【五年高考真题】最新五年数学高考真题分项汇编——专题12《数列（选填题）》（2023全国卷地区通用）

专题12 数列（选填题）

1．【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（       ）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】

解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.

【详解】

解：因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为 ，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

故选：D.
3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【解析】

【分析】

设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】

设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：D
4．【2021年甲卷文科】记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】

∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.
5．【2021年甲卷理科】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．

【详解】

由题，当数列为时，满足，

但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

【点睛】

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
6．【2020年新课标1卷文科】设是等比数列，且，，则（       ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】

设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
7．【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

【答案】C

【解析】

【分析】

第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，

设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.

【详解】

设第n环天石心块数为，第一层共有n环，

则是以9为首项，9为公差的等差数列，，

设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为，因为下层比中层多729块，

所以，

即

即，解得，

所以.

故选：C

【点晴】

本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
8．【2020年新课标2卷理科】数列中，，对任意 ，若，则 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.

【详解】

在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
9．【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据新定义，逐一检验即可

【详解】

由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，

，不满足；

对于选项D，

，不满足；

故选：C

【点晴】

本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
10．【2020年新课标2卷文科】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
11．【2019年新课标1卷理科】记为等差数列的前n项和．已知，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．

【详解】

由题知，，解得，∴，故选A．

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
12．【2019年新课标3卷理科】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．

【详解】

设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

【点睛】

本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
13．【2018年新课标1卷理科】设为等差数列的前项和，若，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
14．【2022年全国乙卷】记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

转化条件为，即可得解.

【详解】

由可得，化简得，

即，解得.

故答案为：2.
15．【2021年新高考1卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】     5    

【解析】

【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.

【详解】

（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
16．【2020年新课标1卷文科】数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【解析】

【分析】

对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.

【详解】

，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
17．【2020年新课标2卷文科】记为等差数列的前n项和．若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.

【详解】

是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
18．【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】

因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
19．【2019年新课标1卷理科】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

【答案】.

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

设等比数列的公比为，由已知，所以又，

所以所以．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
20．【2019年新课标1卷文科】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．

【答案】.

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

详解：设等比数列的公比为，由已知

，即

解得，

所以．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
21．【2019年新课标3卷理科】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.

【答案】4.

【解析】

【分析】

根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.

【详解】

因，所以，即，

所以．

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
22．【2019年新课标3卷文科】记为等差数列的前项和，若，则___________.

【答案】100

【解析】

【分析】

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

【详解】

得

【点睛】

本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．
23．【2018年新课标1卷理科】记为数列的前项和，若，则_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.

【详解】

根据，可得，

两式相减得，即，

当时，，解得，

所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.