2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题05 期中解答压轴题

这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中分类复习专题05 期中解答压轴题，共90页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题05 期中解答压轴题（第1-4章）
一、解答题
1．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D．

(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD
(2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒．

(1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形；
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
4．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

5．（2022·江苏·八年级课时练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．

【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．

【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．

6．（2021·江苏·无锡市第一女子中学八年级阶段练习）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）

7．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
8．（2020·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：
（1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD
（2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度
（3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF．
（4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系

9．（2020·江苏·江阴市夏港中学八年级阶段练习）（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．
（2）探索延伸：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）

10．（2022·江苏·八年级单元测试）已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，连接EC．

(1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
(2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
11．（2022·江苏·八年级单元测试）△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．

(1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
(2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
(3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．
12．（2022·江苏·八年级单元测试）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC为外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

(1)如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；此时＝_____（直接写出结果）；
(2)如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；
(4)在（3）问的条件下，若此时AN＝x，则Q＝_____（用x、L表示，直接写出结果）．
13．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．

(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
15．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．

(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
16．（2022·江苏·八年级单元测试）数学课上，老师出示了如下框中的题目：
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，
如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．


小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）．

(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：
如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）．
17．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点．

(1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，求证：AD＝BE；
(2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线，且BD＝CE，求证：CD＝2AF＋CE；
(3)如图③，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，恰好CF为△ADC的高线，BF＝35，DF＝5．求EF的长．
18．（2022·江苏·八年级单元测试）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．

【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
20．（2021·江苏无锡·八年级期中）以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．

21．（2022·江苏·八年级专题练习）问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
22．（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）探究问题：

(1)方法探索：
如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证．
根据所给的辅助线并完成证明．
(2)方法拓展：
如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想．
(3)知识应用：
如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度．
23．（2022·江苏·八年级单元测试）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．

(1)发现
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．
24．（2020·江苏·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．

(1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
(3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
(4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
(5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．
25．（2022·江苏·八年级单元测试）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．

(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
26．（2022·江苏连云港·八年级期末）（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；

（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
27．（2022·全国·八年级专题练习）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；

（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
28．（2022·江苏·八年级专题练习）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．

答案与解析
一、解答题
1．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D．

(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD
(2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=，理由见解析
(3)AO=2OD，理由见解析
【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD；
（2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．先根据△ACD≌△EBD证得∠C = ∠CBE，AC=BE，进而得到AC∥EB， AD=；再证得△ABC≌△BAE（SAS）利用全等三角形全等的性质即可；
（3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．证得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，进而得到AO=2OD．
（1）
证明：在△ACD和△EBD中，

∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）
解：AD=，理由如下：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．如图

由（1）得△ACD≌△EBD
∴∠C = ∠CBE，AC=BE
∴AC∥EB， AD=
∴∠BAC+∠ABE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠ABE
在△ABC和△BAE中

∴△ABC≌△BAE（SAS）
∴BC=AE，
∴AD=
（3）
AO=2OD，理由如下：
解：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．如图，

由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB
∴∠AOE=∠BME ，∠OCD=∠NBD，AO=BM
∴AO∥BM ，OC∥NB，
∴∠MBO=∠BON ，∠MOB =∠NBO
在△MOB和△NBO中
，
∴△MOB≌△NBO(ASA)
∴MB=NO
∴AO=2OD
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒．

(1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形；
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．
【答案】(1)① 全等，理由见解析；② 或
(2)存在，，厘米|秒
(3)5.6或6.8

【分析】（1）①当t=2时，，即可证明
②当或时，分别利用含 角的直角三角形的性质即可求解
（2）根据点N的运动速度与点M的运动速度不相等，则只能是，从而得出答案
（3）分两种情况：若点M速度快则，若点N速度快，则，从而得出答案
（1）
①△BMN≌△CDM；理由：
∵点M，N的运动速度为6厘米/秒
∴ t＝2时，CM＝BN＝6×2＝12厘米，
∴ BM＝BC－CM＝20－12＝8（厘米）
∵CD＝8厘米
∴ BM＝CD．
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠ B＝∠C＝60°．
在△BMN和△CDM中，BN＝CM，∠B＝∠C，BM＝CD
∴ △BMN ≌ △CDM（SAS）；
②∵∠B＝60°，△BMN是直角三角形，∴∠BMN＝90°或∠BNM＝90°．
∵BN＝CM＝6t
∴ BM＝BC－CM＝20－6t．
（Ⅰ）当∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°
∴ BN＝2BM
∴
∴；
（Ⅱ）当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°
∴ BM＝2BN
∴ 20－6t＝2×6t
∴．
综上，t的值为或
故答案为或
（2）
点N的运动速度与点M不相等，∴ CM ≠ BN，若要△BMN和△CDM全等，
则BN＝CD＝8厘米，BM＝CM＝10厘米
∴ 此时6t＝10
∴；
设点N的运动速度为v厘米/秒
∴
∴厘米 /秒；
（3）
①若点M速度快则
/s
若点N速度快，则

