专题03空间向量及其应用（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

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专题03空间向量及其应用（11个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．

2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：

（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．


二．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣ C．x＝，y＝﹣ D．x＝﹣，y＝
分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，
故有＝＝．
∴x＝，y＝﹣．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
解答：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
三．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝•（）

（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：

利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝　﹣7　
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
四．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），
cos＜＞＝＝
注意：
（1）当cos＜＞＝1时，与同向；
（2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向；
（3）当cos＜＞＝0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则

dA，B＝||＝＝．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析：由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞＝可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||＝，
所以cos＜，＞＝＝，
∴的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（　　）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以＝（﹣3，0，﹣4），所以＝＝5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．

五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
六．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
3．空间向量平行的条件：
（1）⇔，λ∈R
（2）若x2y2z2≠0，则⇔
4．空间向量垂直的条件：
⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥⇔（λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．
（2）⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为　　
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+）•＝　　．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）
又由＝（0，5，1），则（+）•＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（　　）
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．
解答：因为，，∥，
所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．
所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；
故选A．
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
七．向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的知识】
一、空间向量及其有关概念

语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．

共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cos＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角

公式
cos＜，＞＝
八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知

改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
九．平面的法向量
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
十．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
十一．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．


【专题过关】
一．空间向量及其线性运算（共1小题）
1．（2021秋•浦东新区校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝　 　．

二．共线向量与共面向量（共2小题）
2．（2021秋•普陀区校级期末）已知点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量＝（2，﹣1，2），则下列点不在α上的是（　　）
A．（2，3，3） B．（3，7，4） C．（﹣1，﹣7，1） D．（﹣2，0，1）
3．（2022•闵行区校级开学）＝（1，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，5，x），若，，三向量共面，则实数x＝　 　．
三．空间向量的数量积运算（共2小题）
4．（2021秋•金山区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知向量，则在x轴上的投影向量为 　 　．
5．（2021秋•金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝•，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 　 　．




四．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）
6．（2021秋•松江区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．






五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共1小题）
7．（2022•闵行区校级开学）设空间向量，，是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意x，y，|﹣x﹣y|的最小值是2，则|+3|的最小值是 　 　．
六．空间向量运算的坐标表示（共2小题）
8．（2021秋•虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若，则C点坐标为 　 　．
9．（2022•闵行区校级开学）已知向量，，，则向量的坐标为　 　．
七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题）
10．（2021秋•松江区校级期中）设x、y∈R，向量，，，且，，则x+y的值为 　 　．
11．（2021秋•宝山区校级期中）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x等于 　 　．
八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）
12．（2020秋•浦东新区期末）直线l：＝的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
13．（2020秋•闵行区校级期中）直线l：2x﹣y+3＝0的一个方向向量是 　 　．
九．平面的法向量（共2小题）
14．（2022•闵行区校级开学）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法错误的是（　　）
A．与不是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
15．（2021秋•黄浦区校级期末）已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面α的一个法向量，若直线l⊥平面α，则实数m的值为 　 　．
一十．直线与平面所成的角（共3小题）
16．（2021秋•虹口区校级期末）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，设，则下列结论正确的是（　　）

A．四边形EFGH是正方形
B．AE和AH与平面EFGH所成的角相等
C．若，则多面体BEF﹣DGH的表面积等于
D．若，则多面体BEF﹣DGH的体积等于
17．（2021秋•上海期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD．AB＝PA＝1，，E，F分别为棱PD，PA的中点．
（1）求证：B、C、E、F四点共面；
（2）求直线BE与平面PCD所成的角．




18．（2021秋•闵行区校级期末）已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC和CD的中点．
（1）求A1D与EF所成角的大小；
（2）求A1E与平面B1FB所成角的余弦值．











一十一．二面角的平面角及求法（共5小题）
19．（2021秋•长宁区期末）在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC；记直线DB与直线AC所成的角为α，直线DC与平面ABD所成的角为β，二面角D﹣BC﹣A的平面角为γ，则（　　）
A．β＜γ＜α B．γ＜β＜α C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
20．（2021秋•黄浦区校级期末）如图，在四面体A﹣BCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，，则二面角A﹣CD﹣B的大小为 　 　．

21．（2022•闵行区校级开学）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O1，AC∩MN＝G，沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P﹣ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求直线PB和半面MNDB所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣MN﹣P余弦值的绝对值为？指存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．









22．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BC、CD中点．
（1）求证：D1E⊥平面AB1F；
（2）求二面角B1﹣AF﹣E的大小．






23．（2022•静安区校级开学）三角形ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，求∠ACB的大小．