北京市中国人民大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中练习数学试题

人大附中2022－2023学年度第一学期高一年级数学期中练习

2022年11月2日

第Ⅰ卷（共18题，满分100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

1．下列表示同一集合的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．下列函数是偶函数且在单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的图象是（    ）

A． B． C． D．

4．若，，则以，为根的一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．若命题“，一元二次不等式”为假命题，则实数m的取值范围是（    ）

A．或 B． C．或 D．

7．定义域与对应法则称为函数的两个要素，下列各对函数中，图象完全相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

8．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

9．设函数，则下函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数（单位：）的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置）

11．函数的定义域为______．

12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息“预约”是“游园”的______条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）

13．已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为______．

14．已知函数，，若，，使成立，则实数k的取值范围是______．

15．函数，，若在定义域上满足：

①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是______．

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）

16．已知集合，

（Ⅰ）当时，求与；

（Ⅱ）若______，求实数a的取值范围．

请从①；②，；③“”是“”的必要条件；

这三个条件中选择一个填入（Ⅱ）中横线处，并完成第（Ⅱ）问的解答

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

17．设函数

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围

18．已知函数

（Ⅰ）判断的奇偶性并证明；

（Ⅱ）若a＝2，判断在的单调性，并用单调性定义证明

第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）

一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

19．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．R

20．已知，，，，则x＋y的最小值是（    ）

A．1 B． C．2 D．4

21．的最小值为（    ）

A．－1 B．－1.5 C．－0.9375 D．前三个答案都不对

22．若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）

23．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则t的所有可能取值集合为______．

24．已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是______．

25．对于集合A，称定义域与值域均为A的函数为集合A上的等域函数

①若，则A上的等域函数有______个；

②若，使为A上的等域函数，a的取值范围是______．

三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）

26．对于正整数集合A，记，记集合X所有元素之和为，，若，存在非空集合，，满足：

①；②；③

称A存在“双拆”，若，A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”

（Ⅰ）判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；

（Ⅱ），证明：A不能“任意双拆”；

（Ⅲ）若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值

人大附中2022~2023学年度第一学期高一年级数学期中练习

数学参考答案

Ⅰ卷

1．C  2．D  3．B  4．A  5．D  6．D  7．B  8．C  9．A  10．B

11．   12．必要不充分/必要

13．     14．   15．

Ⅱ卷

一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

19．C  20．C  21．A  22．C

二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）

23．  24．

25．2；  注：25题答案只要不对均得0分．

16．（共12分）

解：（Ⅰ）当时，

∴

∴

（Ⅱ）若选条件①或③，

则“”或者“”是“”的必要条件．

可得

法一：当时，，不合题意；

当时，，又，不合题意；

当时，，∴，解得．

法二：由1，2，，得，解得

综上所述：实数的取值范围为

若选条件②，

∵，，∴．

法一：当时，，满足题意；

当时，，又，∴，解得：或（舍），∴；

当时，，又，∴，解得：．

法二：∵，则1，2，，即，解得

综上所述：实数的取值范围为

17．（共11分）

解：（Ⅰ）当时，，即，

整理得，（本步不是给分点，其它方法酌情给分）

解得．

故所求不等式的解集为．（没写成集合扣1分．）

（Ⅱ）对恒成立，即在上恒成立，

法一：即在上恒成立，

，当且仅当即时取等

故在最小值为，

所以，a的取值范围为．

法二：二次函数过

当对称轴时符合题意，解得；

当对称轴时，只需，解得．

综上所述a的取值范围为．

18．（共12分）

解：（Ⅰ）当时，，定义域为R或均可，关于原点对称．

此时  ∴为偶函数；

当时，，定义域为，关于原点对称，

此时，，故且

∴无奇偶性．（其他方法也可）

综上，当时，为偶函数；当时，无奇偶性．

（Ⅱ）若，，在上是单调递增的，

任取，，设

，

∵，∴，，∴，即

又，，

∴，

所以在上是单调递增．

26．（共15分）

解：（Ⅰ）集合可“双拆”，不可“任意双拆”．

集合不可“双拆”

（Ⅱ）不妨设．

反证法，如果可以“任意双拆”

若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②

若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④；

由①、③，得，矛盾；由②、③得，矛盾；

由①、④，得，矛盾；由②、④，得，矛盾

因此当时，集合A一定不能“任意分拆”；

（Ⅲ）设集合

由题可知均为偶数，因此均为奇数或偶数．

如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以n为奇数．

如果为偶数，则均为偶数．

此时设，则也是可“任意分拆”的．

重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的可“任意分拆”集．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．

综上所述，集合A中元素个数为奇数．

当时．显然任意集合不可“任意分拆”．

当时，第（2）问已经证明集合不可“任意分拆”．

故

当时，集合，

因为：

3＋5＋7＋9＝11＋13，1＋9＋13＝5＋7＋11，9＋13＝1＋3＋7＋11，1＋3＋5＋11＝7＋13，

1＋9＋11＝3＋5＋13，3＋7＋9＝1＋5＋13，1＋3＋5＋9＝7＋11，

则集合A可“任意分拆”．

所以集合A中元素个数n的最小值是7．