故答案为5.6或6.8
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质等，将动点问题转化为线段长问题是解题关键．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．

【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）
证明：如图1中，
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠BCD=∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD=AP；
（2）
证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．

∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°，
在△AMP和△CMK中，
，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，
同法可证△BCD≌△ACP，
∴BD=PA=CK，
∵PB=2PM，
∴PB=PK，
∵PD=PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD=∠K=90°，
∴PB⊥BD．
②解：结论：PC=2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB=∠CPK，
设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，
∵∠APC=∠CDB，
∴90°+x=60°+90°-x，
∴x=30°，
∴∠DPB=30°，
∵∠PBD=90°，
∴PD=2BD，
∵PC=PD，BD=PA，
∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．
4．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

【答案】（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
【解析】（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．（2022·江苏·八年级课时练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．

【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．

【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．

【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【解析】解：（1）在和中，

∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，

∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，

∵，
，
在和中，

，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
6．（2021·江苏·无锡市第一女子中学八年级阶段练习）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）

【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝，理由见详解
【分析】（1）根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE＝EF；
（2）在BE上取BG＝DF，连接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，从而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE＝EF，从而解决问题；
（3）作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，由（2）同理可两次全等证明出DE＝GD即可．
【解析】解：（1）EF＝GE，理由如下：
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，
∴AG＝AF，
∵AE平分∠GAF，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF；
（2）BE−DF＝EF，理由如下：
如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，

∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∴BE−DF＝EF；
（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，

∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，
∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，
∵BE＝GF，
∴△CBE≌△CFG（SAS），
∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，
∵∠DAB＝60°，
∴∠FCB＝120°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠DCF＋∠BCE＝60°，
∴∠DCG＝60°，
又∵CG＝CE，
∴△ECD≌△GCD（SAS），
∴GD＝DE，
∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），
∴AF＝AB，
∴b＋a−BE＝c＋BE，
∴BE＝．
【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．
7．（2022·江苏·八年级阶段练习）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．

（1）求证：；
（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．
（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；
（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【解析】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等边三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
8．（2020·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：
（1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD
（2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度
（3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF．
（4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系

【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）．
【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得；
（2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可；
（3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ；
（4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到．
【解析】解：（1）如图1，在上取一点使，连接，

∵为的高，
∴，
∵，
∴
∴ ，
∵
∴，
∴
∴
∴；
（2）如图2示，在上截取，连接，

平分，
，
在和中，
，
，
，， ，又，
，
而，
，
，
，
；
（3）如图3示，延长到，使，连接，

∵，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（4）如图4示，作于，在上截取，

，，
，
，
点是外角平分线上一点，， ，
，，
在和中，


，
在和中，
，

，
，

．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2020·江苏·江阴市夏港中学八年级阶段练习）（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．
（2）探索延伸：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）

【答案】（1）EF= BE+FD，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）将△ABE逆时针旋转得到△ADG，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGD，可得EF=FG即可；
（2）如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，即△ADF≌△ABG；然后再证△EAG≌△EAF，可得GE=EF，再根据线段的和差即可解答；
（3）将△ABE逆时针旋转得到△ADH，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH，然后再证△EAF≌△HAF可得∠H=∠AEF，再根据直角三角形的性质得到∠EAG=∠H，即，∠EAG=∠AEF，最后根据等腰三角形的性质解答即可．
【解析】解：(1) EF= BE+FD，理由如下：

如图1，将△ABE逆时针旋转得到△ADG，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG（SAS）
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°
∵∠EAF=∠BAD
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°
∴∠EAF=∠GAF
在△AEF和△GAF中
AE=AG ，∠EAF=∠GAF，AF=AF
∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EF=FG
∴FG=DG+DF=BE+DF
∴EF=BE+DF；
故答案为EF=BE+DF；
（2）证明：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合

