【五年高考真题】最新五年数学高考真题分项汇编——专题14《不等式》（2023全国卷地区通用）

专题14 不等式

1．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件则的最大值是（       ）

A． B．4 C．8 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】

由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数为，

上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，

所以.

故选：C.
2．【2021年乙卷文科】若满足约束条件则的最小值为（       ）

A．18 B．10 C．6 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.
3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+，则（）

A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.

【详解】

可以为负，所以A错；

关于原点对称；

故B错；

关于直线对称，故C错，D对

故选：D

【点睛】

本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．【2019年新课标2卷理科】若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】

【分析】

本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

【详解】

取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【点睛】

本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
6．【2022年新高考2卷】若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】

因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．
7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
8．【2020年新课标1卷理科】若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：1．

【点睛】

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
9．【2020年新课标2卷文科】若x，y满足约束条件则的最大值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.

【详解】

不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组的解，解得：，

因此的最大值为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
10．【2020年新课标3卷理科】若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

【答案】7

【解析】

【分析】

作出可行域，利用截距的几何意义解决.

【详解】

不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，

平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，

由，得，，

所以.

故答案为：7.

【点晴】

本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．【2019年新课标2卷文科】若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.

【答案】9.

【解析】

【分析】

作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．

【点睛】

本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．
13．【2018年新课标1卷理科】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

【答案】6

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.

【详解】

根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由，可得，

画出直线，将其上下移动，

结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，

由，解得，

此时，故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
14．【2018年新课标2卷理科】若满足约束条件 则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.

【详解】

不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

【点睛】

线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
15．【2018年新课标3卷文科】若变量满足约束条件则的最大值是________．

【答案】3

【解析】

【详解】

作出可行域

平移直线，

由图可知目标函数在直线与的交点处取得最大值3

故答案为3.

点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．