专题02等式与不等式（8个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

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专题02等式与不等式（8个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
三．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用

【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
四．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

五．一元二次函数与方程、不等式
一元二次函数与方程、不等式
六．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
七．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
八．绝对值不等式
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|﹣a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a，或x＜﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
2．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
九．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|﹣a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a，或x＜﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
【专题过关】
一．等式与不等式的性质（共2小题）
1．（2021秋•徐汇区期末）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（　　）
A．＞ B．＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2
2．（2021秋•杨浦区期末）若a＞b且，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0



二．不等关系与不等式（共2小题）
3．（2021秋•徐汇区校级期末）若a＞b＞c，则下列不等式成立的是（　　）
A．＞ B．＜ C．ac＞bc D．ac＜bc
4．（2022•杨浦区校级开学）设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b+，y＝b2﹣2c+，z＝c2﹣2a+，则x，y，z中至少有一个值（　　）
A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
三．基本不等式及其应用（共6小题）
5．（2021秋•闵行区期末）已知实数a，b满足a2+b2＝2，则ab的最大值为　 　．
6．（2021秋•浦东新区期末）已知x＞﹣3，则的最小值为 　 　．
7．（2021秋•虹口区期末）已知0＜x＜4，则x（4﹣x）的最大值为 　 　．
8．（2021秋•徐汇区期末）已知正数x、y满足x+2y＝1，求+的最小值，并求出+取到最小值时x，y的值．





9．（2022•浦东新区校级开学）已知0＜x＜1，则+的最小值为（　　）
A．50 B．49 C．25 D．7
10．（2021秋•普陀区校级期末）若x＞﹣3，则的最小值为　 　．
四．其他不等式的解法（共3小题）
11．（2022秋•浦东新区校级月考）不等式≤3的解集为 　 　．
12．（2022•徐汇区校级开学）设a，b∈R，已知关于x的不等式（a+b）x+（b﹣2a）＜0的解集为（1，+∞），求不等式（a﹣b）x+3b﹣a＞0的解集为 　 　．
13．（2021秋•杨浦区期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 　 　．
五．一元二次不等式及其应用（共5小题）
14．（2021秋•闵行区期末）已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，3），则bc＝　 　．
15．（2021秋•徐汇区期末）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则b的值为 　 　．
16．（2021秋•金山区期末）若关于x的不等式x2﹣mx+9＞0的解集为R，则实数m的取值范围是 　 　．
17．（2021秋•黄浦区校级期末）已知关于x的不等式﹣x2+6ax﹣3a2≥0（a＞0）的解集为[x1，x2]，则x1+x2+的最小值是 　 　．
18．（2021秋•普陀区校级期末）已知a为常数，若关于x的不等式2x2﹣6x+a＜0的解集为（m，2），则m＝　 　．
六．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共4小题）
19．（2022•徐汇区校级开学）方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 　 　．
20．（2021秋•浦东新区期末）已知α、β是关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0（m∈R）的两个根，则|α﹣β|＝　 　．
21．（2021秋•长宁区期末）已知一元二次方程mx2﹣2x+m+3＝0有两个正实根，则实数m的取值范围是 　 　．
22．（2022•杨浦区校级开学）已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解；，其中k∈R．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果，求实数k的值．









七．绝对值不等式（共3小题）
23．（2021秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
24．（2021秋•奉贤区校级期中）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是　 　．
25．（2021秋•普陀区校级期末）若不等式|x﹣4|﹣|x﹣3|≤a对一切实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
八．绝对值不等式的解法（共7小题）
26．（2021秋•浦东新区期末）已知问题：“|x+3|+|x﹣a|≥5恒成立，求实数a的取值范围”．两位同学对此问题展开讨论：
小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题．
请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a的取值范围 　 　．
27．（2021秋•杨浦区期末）解下列不等式
（1）； （2）|1﹣3x|＞2x．




28．（2022•徐汇区校级开学）若x1，x2都满足方程|2x﹣1|+|2x+3|＝4且x1＜x2，则x2﹣x1的取值范围是 　 　．
29．（2021秋•浦东新区校级期末）如果|x+1|+|x+9|＞a对任意实数x总成立，那么a的取值范围是 　 　．
30．（2021秋•虹口区期末）若存在实数x满足|x+1|+|x﹣2|≤﹣a2+a+5，则实数a的最小值为 　 　．
31．（2021秋•徐汇区期末）不等式|x|﹣1＜0的解集是 　 　．
32．（2021秋•虹口区期末）不等式|x+1|+|x﹣3|≤6的解集为 　 　．