∴△ADF≌△ABG
∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB
∵∠EAF=BAD
∴∠EAF=∠EAG.
在△EAG和△EAF中
∵AG=AF，∠EAF=∠EAG，AE=AE
∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=DF+BE
∴EF=BE+FD；
（3）如图3，将△ABE逆时针旋转得到△ADH，使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∵∠EAF=∠BAD
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°
∴∠EAF=∠HAF
在△AEF和△HAF中
AE=AH ，∠EAF=∠HAF，AF=AF
∴△EAF≌△HAF（SAS）
∴∠H=∠AEF
∵∠EAF=90°，∠HAD=90°
∴∠HAD+∠EAG=∠HAD+∠H
∴∠EAG=∠H
∵∠H=∠AEF
∴∠EAG=∠AEF
∴AG=EG．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，通过旋转作出全等三角形是解答本题的关键．
10．（2022·江苏·八年级单元测试）已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，连接EC．

(1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
(2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)AC−CE＝CM，证明过程详见解析

【分析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝CM，进而判断出，即可得出结论；
（2）如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出，再判断出，判断出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论．
（1）
解：如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，

∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
∵，AB＝AC，
∴，
∴在中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，

∴△FMA≌△CME（SAS），
∴；
（2）
AC−CE＝CM，理由如下：
如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，

∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，

∴△FMA≌△CME（SAS），
∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝CM．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11．（2022·江苏·八年级单元测试）△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．

(1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
(2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
(3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)AC＋CD＝AM，理由详见解析

【分析】（1）欲证BE＝AD，只要证明△ACD≌△BCE即可；
（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，先根据三角形的内角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性质以及（1）中结论即可求解；
（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根据等腰三角形的判定与性质可得结论．
（1）
证明：如图1，

∵BF⊥AD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）
解：如图2，分别延长BF，AC交于点E，

由（1）知：BE＝AD＝5，
∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB＝AE，
∴BF＝BE＝；
（3）
解：AC＋CD＝AM，理由如下：
如图3，分别延长BF，AC交于点E，

由（1）可得△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵BF⊥AD，
∴，
∵AF平分∠EAM，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠M＝∠E，
∴AM＝AE＝AC＋CE，
∴AC＋CD＝AM．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
12．（2022·江苏·八年级单元测试）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC为外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

(1)如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；此时＝_____（直接写出结果）；
(2)如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；
(4)在（3）问的条件下，若此时AN＝x，则Q＝_____（用x、L表示，直接写出结果）．
【答案】(1)MN＝BM＋NC，
(2)MN＝BM＋CN，证明过程详见解析
(3)MN＝CN－BM，证明过程详见解析
(4)2x＋

【分析】（1）如图1，先证明△MDN是等边三角形，则MN=DM=DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN，得∠BDM=∠CDN=30°，所以DM=2BM，可得结论：MN=2BM=BM+NC，分别计算Q和L的值，并计算比值即可；
（2）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM≌△DCE（SAS），得DM=DE，∠BDM=∠CDE，再证明△MDN≌△EDN（SAS），得MN=NE，可得结论：MN=BM+CN，第2个结论不成立，利用特殊位置说明即可；
（3）在NC上截取CF＝BM，连接DF，证明△DBM≌△DCF（SAS），得到∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，再证明△MDN≌△EDN（SAS），得到MN＝EN，即可得出结论；
（4）先根据等边△ABC的周长为L，得AB=，由△AMN的周长Q=MN+AN+AM，进行等量代换可得结论．
（1）
解：如图1，猜想：MN＝BM＋NC，理由如下：
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
在Rt △DBM和Rt △DCN中，

∴Rt △DBM ≌ Rt △DCN(HL)，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，
∴DM＝2BM＝BM＋NC，
∴MN＝DM＝BM＋NC；
∵AB＝AC，BM＝CN，
∴AM＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN＝2BM，
∴△AMN的周长Q＝3MN＝6BM，
等边△ABC的周长L＝3AB＝3(AM＋BM)＝9BM，
∴＝＝；
故答案为MN＝BM＋NC，
（2）
解：MN＝BM＋CN，
证明：如图2，延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝180°−∠ACD＝90°＝DBM，
在△DBM和△DCE中，

∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，
∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM＋∠CDN＝120°−60°＝60°，
∴∠CDE＋∠CDN＝60°，
即∠EDN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△EDN中，

∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝CE＋CN，CE＝BM，
∴MN＝BM＋CN；
（3）
解：CN＝BM＋MN，
证明：在NC上截取CF＝BM，连接DF，

由（2）知：∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴∠MBD＝90°＝∠FCD，
在△DBM和△DCF中，

∴△DBM≌△DCF（SAS），
∴∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∵∠MDN＝∠BDM＋∠BDN＝∠CDF＋∠BDN＝60°
∵∠BDC＝120°，
∴∠FDN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△FDN中，

∴△MDN≌△FDN（SAS），
∴MN＝FN，
∵CN＝CF＋FN，CF＝BM，
∴CN＝BM＋MN；
（4）
解：如图3，∵等边△ABC的周长为L，
∴AB＝，

△AMN的周长Q＝MN＋AN＋AM，
＝FN＋AN＋AB＋BM，
＝AN＋AF＋AN＋AC＋CF，
＝2AN＋2AC，
＝2x＋．
故答案为
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
13．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．

(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)见解析

【分析】（1）只要证明△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠CBD，由∠AEC=∠BEF，即可推出∠BFE=∠ACE=90°．
（2）如图2中，只要证明△ACE≌△BCD，推出∠1=∠2，由∠3=∠4，即可推出∠BFA=∠BCA=90°．
（3）如图3中，只要证明△ACE≌△BCD，推出，AE=BD，推出，推出CM=CN，因为CM⊥BD，CN⊥AE，即可推出CF平分∠BFE，
（1）
证明：如图1中，

在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．
（2）
解：成立．
理由：如图2，

∵
∴
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
（3）
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∴，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线利用面积法证明线段相等，属于中考压轴题．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；
（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．
（1）
∵∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF
∴
∵BC=AC、CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝AE+BE
∴AF＝AE+AD；
（2）
在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G
∵∠BAC＝∠EDF，
∴∠AED＝∠MFD，
∵AE=MF，ED=DF
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
∵AC=DM
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即AF＝AE+BC．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．
15．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．

(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；
(2)4

【分析】（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由∆ACD≌∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；
（2）延长BE、AC相交于点G，证明∆ACD≌∆BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明∆ACF≌∆BCG以及∆AEB≌∆AEG，结合条件即可求解．
（1）
①∵，，
∴，为等腰三角形，
又∵，
∴和是等边三角形；
②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，
∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，
∵∠CEF=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）
延长BE、AC相交于点G，
∵=90°，，，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFE，
∴∠ACF=∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在∆ACF和∆BCG中，
∵ ，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，
∴∆AEB≌∆AEG(ASA)，
∴BE=GE=2，
∴AF=4．

【点睛】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．
16．（2022·江苏·八年级单元测试）数学课上，老师出示了如下框中的题目：
在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，
如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．


小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）．

(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：
如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）．
【答案】(1)=
(2)=，解答过程见解析
(3)8或2

【分析】（1）根据等边三角形三线合一可得∠ECB=30°，根据等边对等角可得∠D=∠ECB=30°，结合三角形的外角和定理，即可证明AE=DB；
（2）用“AAS”证明即可得出结论；
（3）根据（2）的思想，用一样的方法证明即可求出BD=AE，结合图形分情况讨论即可．
（1）
∵△ABC为等边三角形，点为的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB，
∴∠ECB=30°，
∵
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEB=60°-30°=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
故答案为：=
（2）
理由如下：
如图2，过作交于，
∵是等边三角形，
，，

，，
即，
是等边三角形，
，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF
，
，，
，
，
，
在和中，
，，BE=CF
，
，
即，
（3）
①如图：

当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，

过点E，作，延长AC于EF交于点F，
∵，
∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF，
∵∠A=60°，∠∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∵DE=CE
∴∠BDE=∠BCE
∴∠BDE=∠CEF
∵∠ABC=60°，
∴∠DBE=60°，
在△BDE和△EFC中
∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE
∴△BDE≌△EFC，
∴BD=EF，
∵EF=AE=5，
∴BD=5，
∴CD=5+3=8；
②如图：

当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D，


过点E作，延长CA，交EF于点F，
∵，
∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD
∵∠ACB=∠B，
∴∠EFC=∠B=60°，
∵∠FAE=∠BAC=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=5，
∵DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠FEC=∠EDC，
在△BDE和△EFC中
∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE
∴△BDE≌△EFC，
∴BD=EF=5，
∴CD=BD-BC=5-3=2，
综上：CD=8或2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定于性质，结合题意做出相应的图形和辅助线是解题的关键．
17．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点．

