-14x2+129x﹣8416
=-14（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y=14×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
9．（2019春•天心区校级月考）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【分析】设降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得结果．
【解析】设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
10．（2020•海淀区校级一模）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【解析】∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•福田区校级月考）已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 6 元时，每天的总利润达到最大．
【分析】直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．
【解析】设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
12．（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 70 元．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．
【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
13．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为 360 元时，宾馆利润最大，最大利润是 10240 元．
【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
14．（2020秋•如皋市期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，则每天可获得的最大利润为 2500 元．
【分析】设每天可获得的利润为y元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设每天可获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝150时，y取得最大值2500，即最大利润为2500元．
故答案为：2500．
15．（2020•岳麓区校级模拟）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的最大整数值为 5 ．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】设未来30天每天获得的利润为y，
y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，
化简，得：y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴260-4a2×(-4)＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6，
∴a的最大整数为5，
故答案为：5．
16．（2020秋•岫岩县期中）某商店将进货价为70元/个的商品按零售价100元/个出售时，每天能卖出20个，若零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 5 元．
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
【解析】设应降价x元，
则（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故答案为：5．
17．（2020•岳麓区校级模拟）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的最大整数值为 5 ．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】设未来30天每天获得的利润为y，
y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，
化简，得：y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴260-4a2×(-4)＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6，
∴a的最大整数为5，
故答案为：5．
18．（2019秋•西城区校级期中）某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式 y＝﹣2x+200 ；
（2）当售价是 70 元/件时，周销售利润最大．
【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
【解析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
50k+b=10060k+b=80，解得k=-2b=200
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
故答案为y＝﹣2x+200．
（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大．
故答案为70．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•南海区模拟）某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第x天销售的相关数据可近似地用如表中的函数表示：
（1）求第10天获得的利润是多少？
（2）求第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以先计算出第10天的销售单价和销售量，然后根据利润＝售价﹣成本，进行计算即可；
（2）根据题意和表格中的数据，利用分类讨论的方法和二次函数的性质，可以求得第几天获得的利润最大，最大利润是多少．
【解析】（1）由表格可得，
第10天的销售量为50﹣10＝40（件），销售单价为：30+102=35（元），
（35﹣20）×40
＝15×40
＝600（元），
答：第10天获得的利润是600元；
（2）设利润为w元，
当1≤x≤20时，w＝（30+x2-20）（50﹣x）=-12（x﹣15）2+12252，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w=12252=612.5，
当21≤x≤40时，w＝（40﹣20）（50﹣x）＝﹣20x+1000，
∴当x＝21时，w取得最大值，此时w＝580，
由上可得，第15天获得的利润最大，最大利润是612.5元，
答：第15天获得的利润最大，最大利润是612.5元．
20．（2021•武汉模拟）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”；某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；
（2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
②根据题意，可以得到差价利润和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围．
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
12k+b=120013k+b=1100，
解得k=-100b=2400，
即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；
（2）①设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵12≤x＜24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②线下月利润与线上月利润的差为W元，
W＝（x﹣10）（﹣100x+2400）﹣（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣15）2+3300，
令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300，
解得x1＝10，x2＝20，
∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，
又∵12≤x＜24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．
21．（2021•黑山县一模）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是 购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本 ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过15本但不超过25本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图，则图中线段AB所表示的实际意义是购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；
（2）分段写出函数关系式：①当0＜x≤15时，y＝5；②当15＜x≤25时，设＝kx+b，由待定系数法求解即可；③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4；
（3）由利润W等于每本的利润乘以销售量，可得W关于x的二次函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）意义是：购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本．
故答案为：购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；
（2）①当0＜x≤15时，y与x之间的函数关系式y＝5，
②当15＜x≤25时，设＝kx+b根据题意得5=10k+b4=20k+b，
解得k=-0.1b=6．
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣0.1x+6．
③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4．
综上，y与x之间的函数关系式为：y=5(0＜x≤15)-0.1x+6(15＜x≤15)4(x＞25)；
（3）由题意得：
W＝（﹣0.1x+6﹣3）x
＝﹣0.1×（x﹣15）2+22.5，
当x＝15时，W有最大值22.5．
∴当小明购买15本时，该文具批发部所获的利润最大，最大利润是22.5元．
22．（2021•硚口区模拟）某旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元
（1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天，求m、n的值．
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，可以得到利润W和乙种房间数量的函数关系，从而可以解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
15m+20n=850010m+10n=5000，
解得m=300n=200，
答：m、n的值分别为300、200；