(1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，求证：AD＝BE；
(2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线，且BD＝CE，求证：CD＝2AF＋CE；
(3)如图③，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，恰好CF为△ADC的高线，BF＝35，DF＝5．求EF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据题意，得出∠BAD＝∠CBE，然后证明△ABD和△BCE全等，得出AD＝BE．
（2）根据题意，得出AC＝BC＝2AF，即可得出结论．
（3）延长BE至H，使AF＝FH．证明△BAF≌△CAH，得到∠ABF＝∠ACH，BF＝CH．由（1）知∠ABC＝∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CBE，得到∠ABF＝∠CAD＝∠ACH，再证明∠FCH＝90°，即可得出EF的长．
（1）
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠AFE＝60°
∵∠AFE＝∠BAF＋∠ABF
∠ABC＝∠CBE＋∠ABF
∴∠BAF＋∠ABF＝∠CBE＋∠ABF
∵∠ABF是公共角
∴∠BAD＝∠CBE
在△ABD和△BCE中
∵∠BAD＝∠CBE，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE
∴△ABD≌BCE（ASA）
∴AD＝BE．
（2）
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝60°
∵CF为△ABC的高线
∴CF⊥AB
∴∠AFC＝90°
∴∠ACF＝90°－∠BAC＝30°
∴AC＝BC＝2AF
∵BD＝CE
∴CD＝BC＋BD＝2AF＋CE．
（3）
解：如图，延长BE至H，使AF＝FH，连接AH和CH．
∵∠AFE＝60°
∴△AFH是等边三角形
∴AF＝AH，∠BAC＝∠FAH＝60°
∴∠BAC－∠CAD＝∠FAH－∠CAD
又∵∠CAD为公共边
∴∠BAF＝∠CAH
在△BAF和△CAH中
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAH，AF＝AH
∴△BAF≌△CAH（SAS）
∴∠ABF＝∠ACH，BF＝CH．由（1）知∠ABC＝∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CBE
∴∠BAC－∠BAF＝∠ABC－∠CBE，
即∠ABF＝∠CAD＝∠ACH
∴AF∥CH．∠AFC＋∠FCH＝180°
∵CF为△ABC的高线
∴．CF⊥AB
∴∠AFC＝90°
∴∠FCH＝90°
又∵∠AFE＝60°
∴∠CFH＝30°
∴AF＝FH＝2CH=2BF=6
∴AD=AF＋DF＝7
由（1）知AD=BE=7
∴EF=BE-BF=7-3=4．

【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，全等三角形，等量代换等知识点．解本题的关键在熟练掌握等边三角形的性质及应用．
18．（2022·江苏·八年级单元测试）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
【答案】(1)；
(2)成立，；
(3)，见解析

【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等边三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，从而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求证；
（3）在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证得△MDN≌△M1DN，即可求证．
（1）
解：BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BDC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，
故答案为：BM+NC＝MN；
（2）
猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．

∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）
NC−BM=MN，理由如下：
证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．

【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
19．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．

【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝DF，DE＝1，则△DEF的面积为______．
【答案】【猜想】150；【探究】（1）见解析；（2）(180﹣β)；【应用】1
【分析】猜想：延长ED交BC于点F，交AC于点O．证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）延长ED交BC于点F，方法同（1）证出∠ACB＝∠BDF＝β，则可得出答案；
应用：证明∠E＝90°，求出DF＝2，根据三角形的面积公式可得结论．
【解析】证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，

∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分线上的点，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案为：150°；
探究：
（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如图，延长ED交BC于点F，

同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案为：（180﹣β）；
应用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面积为．
故答案为：1．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（2021·江苏无锡·八年级期中）以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．

【答案】（1）40°；（2）；（3）．
【分析】（1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）连接，过点作于，于，由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解．
【解析】解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）可得：，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；

（3）如图3，连接，过点作于，于，
，
，，
，
，
又，，
，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．（2022·江苏·八年级专题练习）问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．

【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE=x，则BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时．如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合．如图4-3中，当BE=AF时．如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
（1）
解：如图2中，

∵△BDC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴则△ABC关于的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）
∵与是关于互补三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在长方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
设AE=x，则BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x，连接EF．

∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．

如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，

同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时AE=AB+BE=AB+BC=18．

综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
22．（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）探究问题：

(1)方法探索：
如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证．
根据所给的辅助线并完成证明．
(2)方法拓展：
如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想．
(3)知识应用：
如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)当时，结论成立；
(3)的长度为．

【分析】(1)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ADEΔABG，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题；
(2)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ABGΔADE，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题；
(3)过点C作交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得．
（1）证明：如图①中，延长CB到点G，使BG=DE，连接AG，四边形ABCD是正方形，AD=AB，，在△ADE和△ABG中， ，∴△ADEΔABG(SAS)，AE=AG，，，，在△AEF和GAF中，，∴△AEF△AGF(SAS)，∴EF=FG，FG=BG+BF=DE+BF，∴EF=DE+BF．
（2）当时，结论 EF=DE+BF成立．理由：如下图，延长CB到点G使BG=DE连接AG，，，，在△ADE和△ABG中，，△ADE △ABG(SAS)，，，，在中，，∴△AEFΔAGF(SAS)，，，．
（3）如下图中，过点C作，交AD的延长线于点G，由(1)知：DE=DG+BE，设BE=x，则AE=5-x，DE=x+1，在Rt△ADE中，由勾股定理得： ，，解得，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定结合求解的综合题，考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
23．（2022·江苏·八年级单元测试）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．

(1)发现
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．
【答案】(1)120°；CA＝CE+CD
(2)CA＝CD+CE；理由见解析
(3)

【分析】（1）①证△BAD≌△CAE，从而得出∠ACE＝∠B＝60°，进而得出∠DCE的大小；②根据△BAD≌△CAE可知BD＝CE，从而得出CA＝CE+CD；
（2）先证△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，从而得出CA、CE、CD之间的数量关系；
（3）根据△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，推出，AD=AE，得到BD=BC+CD=3，根据∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，得到CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，根据∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，得到∠ACE=45°，∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，推出．
（1）
发现
解：①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故答案为：120°，
②∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴CA＝BC＝CE+CD；
故答案为：CA＝CE+CD．
（2）
探究
∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．
理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE．
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，
且CB＝CD+DB＝CD+CE，
∴CA＝CD+CE．
（3）
应用
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1，
∴，AD=AE，
∴BD=BC+CD=3，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形，三角形全等，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用勾股定理解直角三角形．
24．（2020·江苏·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．

(1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
(3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
(4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
(5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．
【答案】(1)5：9
(2)28
(3)24
(4)
(5)，见解析

【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；
（5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
(1)
∵，b＝2a，
∴c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9，
故答案为：5：9；
(2)
根据题意可求，
∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积，
∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28．
故答案为：28；
(3)
根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．
设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x．
在中，，即，
解得x＝1，
∴OA=4，
∴该风车状图案的面积=；
(4)
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：；
(5)
结论：．
由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：，
∴
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．
25．（2022·江苏·八年级单元测试）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．

(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
【答案】(1)150°
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；
（2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．
（1）
解：∵，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，
∵32+42=52
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）
证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴，
∴，
又∵，
∴APD为等边三角形
∴，，
∴，
∴，
在△APC和△ADE中，
∴ (ASA)；
∴，
∵，
∴BE＝PA＋PB＋PC；
（3）
解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt△A′BC中，，
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．
26．（2022·江苏连云港·八年级期末）（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；

（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
【答案】【小问1】，说明见解析
【小问2】，；说理见解析
【小问3】①，理由见解析；②的最小值为
【分析】（1）【问题情境】证明，即可求解．
（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．
（3）【拓展应用】①等量代换即可求解；②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，先证明，得到EM＝CM，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA＋EG的值最小，最小值为AN，在中求出AN即可．
【解析】（1）【问题情境】，理由如下：
，
，
，
，
，
，
；
（2）【变式探究】，；理由如下：
，
，
，；
（3）【拓展应用】①，
，
，
，
；
②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．

【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
27．（2022·全国·八年级专题练习）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；

（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
【答案】（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；
（2）根据等式和图形即可得；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；
（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．
【解析】（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为
故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方
故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：

（4）


归纳类推得：
当时，
则


．
【点睛】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
28．（2022·江苏·八年级专题练习）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；
（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【解析】解：（1）第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵ ，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即．
故答案为：44．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．