（2）设乙种风格客房每间房间定价为x元，
由题意可得，W＝（x﹣80）（20-x-20020×2）＝﹣0.1（x﹣240）2+2560，
∴当x＝240时，W取得最大值，此时W＝2560，
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是2560元．
23．（2021•东西湖区模拟）某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案A：若单独投资燃油汽车时，则所获利润w1（千万元）与投资金额x （千万元）之间存在正比例函数关系例w1＝kx，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案B：若单独投资新能源汽车时，则所获利润w2（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在二次函数关系：w2＝ax2+bx，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，先表示出此时w2关于x的函数关系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，求解即可．
【解析】（1）由题意可得，当x＝2时，w1＝0.8，代入w1＝kx得，
0.8＝2k，
解得k＝0.4，
∴正比例函数的表达式为w1＝0.4x．
当x＝1时，w2＝1.4；当x＝3时，w2＝3，代入w2＝ax2+bx，
得：a+b=1.49a+3b=3，
∴a=-0.2b=1.6，
∴二次函数表达式为w2＝﹣0.2x2+1.6x；
（2）根据题意得：w1+w2＝5，
∴0.4x+（﹣0.2x2+1.6x）＝5，
∴﹣0.2x2+2x﹣5＝0，
解得：x1＝x2＝5．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，
则w2＝﹣0.2（2x）2+1.6×2x＝﹣0.8x2+3.2x，
根据题意得：w1+w2≥3x×60%，
∴0.4x+（﹣0.8x2+3.2x）≥3x×60%，
∴﹣0.8x2+3.6x≥1.8x，
∴0≤x≤2.25；
∵获得总利润为不低于4千万元，
∴﹣0.8x2+3.6x﹣4≥0，
∴2≤x≤2.5．
综上所述，x的取值范围是2≤x≤2.5．
24．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．
（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；
（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？
【分析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，根据购买的两种设备数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每盒口罩可涨价m元购进A口罩m个，根据每天销售口罩盈利6000元，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有
360x=480140-x，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝140﹣60＝80．
答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；
（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有
（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，
解得m1＝5，m2＝10（舍去）．
故每盒口罩可涨价5元．
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
销售量
销售单价
50﹣x
当1≤x≤20，单价为30+x2
当21≤x≤40时，单价为40
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019•杭州模拟）某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入＝每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
当x=-b2a=1000400=2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2或3时，y＝11200；
∴每张床位提高40元或60元．
故选：A．
2．（2020秋•沂水县期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
3．（2020秋•高邑县期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
4．（2019•佳木斯模拟）西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润为1200元，每件商品降价（ ）
A．10元B．20元C．10元或20元D．15元
【分析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据每日的总利润＝每件商品的利润×每日的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合40﹣x≥25即可确定x的值．
【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
故选：A．
5．（2019秋•青龙县期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元B．160元C．170元D．180元
【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
6．（2020•武汉模拟）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）
A．180B．220C．190D．200
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解析】设y＝kx+b，由图象可知，20k+b=2030k+b=0，
解之，得：k=-2b=60，
∴y＝﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=-80-2×2=20时，p最大值＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
7．（2019秋•昭平县期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元B．400元C．800元D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解析】对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
8.（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y=14x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
【分析】根据：总利润＝每个房间的利润×入住房间的数量﹣每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解析】设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（14x﹣42）]﹣5000
=-14x2+129x﹣8416
=-14（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y=14×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
9．（2019春•天心区校级月考）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【分析】设降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得结果．
【解析】设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
10．（2020•海淀区校级一模）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（ ）
A．2月和12月B．2月至12月
C．1月D．1月、2月和12月
【分析】根据题意可知没有盈利时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．
【解析】∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•福田区校级月考）已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价 6 元时，每天的总利润达到最大．
【分析】直接利用每箱利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．
【解析】设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
12．（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 70 元．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．
【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
13．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为 360 元时，宾馆利润最大，最大利润是 10240 元．
【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
14．（2020秋•如皋市期末）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，则每天可获得的最大利润为 2500 元．
【分析】设每天可获得的利润为y元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设每天可获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝150时，y取得最大值2500，即最大利润为2500元．
故答案为：2500．
15．（2020•岳麓区校级模拟）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的最大整数值为 5 ．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】设未来30天每天获得的利润为y，
y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，
化简，得：y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴260-4a2×(-4)＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6，
∴a的最大整数为5，
故答案为：5．
16．（2020秋•岫岩县期中）某商店将进货价为70元/个的商品按零售价100元/个出售时，每天能卖出20个，若零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 5 元．
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
【解析】设应降价x元，
则（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故答案为：5．
17．（2020•岳麓区校级模拟）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的最大整数值为 5 ．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】设未来30天每天获得的利润为y，
y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，
化简，得：y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴260-4a2×(-4)＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6，
∴a的最大整数为5，
故答案为：5．
18．（2019秋•西城区校级期中）某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式 y＝﹣2x+200 ；
（2）当售价是 70 元/件时，周销售利润最大．
【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
【解析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
50k+b=10060k+b=80，解得k=-2b=200
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
故答案为y＝﹣2x+200．
（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大．
故答案为70．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•南海区模拟）某大学生利用40天社会实践参与了某加盟店经营，他销售了一种成本为20元/件的商品，细心的他发现在第x天销售的相关数据可近似地用如表中的函数表示：
（1）求第10天获得的利润是多少？
（2）求第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以先计算出第10天的销售单价和销售量，然后根据利润＝售价﹣成本，进行计算即可；
（2）根据题意和表格中的数据，利用分类讨论的方法和二次函数的性质，可以求得第几天获得的利润最大，最大利润是多少．
【解析】（1）由表格可得，
第10天的销售量为50﹣10＝40（件），销售单价为：30+102=35（元），
（35﹣20）×40
＝15×40
＝600（元），
答：第10天获得的利润是600元；
（2）设利润为w元，
当1≤x≤20时，w＝（30+x2-20）（50﹣x）=-12（x﹣15）2+12252，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w=12252=612.5，
当21≤x≤40时，w＝（40﹣20）（50﹣x）＝﹣20x+1000，
∴当x＝21时，w取得最大值，此时w＝580，
由上可得，第15天获得的利润最大，最大利润是612.5元，
答：第15天获得的利润最大，最大利润是612.5元．
20．（2021•武汉模拟）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”；某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式；
（2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
②根据题意，可以得到差价利润和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围．
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
12k+b=120013k+b=1100，
解得k=-100b=2400，
即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；
（2）①设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵12≤x＜24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
②线下月利润与线上月利润的差为W元，
W＝（x﹣10）（﹣100x+2400）﹣（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣15）2+3300，
令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300，
解得x1＝10，x2＝20，
∴当10≤x≤20时，W的值不小于800，
又∵12≤x＜24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20．
21．（2021•黑山县一模）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是 购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本 ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过15本但不超过25本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图，则图中线段AB所表示的实际意义是购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；
（2）分段写出函数关系式：①当0＜x≤15时，y＝5；②当15＜x≤25时，设＝kx+b，由待定系数法求解即可；③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4；
（3）由利润W等于每本的利润乘以销售量，可得W关于x的二次函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）意义是：购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本．
故答案为：购买不超过15本此种笔记本时售价为5元/本；
（2）①当0＜x≤15时，y与x之间的函数关系式y＝5，
②当15＜x≤25时，设＝kx+b根据题意得5=10k+b4=20k+b，
解得k=-0.1b=6．
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣0.1x+6．
③当25＜x时，y与x之间的函数关系式为：y＝4．
综上，y与x之间的函数关系式为：y=5(0＜x≤15)-0.1x+6(15＜x≤15)4(x＞25)；
（3）由题意得：
W＝（﹣0.1x+6﹣3）x
＝﹣0.1×（x﹣15）2+22.5，
当x＝15时，W有最大值22.5．
∴当小明购买15本时，该文具批发部所获的利润最大，最大利润是22.5元．
22．（2021•硚口区模拟）某旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元
（1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别为m元/天、n元/天，求m、n的值．
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，可以得到利润W和乙种房间数量的函数关系，从而可以解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
15m+20n=850010m+10n=5000，
解得m=300n=200，
答：m、n的值分别为300、200；
（2）设乙种风格客房每间房间定价为x元，
由题意可得，W＝（x﹣80）（20-x-20020×2）＝﹣0.1（x﹣240）2+2560，
∴当x＝240时，W取得最大值，此时W＝2560，
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润W最大，最大利润是2560元．
23．（2021•东西湖区模拟）某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案A：若单独投资燃油汽车时，则所获利润w1（千万元）与投资金额x （千万元）之间存在正比例函数关系例w1＝kx，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案B：若单独投资新能源汽车时，则所获利润w2（千万元）与投资金额x（千万元）之间存在二次函数关系：w2＝ax2+bx，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，先表示出此时w2关于x的函数关系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，求解即可．
【解析】（1）由题意可得，当x＝2时，w1＝0.8，代入w1＝kx得，
0.8＝2k，
解得k＝0.4，
∴正比例函数的表达式为w1＝0.4x．
当x＝1时，w2＝1.4；当x＝3时，w2＝3，代入w2＝ax2+bx，
得：a+b=1.49a+3b=3，
∴a=-0.2b=1.6，
∴二次函数表达式为w2＝﹣0.2x2+1.6x；
（2）根据题意得：w1+w2＝5，
∴0.4x+（﹣0.2x2+1.6x）＝5，
∴﹣0.2x2+2x﹣5＝0，
解得：x1＝x2＝5．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资x千万元，对新能源汽车投资2x千万元，
则w2＝﹣0.2（2x）2+1.6×2x＝﹣0.8x2+3.2x，
根据题意得：w1+w2≥3x×60%，
∴0.4x+（﹣0.8x2+3.2x）≥3x×60%，
∴﹣0.8x2+3.6x≥1.8x，
∴0≤x≤2.25；
∵获得总利润为不低于4千万元，
∴﹣0.8x2+3.6x﹣4≥0，
∴2≤x≤2.5．
综上所述，x的取值范围是2≤x≤2.5．
24．（2020春•高邮市期末）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．
（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；
（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？
【分析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，根据购买的两种设备数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每盒口罩可涨价m元购进A口罩m个，根据每天销售口罩盈利6000元，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有
360x=480140-x，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝140﹣60＝80．
答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；
（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有
（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，
解得m1＝5，m2＝10（舍去）．
故每盒口罩可涨价5元．
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
销售量
销售单价
50﹣x
当1≤x≤20，单价为30+x2
当21≤x≤40时，单价为40
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
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